Video Transcript
Neste vídeo, o nosso tópico é o princípio da incerteza de Heisenberg. Este princípio da mecânica quântica estabelece limites fundamentais sobre a precisão com que podemos saber certos pares de variáveis.
Para ter uma ideia deste princípio, imagine o seguinte. Digamos que levemos uma lâmpada acesa para fora à noite e movamos a lâmpada muito rapidamente no ar enquanto tiramos uma foto dela. Ao ver imagens como esta, sabemos o que vai acontecer. A lâmpada parecerá borrada ao longo da distância percorrida enquanto a sua foto estava a ser tirada. Agora, quanto mais longa for esta sequência, mais rápido saberemos que a lâmpada se estava a mover. Mas temos menos certeza sobre a posição da lâmpada, onde ela estava localizada em qualquer ponto no tempo. Poderíamos dizer que quanto mais sabemos sobre a velocidade desta lâmpada enquanto se movia no ar, menos sabemos sobre a sua posição.
Esta é a ideia básica por trás do princípio da incerteza de Heisenberg, que dado um par particular de variáveis, digamos energia e tempo ou posição e momento, há um limite fundamental para o quão precisamente podemos saber ambas as variáveis em cada par. Quando dizemos que este limite é fundamental, queremos dizer que não depende de obter instrumentos mais precisos ou fazer medições melhores. É simplesmente um facto limitante da realidade.
Aqui está outra ilustração do princípio da incerteza. Digamos que temos uma onda sinusoidal que se estende infinitamente em duas direções e tem um comprimento de onda bem definido. E sabemos que quando uma onda tem um comprimento de onda bem definido, isso significa que esta também tem um número de onda bem definido, que é o número de comprimentos de onda que ocorrem por unidade de distância. Poderíamos dizer então que a nossa incerteza no número de onda desta onda, podemos chamar este valor de Δ𝑘, é muito pequena porque quando o comprimento de onda da onda é conhecido com precisão, o mesmo acontece com o seu número de onda. Há muito pouca incerteza neste valor.
Mas e se considerarmos a incerteza na posição desta onda? Podemos chamá-lo de Δ𝑥. Dissemos que esta onda segue em ambas os sentidos para infinitamente longe, então realmente não podemos atribuir qualquer posição particular a esta onda. Diríamos que a incerteza na posição da onda é grande. Estes dois valores, posição e número de onda, são o que chamamos de variáveis complementares. Isso significa, como já dissemos sobre o princípio da incerteza, que há um limite matemático básico para a precisão com que podemos saber ambas as variáveis ao mesmo tempo.
Para ver como isso funciona, vamos imaginar que adicionamos algumas outras ondas sinusoidais a esta. Digamos que adicionemos a segunda onda, que podemos ver tem um comprimento de onda ligeiramente mais curto do que a primeira. Quando estas ondas interferem, o nosso resultado é mais ou menos assim. E, em seguida, digamos que adicionemos ainda uma terceira onda, esta aqui. A onda resultante desta interferência seria assim. Ao olharmos para esta onda, podemos dizer que esta parece estar a ganhar posição para estar ao longo desta linha aqui, enquanto ao mesmo tempo o comprimento de onda e, portanto, o número de onda da onda, parecem estar a tornar-se menos distintos. Ou seja, não há mais nenhum valor único e claro para o número de comprimentos de onda por unidade de distância ao longo desta forma de onda.
Pudemos ver então que a incerteza na posição da nossa onda, que começou muito grande, está a ficar menor. Mas então, oposto a isto, a incerteza no número de onda, que começou como um pequeno valor precisamente conhecido, agora está a ficar maior. Isso ajuda-nos a ver uma realidade geral que, como tentámos saber a posição de um objeto e o número de ondas com mais e mais precisão, quanto menos incerteza temos num destes valores, digamos, a posição da onda à medida que a sua incerteza na posição fica menor, mais incerteza que temos no outro. Posição e número de onda, então, estas duas variáveis, são variáveis complementares.
Bem, o princípio da incerteza de Heisenberg não é algo que possamos escrever como uma única equação. Isto porque, como mencionámos, este princípio aplica-se a qualquer par de variáveis que não podem ser conhecidas com precisão total. No entanto, existem equações que podemos escrever para pares de variáveis específicas. Quando consideramos a incerteza na posição de um objeto, em conjunto com a incerteza do seu número de onda, lembrando que todos os objetos têm um comprimento de onda associado, chamado de comprimento de onda de de Broglie, então podemos escrever que o produto destas duas incertezas é sempre maior ou igual para a um meio.
Observe que no primeiro membro, a unidade de distância é anulada com a unidade de inverso da distância, de forma que no segundo membro o valor é não tem unidades. Isto significa que quanto menor este produto pode ser, mais precisamente podemos saber estas duas variáveis, Δ𝑥 e Δ𝑘, é dizer que uma multiplicada pela outra é igual a um meio, e este é o limite inferior. O produto sempre pode ser maior do que isto, como mostra a nossa equação.
Como um exemplo rápido, digamos que tínhamos um sistema em que a incerteza na posição deste sistema fosse de um quarto de metro. Isso significaria que a incerteza no número de onda do sistema teria que ter pelo menos dois metros inversos. Desta forma, quando multiplicamos estas incertezas, obtemos um resultado de pelo menos um meio, nada menor. Outro conjunto de variáveis complementares são a posição 𝑥 e o momento 𝑝. E podemos recordar que a incerteza no momento, Δ𝑝, de um sistema é igual a ℎ bar, que é a constante de Planck, dividida por dois 𝜋 multiplicada pela incerteza do seu número de onda. Isso significa que, se completarmos a nossa equação de incerteza para Δ𝑥 e Δ𝑝, o produto destes dois valores é sempre maior ou igual a ℎ bar sobre dois ou, escrito de outra forma, a constante de Planck ℎ dividida por quatro vezes 𝜋.
Existem ainda mais variáveis complementares que seguem o princípio da incerteza, mas o nosso foco por enquanto será nestas duas e trabalhar com estas para obter experiência prática. Para fazer isso, vejamos agora um exemplo de exercício.
Um eletrão num acelerador de partículas tem uma incerteza na sua posição de 5.11 vezes 10 elevado a menos 14 metros. Utilizando a fórmula Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é maior ou igual a ℎ sobre quatro 𝜋, calcule a incerteza mínima possível no momento do eletrão. Utilize um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para a constante de Planck. Apresente a resposta com três algarismos significativos.
Neste exemplo, então, temos um eletrão que se move a alta velocidade num acelerador de partículas. A qualquer instante, este eletrão tem uma posição e também uma quantidade de momento. E sabemos a sua posição com uma incerteza de 5.11 vezes 10 elevado a menos 14 metros. Isso significa que se tivéssemos uma distância como esta, poderíamos dizer que o eletrão está num lugar dentro desta distância. Por outras palavras, esta é a nossa incerteza na sua posição. E como vimos, esta incerteza é-nos dada como este número.
Junto com isto, o eletrão tem uma incerteza no seu momento, ou seja, a sua massa vezes a sua velocidade. Queremos resolver esta incerteza. E vamos fazer isso utilizando esta fórmula aqui: Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é maior ou igual a ℎ sobre quatro 𝜋. Nesta equação, Δ𝑥 é a incerteza na posição do nosso objeto. Δ𝑝 é a incerteza no seu momento. ℎ é a constante de Planck. E esta desigualdade aqui diz que Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é sempre maior ou igual a este valor aqui.
Agora, a nossa questão pede-nos especificamente para calcular a incerteza mínima possível no momento do eletrão. Este mínimo em Δ𝑝 ocorre quando Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é igual a ℎ em quatro 𝜋. Então, vamos reescrever esta equação com um sinal de igual, o que significa que estamos a resolver a incerteza mínima possível para Δ𝑥 vezes Δ𝑝. Já que estamos à procura de resolver em ordem a Δ𝑝, vamos dividir ambos os membros desta equação por Δ𝑥, anulando isto no primeiro membro. E assim, a incerteza mínima no momento do eletrão é a constante de Planck ℎ dividida por quatro 𝜋 vezes Δ𝑥.
Quando inserimos os valores dados para a constante de Planck e Δ𝑥, a resposta que calculamos, com três algarismos significativos, é 1.03 vezes 10 elevado menos 21 quilogramas metros por segundo. Esta é a incerteza mínima possível no momento deste eletrão.
Vejamos agora um segundo exercício de exemplo.
Um protão a mover-se no espaço livre tem uma incerteza no seu momento de 4.00 vezes 10 elevado a menos 28 quilogramas metros por segundo. Utilizando a fórmula Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é maior ou igual a ℎ sobre quatro 𝜋, calcule a incerteza mínima possível na posição do protão. Utilize um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para a constante de Planck. Apresente a resposta com três algarismos significativos.
Neste exercício, disseram-nos que temos um protão que se move ao longo do espaço livre. Isso significa que o protão está a mover-se efetivamente sem nenhuma força a atuar nele. Porque um protão tem massa e porque está em movimento, tem massa e velocidade e, portanto, tem momento. Este impulso, porém, não é conhecido com precisão total. Existe alguma incerteza nisto. Foi-nos dito um valor numérico para esta incerteza; podemos chamá-lo de Δ𝑝. E utilizando esta equação aqui no nosso enunciado de problema, queremos calcular a incerteza mínima possível na posição do protão.
Então, aqui, sabemos a incerteza no momento, e queremos calcular a incerteza na posição do protão. Sabemos que Δ𝑥 vezes Δ𝑝, a incerteza na posição do protão vezes a incerteza do seu momento, é maior ou igual à constante de Planck dividida por quatro 𝜋. Este símbolo, maior ou igual a, significa que há um limite fundamental para a precisão com que podemos saber estas duas variáveis, a posição e o momento do protão, ao mesmo tempo.
Neste exercício, queremos empurrar este limite o mais longe possível, porque estamos a calcular a incerteza mínima possível na posição do protão. Este mínimo ocorre quando Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é igual a ℎ em quatro 𝜋. Lembrando que sabemos 𝑝 e queremos resolver para Δ𝑥, podemos multiplicar ambos os membros da nossa equação por um dividido por Δ𝑝, anulando Δ𝑝 à esquerda. E assim, agora, temos uma expressão para a incerteza na posição do protão.
Para resolver isto, tudo o que precisamos de fazer é inserir o nosso valor dado para ℎ, a constante de Planck, e Δ𝑝, a incerteza no momento do protão. Substituindo estes dois valores, ao calcularmos esta fração, com três algarismos significativos, determinamos um resultado de 1.32 vezes 10 elevado a menos sete metro. E se lembrarmos que a conversão de um nanómetro é igual a 10 elevado a menos nove metros, então podemos escrever a nossa resposta como 132 nanómetros. O que estamos a dizer então é que existe uma distância no espaço, chamamo-la de Δ𝑥, dentro da qual podemos dizer que o nosso protão existe. E a menor distância que pode ser, dada a nossa incerteza no momento, é de 132 nanómetros. Esta é a nossa incerteza de posição mínima.
Vejamos agora um último exemplo de exercício.
Um muão que é produzido num acelerador de partículas tem uma incerteza na sua posição de 2.00 vezes 10 elevado a menos 11 metros. Utilizando a fórmula Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é maior ou igual a ℎ sobre quatro 𝜋, calcule a incerteza mínima possível no momento do muão. Utilize um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para a constante de Planck. Apresente a resposta com três algarismos significativos.
Neste exercício, temos um muão, uma partícula subatómica que é como um eletrão, mas mais massiva, a mover-se num acelerador de partículas. Há uma incerteza sobre exatamente onde este muão está. Dizemos que é a incerteza na sua posição e chamamo-la de Δ𝑥. Dado o valor de Δ𝑥, queremos calcular a incerteza mínima possível no momento do muão. E faremos isto utilizando esta equação: Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é maior ou igual a ℎ sobre quatro 𝜋.
Matematicamente, esta equação diz-nos que há um limite para o quão precisamente podemos saber a posição e o momento do nosso objeto, neste caso, um muão. Este limite de precisão é alcançado quando Δ𝑥 vezes Δ𝑝 é igual à constante de Planck dividida por quatro 𝜋. E como neste exercício, estamos a resolver o valor mínimo possível de Δ𝑝, utilizaremos esta igualdade. Podemos começar a resolver Δ𝑝 multiplicando ambos os membros por um sobre Δ𝑥, anulando isto no primeiro membro. E isto dá-nos esta expressão.
Sabemos o valor de ℎ. Isto é nos dado no enunciado do problema; esta é a constante de Planck. E também nos disseram a incerteza na posição do nosso muão, Δ𝑥. Quando substituímos estes valores e calculamos Δ𝑝, com três algarismos significativos, determinamos um resultado de 2.64 vezes 10 elevado a menos 24 quilogramas metros por segundo. Esta é a incerteza mínima do momento do muão.
Vamos resumir agora o que aprendemos sobre o princípio da incerteza de Heisenberg. Nesta aula, vimos que, para certos pares de quantidades físicas, há um limite fundamental de quão precisamente podemos saber ambos. Este limite que vimos é o que é descrito pelo princípio da incerteza de Heisenberg. No caso do par de quantidades, posição e número de onda, vimos que Δ𝑥, a incerteza na posição, vezes Δ𝑘, a incerteza no número de onda de um sistema, é sempre maior ou igual a um meio, enquanto que quando o par de variáveis que estamos a considerar a posição e o momento, o produto das suas incertezas é sempre maior ou igual à constante de Planck ℎ dividida por quatro vezes 𝜋. Este é um resumo do princípio da incerteza de Heisenberg.
