Lesson Video: Forma Exponencial de um Número Complexo

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Neste vídeo, aprenderemos a expressar números complexos na forma exponencial. Devemos saber como expressar um número complexo na forma algébrica e polar. Então esta é uma extensão natural dessa lógica. Aprenderemos o que queremos dizer com forma exponencial e como multiplicar e dividir com esses números. Aprenderemos também como converter números entre forma algébrica, polar e exponencial antes de descobrir como a forma exponencial pode nos ajudar a resolver equações que envolvam números complexos.

A forma algébrica de um número complexo é 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖. 𝑎 e 𝑏 são números reais. E dizemos que 𝑎 é a parte real do número complexo, enquanto 𝑏 é a parte imaginária. E sabemos que a polar — às vezes chamada de forma trigonométrica de um número complexo — é 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. 𝑟 é o módulo e 𝜃 é o argumento geralmente dado em radianos. Então, e a forma exponencial de um número complexo?

Aqui, precisamos da fórmula de Euler. Isto diz que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. Agora, vamos comparar isso com a forma polar de um número complexo. Podemos ver que, se multiplicarmos por 𝑟, teremos 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 igual a 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. E assim, podemos escrever nosso número complexo 𝑧 como 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, onde 𝑟 ainda é o módulo e 𝜃 ainda é o argumento, dado em radianos aqui. E podemos usar os mesmos métodos para calcular o módulo e o argumento de um número complexo em forma exponencial, como faríamos para um número complexo escrito em forma polar. Vamos ver como isso pode ser.

Coloque o número 𝑧 igual a cinco raiz de dois sobre dois menos cinco raiz de seis sobre dois 𝑖 em forma exponencial.

Este número complexo está atualmente em forma algébrica. Tem uma parte real de cinco raiz de dois sobre dois e uma parte imaginária de menos cinco raiz de seis sobre dois. Lembre-se que um número complexo na forma exponencial é 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, onde 𝑟 é o módulo e 𝜃 é o argumento em radianos. O módulo é bastante simples de calcular. Para um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, seu módulo é a raiz quadrada da soma do quadrado de 𝑎 e 𝑏.

Nesse caso, é a raiz quadrada de cinco raiz de dois sobre dois tudo ao quadrado mais menos cinco raiz de seis sobre dois tudo ao quadrado. Cinco raiz de dois sobre dois tudo ao quadrado é 25 sobre dois. E menos cinco raiz de seis sobre dois tudo ao quadrado é 75 sobre dois. A soma de 25 sobre dois e 75 sobre dois é 100 sobre dois, que é simplesmente 50. Portanto, o módulo de 𝑧 é a raiz quadrada de 50, que podemos simplificar para cinco raiz de dois. Mas e o argumento?

Se colocarmos esse número complexo no plano de Argand, ele é representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são cinco raiz de dois sobre dois e menos cinco raiz de seis sobre dois. Isso significa que está no quarto quadrante. Podemos encontrar o argumento para números complexos que estão no primeiro e quarto quadrantes usando a fórmula arctg de 𝑏 dividido por 𝑎 ou arctg da parte imaginária dividida pela parte real.

Neste exemplo, isso é arctg de menos cinco raiz de seis sobre dois dividido por cinco raiz de dois sobre dois, que é menos 𝜋 sobre três. Portanto, o argumento para nosso número complexo é menos 𝜋 sobre três. Calculamos o módulo de 𝑧 para 𝑏 cinco raiz de dois e seu argumento como menos 𝜋 sobre três. Então, na forma exponencial, podemos dizer que são cinco raiz de dois 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre três 𝑖. E, neste ponto, vale lembrar que o argumento é periódico com um período de dois 𝜋. Então podemos adicionar ou subtrair múltiplos de dois 𝜋 ao nosso argumento.

Se adicionarmos dois 𝜋 a menos 𝜋 sobre três, obtemos cinco raiz de dois 𝑒 elevado a cinco 𝜋 sobre três 𝑖. Enquanto o argumento do número complexo nesta segunda forma está fora do intervalo para o argumento principal que é maior que menos 𝜋 e menor ou igual a 𝜋, não é incomum ver esses números escritos em qualquer forma. E quanto à conversão de um número na forma exponencial?

Bem, a conversão entre forma exponencial e polar é bastante direta, que é usar os mesmos valores para o módulo e o argumento. Para converter da forma exponencial de volta para a forma algébrica, primeiro convertemos para a forma polar e depois a convertemos para a forma algébrica. Como 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 é o mesmo que 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, podemos distribuir esses parênteses e comparar isso diretamente com a forma algébrica de um número complexo. A parte real será 𝑟 cos 𝜃 e a parte imaginária será 𝑖 sen 𝜃.

Agora que temos uma definição da forma exponencial para um número complexo, podemos usar isso para desenvolver algumas regras para multiplicação e divisão com esses números. Digamos que temos dois números complexos 𝑟 um 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 um e 𝑟 dois 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 dois. Seu produto é 𝑟 um 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 um multiplicado por 𝑟 dois 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 dois. E então, nos lembramos das propriedades do módulo e dos argumentos de um número complexo.

O módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto de seus módulos e o argumento de seu produto é igual à soma de seus respectivos argumentos. Portanto, podemos dizer que o produto de 𝑧 um e 𝑧 dois é 𝑟 um 𝑟 dois 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 um mais 𝜃 dois. Essencialmente, multiplicamos seus módulos e adicionamos seus argumentos. Da mesma forma, para dividir dois números complexos, obtemos 𝑟 um dividido por 𝑟 dois multiplicado por 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 um menos 𝜃 dois. Desta vez, dividimos seus módulos e subtraímos seus argumentos.

Agora, embora pareça que poderíamos ter simplesmente aplicado as regras para expoentes inteiros para derivar esses resultados, precisamos ser um pouco cuidadosos supondo que essas regras funcionem para todos os números complexos. Isso nem sempre é necessariamente verdade. E assim, é muito mais preferível pensar no produto e no quociente de números complexos em termos de seus módulos e argumentos. Vejamos como aplicar esses processos à multiplicação e divisão de números complexos na forma exponencial.

Dado 𝑧 um é igual a cinco 𝑒 elevado a menos 𝜋 por dois 𝑖 e 𝑧 dois é igual a seis 𝑒 ​​elevado a 𝜋 sobre três 𝑖, expresse 𝑧 um 𝑧 dois na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖.

Aqui, recebemos dois números complexos na forma exponencial e estamos sendo solicitados a encontrar o produto deles na forma algébrica. É muito mais simples multiplicar números complexos enquanto eles estão na forma exponencial. Então, vamos fazer isso primeiro antes de converter o produto na forma algébrica. Para multiplicar dois números complexos na forma exponencial, multiplicamos seus módulos e adicionamos seus argumentos.

O módulo do nosso primeiro número complexo é cinco e seu argumento é menos 𝜋 sobre dois. O módulo do nosso segundo número complexo é seis e seu argumento é 𝜋 sobre três. Isso significa que o módulo do produto desses dois números complexos será cinco vezes seis, que é 30. E o argumento de 𝑧 um 𝑧 dois será menos 𝜋 sobre dois mais 𝜋 sobre três.

Podemos adicionar essas duas frações criando um denominador comum. Que é seis. E temos menos três 𝜋 sobre seis mais dois 𝜋 sobre seis que é menos 𝜋 sobre seis. E, portanto, vemos que 𝑧 um 𝑧 dois é 30𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre seis 𝑖. E isso está na forma exponencial. Então, como podemos converter isso para a forma algébrica? A maneira mais fácil é representá-lo na forma polar primeiro. Que é 30 cos menos 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen de menos 𝜋 sobre seis. Nós distribuiremos esses parênteses.

E vemos que isso equivale a 30 cos de menos 𝜋 sobre seis mais 30 sen de menos 𝜋 sobre seis 𝑖. Agora, esses são resultados padrão. Cos de menos 𝜋 sobre seis é raiz de três sobre dois e sen de menos 𝜋 sobre seis é menos um meio. E podemos, portanto, ver que 𝑧 um 𝑧 dois — o produto desses dois números complexos — simplifica para 15 raiz de três menos 15𝑖. Isto está agora na forma algébrica conforme necessário. Se compararmos isso com a forma geral em nossa questão, vemos que 𝑎 é 15 raiz de três e 𝑏 é menos 15.

Dado que 𝑧 é igual a 𝑖 raiz de dois sobre um menos 𝑖, escreva 𝑧 na forma exponencial.

Para responder a essa pergunta, temos duas opções. Poderíamos dividir esses dois números complexos na forma algébrica. E para fazer isso, precisamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e depois distribuir e simplificar o máximo possível. Tenho certeza de que você concordará que esse é um processo demorado. Em vez disso, optaremos por escrever esses números complexos na forma exponencial. Então, precisamos calcular seus módulos e argumentos.

𝑖 raiz dois é um número puramente imaginário. Em um diagrama de Argand, ele é representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são zero, raiz de dois. Seu módulo é o comprimento do segmento de reta que une este ponto à origem. Então isso é a raiz de dois. E como o argumento é medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo, podemos ver que o argumento desse número complexo é equivalente a 90 graus. Isso é 𝜋 sobre dois radianos. E na forma exponencial, podemos dizer que isso é o mesmo que a raiz de dois 𝑒 elevado a 𝜋 sobre dois 𝑖.

O número complexo um menos 𝑖 é um pouco mais complicado. Sua parte real é positiva e sua parte imaginária é negativa. Então está no quarto quadrante. Agora, seu módulo é independente desse fato. Nós simplesmente usamos a fórmula a raiz quadrada da soma do quadrado das partes real e imaginária. Então essa é a raiz quadrada de um ao quadrado mais menos um ao quadrado, que mais uma vez é a raiz quadrada de dois.

Nós precisamos ser um pouco mais cuidadosos com o argumento. Como está no quarto quadrante, podemos usar a fórmula exclusiva para números complexos que são desenhados no primeiro e no quarto quadrantes. Isso é arctg de 𝑏 sobre 𝑎, arctg da parte imaginária dividida pela parte real. Portanto, neste caso, esse é o arctg de menos um sobre um que é menos 𝜋 sobre quatro. Esperávamos um valor negativo para o argumento, pois desta vez estamos medindo no sentido horário. E assim, podemos reescrever nossa fração como raiz de dois 𝑒 elevado a 𝜋 sobre dois 𝑖 sobre raiz de dois 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre quatro 𝑖. E agora podemos facilmente dividir.

Para dividir números complexos na forma exponencial, dividimos seus módulos e subtraímos seus argumentos. Raiz de dois dividido por raiz de dois é um e 𝜋 sobre dois menos menos 𝜋 sobre quatro é três 𝜋 sobre quatro. Na forma exponencial, 𝑧 é igual a 𝑒 elevado a três 𝜋 sobre quatro 𝑖. Já vimos como multiplicar e dividir com números complexos na forma exponencial. Vamos agora ver como usar propriedades de números complexos na forma exponencial para resolver equações.

Dado que 𝑎𝑒 elevado a 𝑖𝜃 mais 𝑏𝑒 elevado a menos dois 𝑖𝜃 é igual a cos de dois 𝜃 menos cinco 𝑖 sen de dois 𝜃, onde 𝑎 é um número real e 𝑏 é um número real, encontre 𝑎 e 𝑏.

Aqui, temos uma equação formada por números complexos, para os quais temos algumas incógnitas. Antes de podermos resolver 𝑎 e 𝑏, precisamos garantir que cada número complexo esteja na mesma forma. Vamos converter o lado esquerdo na forma polar. Ele é composto de dois números complexos. Seus módulos são 𝑎 e 𝑏, respectivamente. E seus argumentos são dois 𝜃 e menos dois 𝜃. Assim, podemos dizer que a soma deles é igual a 𝑎 cos de dois 𝜃 mais 𝑖 sen de dois 𝜃 mais 𝑏 cos de menos dois 𝜃 mais 𝑖 sen de menos dois 𝜃.

Agora, vamos usar o fato de que cos 𝜃 é uma função par e sen 𝜃 é uma função ímpar. E isso significa que cos de menos 𝜃 é o mesmo que cos de dois 𝜃. Mas sen de menos dois 𝜃 é o mesmo que menos sen de dois 𝜃. E podemos reescrever nossa equação um pouco, como mostrado. Precisamos distribuir 𝑎 e 𝑏 sobre seus respectivos parênteses. E então, nós agrupamos termos semelhantes. E vemos que temos cos de dois 𝜃 vezes 𝑎 mais 𝑏 mais 𝑖 sen de dois 𝜃 de 𝑎 menos 𝑏. E, é claro, comparando isso com a equação original, vemos que isso é igual a cos de dois 𝜃 menos cinco 𝑖 sen de dois 𝜃. E agora podemos equacionar coeficientes.

Equacionando coeficientes para cos de dois 𝜃, obtemos um igual a 𝑎 mais 𝑏. E para sen de dois 𝜃, obtemos menos cinco igual a 𝑎 menos 𝑏. Agora temos um sistema de equações em 𝑎 e 𝑏. Vamos adicionar estes para eliminar 𝑏. E quando fazemos, obtemos menos quatro igual a dois 𝑎. Então, 𝑎 deve ser igual a menos dois. E então, nós substituímos isso de volta na primeira equação. E nós temos um igual a menos dois mais 𝑏. Então, 𝑏 deve ser igual a três. Portanto, 𝑎 é igual a menos dois e 𝑏 é igual a três.

Podemos, claro, verificar isso escrevendo 𝑎 é ​​igual a menos dois e 𝑏 é igual a três na outra equação. Quando o fazemos, vemos que menos dois menos três são menos cinco, conforme necessário. No nosso exemplo final, vamos lembrar as propriedades do complexo conjugado e ver como ser capaz de identificar o complexo conjugado de números na forma exponencial pode nos economizar algum tempo.

Encontre o valor numérico de 𝑒 elevado a 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 mais 𝑒 elevado a menos 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖.

Para calcular a soma desses dois números complexos, poderíamos convertê-los na forma algébrica e adicionar simplesmente agrupando termos semelhantes. No entanto, é útil ser capaz de identificar o complexo conjugado de um número escrito na forma exponencial e veremos o porquê em um momento. Para um número complexo 𝑧 igual a 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, seu conjugado denotado 𝑧 estrela é 𝑟𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Observe como o módulo do conjugado é o mesmo que o módulo do número complexo original e que seu argumento é menos o argumento do número complexo original.

Os dois números complexos que temos 𝑒 elevado a 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 e 𝑒 elevado a menos 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 ambos têm um módulo de um. Mas o argumento do segundo número complexo é menos o argumento do primeiro e, de fato, vice-versa. Isto significa que 𝑒 elevado a menos 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 é o complexo conjugado para 𝑒 elevado a 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 e vice-versa. Mas por que isso ajuda? Bem, isso nos permite usar a regra para adição de um número complexo e seu conjugado. A soma de um número complexo e seu conjugado é igual a duas vezes a parte real desse número complexo.

Agora, a parte real de um número complexo escrito na forma exponencial ou polar é simplesmente 𝑟 cos 𝜃. Portanto, para o nosso número complexo, a parte real é um vezes cos de 11𝜋 sobre seis. E isso significa que a soma de 𝑒 elevado a 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 e seu conjugado 𝑒 elevado a menos 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 é duas vezes isso. Cos de 11𝜋 sobre seis é a raiz de três sobre dois. Então duas vezes a parte real do nosso número complexo é duas vezes a raiz de três sobre dois, que é simplesmente a raiz de três. E podemos ver que o valor numérico de 𝑒 elevado a 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 mais 𝑒 elevado a menos 11𝜋 ​​sobre seis 𝑖 é apenas raiz de três.

Neste vídeo, aprendemos que podemos expressar um número complexo na forma exponencial usando 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, onde 𝑟 é o módulo e 𝜃 é o argumento expresso em radianos. E vimos que trabalhar com números dessa forma pode nos ajudar a simplificar os cálculos, envolvendo multiplicação e divisão. Para multiplicar dois números complexos, por exemplo, multiplicamos seus módulos e adicionamos seus argumentos. E para dividir dois números complexos escritos na forma exponencial, dividimos seus módulos e subtraímos seus argumentos.