Vídeo: Resolvendo Equações Trigonométricas Envolvendo Ângulos Notáveis

Encontre o conjunto de valores que satisfazem sen 𝑥 = −√ (2) / 2, onde 0 ≤ 𝑥< 2𝜋.

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Transcrição do vídeo

Determine o conjunto de valores que satisfazem sen 𝑥 igual à raiz negativa de dois sobre dois, onde zero é menor ou igual a 𝑥 que é menor que dois 𝜋.

Agora, o intervalo que nos foi dado nesta forma, zero menor ou igual a 𝑥 menor que dois 𝜋, está a dizer-nos que precisamos de dar as nossas respostas em radianos em vez de graus. E também costumamos utilizar a nossa calculadora para calcular o seno de ângulos. Mas há certos ângulos do seno, do cosseno ou da tangente que devemos recordar de memória.

Vamos considerar este triângulo retângulo com dois lados iguais com uma unidade de comprimento, e chamaremos este ângulo 𝑥. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da hipotenusa; é a raiz quadrada de um quadrado mais um quadrado, que é a raiz quadrada de dois.

Agora, se quisermos calcular o seno deste ângulo, este lado aqui é o cateto oposto, este é o cateto adjacente, e esta é a hipotenusa. O seno de um ângulo é o oposto dividido pela hipotenusa.

Então, é um sobre raiz dois, mas eu tenho um número irracional no denominador. Então, se eu multiplicar por raiz dois sobre raiz dois, o que afinal é apenas um — não estou a alterar o valor deste número; estou apenas a mudar a forma de o apresentarmos — terminarei com um vezes a raiz de dois na parte superior, que é raiz de dois, e a raiz de dois vezes raiz de dois na parte inferior, que é apenas dois. Então, o seno deste ângulo em particular aqui é a raiz dois sobre dois.

Agora, da maneira como desenhámos este triângulo, temos um triângulo isósceles. Então, estes dois lados ambos de comprimento um, o ângulo 𝑥 será de 45 graus ou 𝜋 sobre quatro radianos. Bem, isto é tudo muito interessante, mas este não é o ângulo que estamos à procura. Estamos à procura de um ângulo que tenha um seno de menos raiz dois sobre dois, e não a raiz positiva de dois sobre dois.

Vamos considerar os ângulos no círculo trigonométrico. O intervalo que nos foi dado para as nossas respostas foi de zero a dois 𝜋, que é basicamente uma revolução dentro do círculo trigonométrico.

Agora, se arcarmos o ângulo 𝜋 sobre quatro no nosso círculo trigonométrico, que foi o ângulo que dissemos corresponder a um seno de raiz de dois sobre dois, então geramos este pequeno triângulo aqui que tem uma hipotenusa de comprimento um porque o círculo tem raio um, e a altura deste triângulo é o seno do ângulo 𝑥.

Agora lembre-se que 𝑥 é 𝜋 sobre quatro radianos, então o seno de 𝜋 sobre quatro radianos é a raiz de dois sobre dois. Se eu refletir este triângulo no eixo O𝑦, novamente terá uma hipotenusa de um e terá uma altura de raiz de dois sobre dois. Mas o ângulo a que corresponde não é apenas 𝑥; é todo este caminho até aqui. E isto é três 𝜋 sobre quatro.

Então, estamos a dizer que seno de três 𝜋 sobre quatro é igual a raiz de dois sobre dois. Bem, tudo isto é muito interessante, mas nós não conseguimos responder à nossa questão porque estamos à procura de ângulos que tenham um seno de menos raiz de dois sobre dois, não raiz de dois sobre dois.

Mas se eu pegar neste segundo triângulo e refleti-lo no eixo O𝑥, porque a altura agora está abaixo do eixo O𝑥, ficou negativa. Então, esta altura é a raiz negativa de dois sobre dois.

Então vejamos a que ângulo corresponde. É este aqui que vai além do 𝑥 original, para lá daquele que estávamos a observar, e faz todo este caminho até aqui. Este vai ser um ângulo de cinco 𝜋 sobre quatro.

É basicamente 𝜋, que é quatro 𝜋 sobre quatro, mais um extra 𝜋 sobre quatro. Portanto, esta é a primeira das nossas soluções. Agora, se refletirmos novamente no eixo O𝑦, este triângulo refletido também terá uma altura de raiz negativa de dois sobre dois, porque está abaixo do eixo O𝑥. E corresponde a um ângulo que vai até aqui, e este é sete 𝜋 sobre quatro.

E esta é a nossa segunda resposta. Então, numa revolução de 𝑥 de zero incluído até dois 𝜋, mas não incluído, encontramos duas soluções que nos dão um valor seno de raiz negativa dois sobre dois.

E colocando-os na notação de conjunto como a questão pede, temos duas soluções. E o conjunto-solução é, o primeiro é cinco 𝜋 sobre quatro e o segundo é sete 𝜋 sobre quatro.

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