Lesson Video: Assíntotas Horizontais e Verticais de uma Função

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Assíntotas Horizontais e Verticais de uma Função

Neste vídeo, aprenderemos como determinar as assíntotas horizontais e verticais de uma função. E veremos vários exemplos de como podemos o fazer. Vamos começar por recapitular a definição de uma assíntota.

Uma assíntota é uma reta na qual uma curva se aproxima cada vez mais arbitrariamente, mas não a interseta. Por exemplo, se considerarmos que o gráfico de 𝑦 igual um sobre 𝑥. Podemos ver que este tem uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero e uma assíntota vertical em 𝑥 igual a zero.

Vejamos agora uma definição mais rigorosa de uma assíntota vertical e horizontal. Podemos definir uma assíntota vertical como a seguir. Se, quando 𝑥 tende para uma constante 𝑐, 𝑓 de 𝑥 tende para mais ou menos ∞, então 𝑥 igual a 𝑐 é uma assíntota vertical. Outra maneira de pensar numa assíntota vertical é qualquer objeto que não tenha uma imagem definida.

Podemos definir uma assíntota horizontal da seguinte forma. Se, quando 𝑥 tende para mais ou menos ∞, 𝑓 de 𝑥 tende para uma constante 𝑐, então 𝑦 igual a 𝑐 é uma assíntota horizontal. Outra forma na qual podemos pensar em assíntotas horizontais é qualquer imagem que não possa ser alcançada a partir de nenhum objeto no domínio das funções.

No entanto, devemos ter cuidado ao utilizar esta linha de raciocínio, pois nem sempre é o caso. Às vezes, a imagem pode ser alcançada por um objeto no domínio das funções. E, no entanto, ainda pode existir uma assíntota neste ponto. Ao determinar assíntotas horizontais, geralmente é mais fácil considerar o que acontece quando 𝑥 tende para mais ou menos ∞.

Ao definir e determinar assíntotas verticais e horizontais, falamos muito sobre objetos e imagens. E por esse motivo, estas estão bastante ligadas ao domínio e ao contradomínio de funções. Se conhecermos o domínio e o contradomínio de uma função, geralmente é mais fácil determinar as assíntotas horizontais e verticais. Da mesma forma, se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais, geralmente é mais fácil determinar o domínio e o contradomínio da função. Vamos seguir em frente e ver um exemplo de como podemos determinar assíntotas verticais e horizontais.

Determine as assíntotas verticais e horizontais da função 𝑓 de 𝑥 é igual a menos um mais três sobre 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado.

Podemos começar por determinar a assíntota vertical dessa função. Agora, podemos determinar a assíntota vertical determinando qualquer objeto que não tenha uma imagem definida. Quando olharmos para a nossa função 𝑓 de 𝑥, percebemos que esta tem dois termos racionais. E estes são três sobre 𝑥 e menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado.

Agora, um termo racional é não está definido quando o seu denominador é zero. Portanto, para três sobre 𝑥, é quando 𝑥 é igual a zero. E para menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado, é quando 𝑥 ao quadrado é igual a zero. E quando 𝑥 ao quadrado é igual a zero, é claro que isso significa que também 𝑥 é igual a zero. Como estes dois termos aparecem em 𝑓 de 𝑥, quando um destes termos não está, 𝑓 de 𝑥 também não está definido.

Portanto, podemos dizer que quando 𝑥 é igual a zero, 𝑓 de 𝑥 não tem uma imagem não definida. Portanto, determinámos a assíntota vertical de 𝑓 de 𝑥. E que é 𝑥 igual a zero. Para determinar assíntotas horizontais, precisamos de determinar qualquer valor que não apareça no contradomínio da sua função. E para fazer isso, podemos considerar o que acontece quando 𝑥 tende para ∞.

Bem, podemos olhar para os termos em 𝑥 de 𝑓 de 𝑥. Temos três sobre 𝑥 e menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado. Quando 𝑥 tende para ∞, temos que o denominador de ambos os termos racionais ficará maior e maior e maior. E assim ambos os termos racionais se aproximarão de zero. No entanto, nenhum destes termos chegará a zero. Estes ficarão arbitrariamente próximos de zero.

Portanto, quando olhamos para 𝑓 de 𝑥 e temos estes dois termos racionais próximos de zero, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 tenderá para menos um. E podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 chegará arbitrariamente próximo de menos um sem atingir menos um. Portanto, teremos uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a menos um.

Aqui determinámos as assíntotas verticais e horizontais da nossa função 𝑓 de 𝑥. Estas estão em 𝑥 igual a zero e 𝑦 igual a menos um. E esta é a solução para a questão. No entanto, esta questão é um bom exemplo de por que precisamos de ter cuidado ao utilizar este raciocínio para determinar assíntotas horizontais. Como, às vezes, o valor pode aparecer no contradomínio da função. No entanto, pode ainda haver uma assíntota horizontal neste ponto.

Podemos ver isso definindo 𝑓 de 𝑥 igual a menos um. Temos menos um igual a menos um mais três sobre 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado. Podemos adicionar um dos dois membros da equação para obter zero igual a três sobre 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado.

No nosso próximo passo, adicionamos quatro 𝑥 ao quadrado a ambos os membros. A seguir, multiplicamos os dois membros da equação por 𝑥 ao quadrado. Em seguida, dividimos os dois membros da equação por três para obter 𝑥 igual a quatro sobre três. Portanto, isto diz-nos que quando 𝑥 é igual a quatro sobre três, 𝑓 de 𝑥 é igual a menos um. Portanto, menos um está no contradomínio de 𝑓 de 𝑥.

No entanto, existe na mesma uma assíntota em 𝑦 igual a menos um. Podemos ver por que é este o caso, considerando o gráfico de 𝑓 de 𝑥. Utilizando uma calculadora gráfica ou um software gráfico, podemos ver que o gráfico de 𝑓 de 𝑥 seria algo parecido com isto. Podemos ver que as assíntotas são em 𝑥 igual a zero e 𝑦 igual a menos um. E podemos ver onde a linha de 𝑓 de 𝑥 interseta a assíntota em 𝑦 igual a menos um e 𝑥 igual a quatro sobre três. Em seguida, podemos ver como 𝑓 de 𝑥 continua a apresentar um comportamento assintótico em relação à reta 𝑦 igual a menos um.

Uma vez que se olharmos para a direita de 𝑥 igual a quatro sobre três, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 está a aproximar-se arbitrariamente perto de 𝑦 igual a menos um sem realmente intersetar essa reta. E é por isso que devemos ter cuidado ao utilizar este raciocínio ao determinar assíntotas horizontais. No próximo exemplo, veremos como podemos determinar a assíntota de uma hipérbole. Uma hipérbole é um tipo de função racional com duas assíntotas.

Quais são as assíntotas da hipérbole 𝑦 igual a oito sobre quatro 𝑥 menos três mais cinco sobre três?

Podemos começar por determinar a assíntota vertical desta hipérbole. Utilizaremos o facto de uma assíntota vertical poder ser descrita como qualquer objeto sem imagem definida. Observando a equação da nossa hipérbole, vemos que temos um termo racional, que é oito sobre quatro 𝑥 menos três.

Agora sabemos que qualquer termo racional não está definido quando o denominador é zero. Então é quando quatro 𝑥 menos três é igual a zero. Podemos reorganizar isto para determinar 𝑥. Dá-nos que 𝑥 igual a três sobre quatro. Temos agora que quando 𝑥 é igual a três sobre quatro, este termo racional oito sobre quatro 𝑥 menos três não está definido.

Portanto, quando inserimos 𝑥 igual a três sobre quatro na equação da hipérbole, teremos um resultado não definido. Portanto, a nossa hipérbole terá uma assíntota vertical em 𝑥 igual a três em quatro.

Agora podemos avançar para determinar a assíntota horizontal. Assíntotas horizontais são valores que não estão no contradomínio da função. Para determinar estes valores, podemos considerar o que acontece quando 𝑥 tende para mais ou menos ∞.

Agora, o único termo dependente de 𝑥 na nossa equação é oito sobre quatro 𝑥 menos três. Agora, quando 𝑥 tende para mais ou menos ∞, este termo racional tende para zero. E, de facto, fica arbitrariamente próximo de zero. Portanto, se olharmos para a equação da hipérbole, podemos ver que 𝑦 chegará arbitrariamente mais perto de cinco sobre três, quando 𝑥 tende para mais ou menos ∞. Uma vez que o termo racional na equação tende para zero. Portanto, a nossa hipérbole tem uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a cinco sobre três. E agora descobrimos as assíntotas da nossa hipérbole, que completam a solução para esta questão.

Antes de avançarmos para o próximo exemplo, observemos rapidamente que é de facto possível que uma função tenha mais que uma assíntota horizontal ou vertical. Por exemplo, considere que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro. Podemos fatorizar o denominador desta função para obter um sobre 𝑥 menos dois multiplicado por 𝑥 mais dois.

Agora podemos identificar assíntotas verticais como qualquer objeto sem imagem definida. Como 𝑓 de 𝑥 é uma função racional, isso acontecerá quando o denominador for igual a zero. Portanto, quando 𝑥 menos dois multiplicado por 𝑥 mais dois é igual a zero. Isso dá-nos duas soluções e, portanto, duas assíntotas. E estas estão em 𝑥 igual a dois e 𝑥 igual a menos dois.

Utilizando estas assíntotas, poderíamos tentar esboçar o gráfico de 𝑓 de 𝑥. No entanto, primeiro precisamos de considerar o que acontece com 𝑓 de 𝑥 em torno dos valores de 𝑥 igual a dois e 𝑥 igual a menos dois. Devemos considerar quando 𝑥 é menor que menos dois, quando 𝑥 é entre dois e menos dois e quando 𝑥 é maior que dois.

Quando 𝑥 é menor que menos dois e maior que dois, 𝑥 ao quadrado menos quatro é maior que zero. Portanto, 𝑓 de 𝑥 deve ser positivo. E quando 𝑥 está entre menos dois e dois, 𝑥 ao quadrado menos quatro é menor que zero. Portanto, 𝑓 de 𝑥 é negativo. Utilizando estas informações, podemos esboçar um gráfico de 𝑓 de 𝑥, algo como isto. E como podemos ver, este tem duas assíntotas verticais. Determinar estas assíntotas realmente nos ajudou a esboçar este gráfico. Assim, podemos ver como as assíntotas podem ser úteis para desenhar gráficos.

Agora, existem certos casos em que devemos ter muito cuidado ao tentar determinar assíntotas. E estes são os casos em que a nossa função tem um fator que pode ser anulado. Considere o seguinte exemplo.

Determine as assíntotas da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 mais dois sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro.

Normalmente começaríamos por procurar as assíntotas verticais desta função. No entanto, se examinarmos cuidadosamente a nossa função, notamos que o denominador pode ser fatorizado. Portanto, podemos escrever 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 mais dois sobre 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 menos dois. E percebemos que podemos anular um fator de 𝑥 mais dois.

No entanto, devemos ter cuidado aqui, pois, ao fazer isto, estamos a alterar ligeiramente a função. Após o anulamento do fator, podemos chamar a nova função 𝑔 de 𝑥. Temos que 𝑔 de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥 menos dois. Podemos ver como estas duas funções diferem ligeiramente considerando os domínios destas funções.

Podemos ver que se introduzimos 𝑥 igual a menos dois em 𝑓 de 𝑥, teríamos uma imagem não definida. Uma vez que isto daria a 𝑓 um denominador de zero. No entanto, somos capazes de inserir 𝑥 igual a menos dois em 𝑔 de 𝑥.

Agora, é importante observar que, embora estas duas funções sejam um pouco diferentes, estas de facto têm as mesmas assíntotas. Portanto, podemos determinar as assíntotas de 𝑓 determinando as assíntotas de 𝑔. Então, vamos determinar estas assíntotas. Podemos identificar assíntotas verticais como qualquer objeto sem imagem definida.

Como 𝑔 de 𝑥 é uma função racional, isto acontece quando o denominador é igual a zero ou quando 𝑥 menos dois é igual a zero. Reorganizando isto, temos 𝑥 igual a dois. Portanto, 𝑔 de 𝑥 tem uma assíntota vertical em 𝑥 igual a dois. Podemos identificar uma assíntota horizontal como qualquer valor que não esteja no contradomínio da função. Podemos determinar estes valores considerando o que acontece quando 𝑥 tende para mais ou menos ∞.

Podemos ver que quando 𝑥 fica muito grande no sentido positivo ou negativo, o denominador de 𝑔 de 𝑥 fica muito grande no sentido positivo ou negativo. Portanto, 𝑔 de 𝑥 se aproximará cada vez mais de zero. Portanto, descobrimos que 𝑔 de 𝑥 tem uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero.

Como 𝑔 de 𝑥 e 𝑓 de 𝑥 partilham as mesmas assíntotas, ao determinar as assíntotas verticais e horizontais de 𝑔, determinamos as assíntotas verticais e horizontais de 𝑓. E isto completa a nossa solução para esta questão.

Mas antes de seguirmos em frente, vamos considerar rapidamente como 𝑔 e 𝑓 diferem com um esboço rápido. Aqui temos esboços de 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥. Podemos ver as assíntotas em 𝑦 igual a zero e 𝑥 igual a dois. Agora, a única diferença entre estes dois gráficos é que 𝑓 de 𝑥 é não está definido em 𝑥 igual a menos dois. E 𝑔 de 𝑥 é definido em 𝑥 igual a menos dois. E, apesar disso, podemos ver que os dois gráficos têm as mesmas assíntotas. No nosso exemplo final, veremos como podemos utilizar assíntotas para identificar o gráfico de uma função.

Qual dos seguintes gráficos representa 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 mais um?

Vamos começar por determinar as assíntotas verticais de 𝑓 de 𝑥. Podemos determinar assíntotas verticais identificando qualquer objeto sem imagem definida. Como 𝑓 de 𝑥 é uma função racional, isto acontece quando o seu denominador é zero, então quando 𝑥 mais um é igual a zero. Reorganizando, podemos ver que é quando 𝑥 é igual a menos um.

Aqui podemos deduzir que 𝑓 de 𝑥 tem uma assíntota vertical em 𝑥 igual a menos um. c) e d) são os únicos gráficos com assíntotas verticais em 𝑥 igual a menos um. Portanto, podemos eliminar as opções a) e b). Quando olhamos para os gráficos de c) e d), podemos ver que ambos têm uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero. Portanto, a nossa função 𝑓 de 𝑥 deve ter uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero.

Agora vamos ver como os gráficos c) e d) diferem. Para o gráfico c), podemos ver que quando 𝑥 é menor que menos um, 𝑓 de 𝑥 é negativo. E quando 𝑥 é maior que menos um, 𝑓 de 𝑥 é positivo. No entanto, para o gráfico d), quando 𝑥 é menor que menos um, 𝑓 de 𝑥 é positivo. E quando 𝑥 é maior que menos um, 𝑓 de 𝑥 é negativo.

Agora vamos ver o que acontece com 𝑓 de 𝑥 dado na questão quando 𝑥 é menor que menos um e quando 𝑥 é maior que menos um. Temos que quando 𝑥 é menor que menos um, 𝑥 mais um é negativo. Portanto, 𝑓 de 𝑥 também deve ser negativo. E quando 𝑥 é maior que menos um, 𝑥 mais um é positivo. Portanto, 𝑓 de 𝑥 também é positivo. E estas informações sobre 𝑓 concordam com o que mostramos no gráfico c). Portanto, a nossa solução é que o gráfico c) representa a nossa função 𝑓 de 𝑥.

Agora, abordámos uma variedade de exemplos de como podemos determinar assíntotas e quão úteis podem ser as assíntotas, especialmente ao identificar ou desenhar gráficos. Vamos agora recapitular alguns pontos principais do vídeo.

Pontos Chave. Para determinar as assíntotas verticais de uma função, precisamos de identificar qualquer ponto que leve a um denominador zero. Mas tenha cuidado se a função puder ser simplificada. Para determinar as assíntotas horizontais de uma função racional, precisamos de identificar qualquer valor que a função não possa assumir. No entanto, devemos ser cuidadosos aqui, pois a função pode receber o valor na assíntota como vimos no primeiro exemplo. Podemos utilizar as assíntotas para nos ajudar a identificar o domínio e o contradomínio de uma função. E, finalmente, podemos utilizar as assíntotas para nos ajudar a esboçar e identificar o gráfico de uma função.