O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Derivando e Integrando Séries de Potências Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, vamos aprender como derivar e integrar uma série de potências utilizando a derivação e a integração termo a termo e utilizar os resultados para determinar a representação em série de potências de algumas funções.

14:34

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como podemos determinar a séries de potências que resultam da derivação ou da integração de uma série de potências. Também veremos como podemos determinar uma representação em séries de potências para 𝑓 integrando uma série de potências para a derivada. Além de examinar como podemos determinar o intervalo de convergência de uma série de potências utilizando o cálculo.

Começamos por recordar que a soma de uma série de potências é dada pela função 𝑓 de 𝑥 igual é soma de 𝐶𝑛 vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado à 𝑛-enésima potência para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Cujo domínio é o intervalo de convergência da série. Idealmente, gostaríamos de poder derivar e integrar estas funções. E embora não demonstremos isso, o teorema a seguir diz que podemos fazê-lo simplesmente derivando ou integrando cada termo individual da série. Assim como faríamos por um polinómio.

Este teorema diz que se a nossa série de potências tiver um raio de convergência 𝑅 maior que zero. Então, a função 𝑓 definida por 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐶 zero mais 𝐶 um vezes 𝑥 menos 𝑎 mais 𝐶 dois vezes 𝑥 menos 𝑎 ao quadrado e assim por diante. Naturalmente, que pode ser escrita como a soma de 𝐶𝑛 vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞ é diferenciável e, portanto, contínua no intervalo aberto 𝑎 menos 𝑅 a 𝑎 mais 𝑅.

Executamos esta derivação termo a termo, de modo que 𝑓 linha de 𝑥 é igual à soma de 𝑛 vezes 𝐶𝑛 vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 menos um para valores de 𝑛 entre um e ∞. Da mesma forma, se integrarmos a nossa função em ordem a 𝑥, descobrimos que é igual à soma de 𝐶𝑛 vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 mais um dividido por 𝑛 mais um para valores de 𝑛 entre zero e ∞ mais, é claro, a constante de integração 𝐶. Agora denotamos este 𝐶 maiúsculo. E devemos ter a certeza de que está fora do somatório.

Em cada uma destas equações, os raios de convergência são ambos 𝑅. Vale ressaltar que, embora o raio de convergência 𝑅 permaneça o mesmo quando uma série de potências é derivada ou integrada, o intervalo de convergência pode não ser. Por outras palavras, os pontos finais do intervalo podem mudar de incluídos para não incluídos ou vice-versa. Podemos aplicar a ideia de que a derivada ou o integral de uma soma de funções é igual à soma da derivada ou do integral dessas respetivas funções a essas somas infinitas. E podemos escrever as equações como apresentadas, desde que trabalhemos com séries de potências. Vamos agora dar uma olhadela nalguns exemplos onde podemos utilizar esta ideia.

Considere a série 𝑓 de 𝑥 igual 𝑥 sobre um menos 𝑥 ao quadrado, que é igual à soma de 𝑥 elevado a dois 𝑛 mais um para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Derive a expansão da série dada de 𝑓 termo a termo para determinar a expansão da série correspondente para a derivada de 𝑓.

Vamos começar por utilizar a série de potências para escrever os primeiros termos. O primeiro termo é quando 𝑛 é igual a zero. Portanto, é 𝑥 elevado a dois vezes zero mais um, que é um. A seguir, consideramos 𝑛 igual a um. E temos dois vezes um mais um, que é três. Em seguida, vamos considerar 𝑛 igual a dois. E temos que o expoente é igual a cinco. E podemos continuar desta maneira. Descobrimos que os primeiros termos são 𝑥 elevado a um mais 𝑥 ao cubo mais 𝑥 elevado a cinco mais 𝑥 elevado a sete, e assim por diante.

Disseram-nos para derivar a expansão da série de 𝑓 termo a termo. E, portanto, vamos fazer exatamente isso. A derivada de 𝑥 em ordem a 𝑥 é apenas um. E lembramos que, para qualquer termo polinomial, derivamos multiplicando pelo expoente e depois reduzindo esse expoente uma unidade. Portanto, a derivada de 𝑥 ao cubo é três 𝑥 ao quadrado. A derivada de 𝑥 elevado a cinco é cinco 𝑥 elevado a quatro. Derivamos 𝑥 elevado a sete, e obtemos sete 𝑥 elevado a seis, e assim por diante.

Precisamos de encontrar uma maneira de escrever isto como uma soma. Então, vamos dar uma olhadela no que aconteceu. Multiplicámos pelo expoente todas as vezes. E vimos que esse expoente foi gerado utilizando a expressão dois 𝑛 mais um. Em seguida, reduzimos cada expoente uma unidade, enquanto o expoente original era de dois 𝑛 mais um. Portanto, o nosso novo expoente é dois 𝑛 mais um menos um. Os valores para a nossa soma permanecem os mesmos. Estes são de 𝑛 igual a zero até ∞. E é claro que dois 𝑛 mais um menos um é simplesmente dois 𝑛. E assim, ao derivar termo a termo, descobrimos a expansão em série correspondente para a derivada de 𝑓. É a soma de dois 𝑛 mais um vezes 𝑥 elevado a dois 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e∞.

A seguir, consideraremos um exemplo em que poderemos integrar.

Para a função dada 𝑓 de 𝑥 igual ao logaritmo natural de um mais dois 𝑥, determine uma representação em série de potências para 𝑓 integrando a série de potências de 𝑓 linha.

Não temos uma boa expansão em séries de potências para a função 𝑓 de 𝑥 igual ao logaritmo natural de um mais dois 𝑥. Mas devemos notar que a derivada de 𝑓, 𝑓 linha de 𝑥, é dois sobre um mais dois 𝑥. Então, vamos começar com uma equação que já vimos antes. Ou seja, um sobre um menos 𝑥 igual a um mais 𝑥 mais 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 ao cubo, e assim por diante. E escrevemos isto como a soma de 𝑥 elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞.

Escrevemos a nossa derivada como dois vezes um sobre um mais dois 𝑥. E a seguir utilizaremos a equação que vimos antes, substituindo 𝑥 por menos dois 𝑥. E isso é porque nós queremos na forma um menos algo. E um menos menos dois 𝑥 dá-nos um mais dois 𝑥. Portanto, podemos utilizar esta equação para escrever um sobre um mais dois 𝑥 como um mais menos dois 𝑥 mais menos dois 𝑥 ao quadrado mais menos dois 𝑥 ao cubo, e assim por diante. É claro que pode ser escrito como a soma de menos dois 𝑥 elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞.

𝑓 linha de 𝑥 é dois vezes um sobre um mais dois 𝑥. Portanto, isto é dois vezes a soma de menos dois 𝑥 elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Dois é independente de 𝑛. Então, vamos levá-lo para dentro da soma. E vamos reescrever como menos dois 𝑥 vezes menos um vezes 𝑥.

Em seguida, distribuímos este expoente em cada termo. E vemos que temos a soma de dois vezes dois elevado a 𝑛 vezes menos um elevado a 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛. Dois vezes dois elevado a 𝑛 potência pode ser escrito como dois elevado a 𝑛 mais um. E agora temos a nossa expressão para 𝑓 linha de 𝑥.

Estamos a tentar encontrar uma representação em série de potências para 𝑓. Então, lembramos que podemos conseguir isso integrando a nossa expressão para 𝑓 linha de 𝑥. E podemos fazer isso integrando cada termo individual da série. Isto é chamado de integração termo a termo. Aqui está o integral da soma de dois elevado a 𝑛 mais um vezes menos um elevado a 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 entre 𝑛 igual a zero e ∞ em ordem a 𝑥.

E, claro, como estamos a lidar com uma série de potências, podemos escrever isso como a soma dos integrais. Então, como vamos integrar dois elevado a 𝑛 mais um vezes menos um elevado a 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛? Bem, não importa o valor de 𝑛, dois elevado a 𝑛 mais um vezes menos um elevado a 𝑛 é uma constante. Isso significa que podemos tirá-lo do integral e focar na integração de 𝑥 elevado a 𝑛.

Agora, quando integramos 𝑥 elevado a 𝑛, sabemos que 𝑛 é positivo. Então, simplesmente adicionamos um ao expoente e depois dividimos por este novo número. Então, obtemos 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um. E é claro que tivemos esta constante de integração 𝐶, que está fora do somatório. Então, como é que determinamos esta constante de integração 𝐶?

Bem, vamos voltar para 𝑓 de 𝑥. Dizem-nos que é igual ao logaritmo natural de um mais dois 𝑥. E sabemos que se 𝑥 for igual a zero, obteremos um valor bastante bom para 𝑓 de zero. É o logaritmo natural de um mais dois vezes zero, que é o logaritmo natural de um, que é obviamente zero. Substituindo 𝑓 de 𝑥 por zero e 𝑥 por zero, vemos que zero é igual à soma de dois elevado a 𝑛 mais um vezes menos um elevado a 𝑛 mais zero elevado a 𝑛 mais um sobre zero mais um mais 𝐶.

Agora zero elevado a 𝑛 mais um sobre zero mais um é sempre zero. E assim temos a soma de zeros, que é zero. E descobrimos que a constante de integração em si é zero. E assim, integrando a série de potências para 𝑓 linha, encontrámos uma representação em série de potências para 𝑓. É a soma de dois elevado a 𝑛 mais um vezes menos um elevado a 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um.

Vamos dar uma olhadela noutro exemplo.

Considere a série 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre um mais 𝑥, que equivale à soma de menos um elevado a 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛, para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Derive a expansão de série dada de 𝑓 termo a termo para determinar a expansão da série correspondente da derivada de 𝑓. Em seguida, utilize o resultado da primeira parte para calcular a soma da série, a soma de menos um elevado a 𝑛 mais um vezes 𝑛 mais um sobre três elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞.

Foi-nos dada a expansão da série de 𝑓. Então, vamos determinar os primeiros termos. O primeiro termo é quando 𝑛 é igual a zero. É menos um elevado a zero vezes 𝑥 elevado a zero, que é igual a um. O segundo termo é quando 𝑛 é igual a um. Portanto, é menos um elevado a um vezes 𝑥 elevado a um, que é menos 𝑥. Em seguida, adicionamos menos um quadrado vezes 𝑥 ao quadrado, que é 𝑥 ao quadrado. E continuamos desta maneira. E vemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a um menos 𝑥 mais 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 ao cubo mais 𝑥 elevado a quatro menos 𝑥 elevado a cinco, e assim por diante.

A questão pede-nos para derivar a expansão da série de 𝑓 que nos dará 𝑓 linha. E, é claro, que podemos simplesmente fazer isto termo a termo. A derivada de um é zero e a derivada de menos e 𝑥 é menos um. A derivada de 𝑥 ao quadrado é dois 𝑥. E, em seguir, o nosso próximo termo é menos três vezes 𝑥 ao quadrado.

Continuamos desta maneira, multiplicando cada termo pelo seu expoente e depois reduzindo esse expoente uma unidade. Sem escrever o zero, vemos que podemos escrever 𝑓 linha de 𝑥 como menos 𝑥 elevado a zero — lembre-se, isto é apenas menos um — mais dois 𝑥 elevado a um menos três 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 ao cubo, e assim por diante.

Vamos pensar como podemos escrever isto como uma soma. Sabemos que começamos com um termo negativo e depois o sinal alterna. Para conseguir isto, precisamos de menos um elevado a 𝑛 mais um. Isso funcionará para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Em seguida, multiplicamos cada termo por 𝑛 mais um. Portanto, o primeiro termo é quando 𝑛 é igual a zero. E multiplicamo-lo por um. O segundo termo é quando 𝑛 é igual a um. E multiplicamo-lo por dois, e assim por diante. E é tudo 𝑥 vezes elevado a 𝑛.

E assim determinámos a expansão da série para a derivada de 𝑓. É a soma de menos um elevado a 𝑛 mais um vezes 𝑛 mais um vezes 𝑥 elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞.

A parte dois diz para utilizar o resultado da primeira parte para calcular a soma da série a soma de menos um elevado a 𝑛 mais um vezes 𝑛 mais um sobre três elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Vamos comparar esta soma com a que geramos na primeira parte desta questão. Se reescrevermos isto como a soma de menos um elevado a 𝑛 mais um vezes 𝑛 mais uma vezes um terço elevado a 𝑛, veremos que é da mesma forma. Apenas 𝑥 igual a um terço.

Então, o que faremos é derivar a nossa função original um sobre um mais 𝑥 e calcular isto quando 𝑥 for igual a um terço. Vamos escrever 𝑓 de 𝑥 como um mais 𝑥 elevado a menos um. E, em seguida, utilizamos a regra em cadeia. Quando o fazemos, descobrimos que a sua derivada é igual a menos um sobre um mais 𝑥 ao quadrado. A soma das nossas séries será o valor da derivada quando 𝑥 for igual a um terço. Portanto, isso é menos um sobre um mais um terço ao quadrado. Isto é menos um sobre 16 sobre 9, que é simplesmente menos nove dezasseis avos.

No nosso exemplo final, veremos como determinar o intervalo de convergência da derivada de uma série de potências.

Considere a série 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre um menos 𝑥 ao quadrado, que é igual à soma de 𝑥 elevado a dois 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Determine o intervalo de convergência para a derivada da série dada.

Deram-nos uma expansão da série de potências para a nossa função. E estamos à procura de encontrar o intervalo de convergência para a sua derivada. Assim, começamos por lembrar que a derivada da soma de 𝑥 elevado a dois 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞ é igual à soma da derivada de 𝑥 elevado a dois 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞.

Agora, é claro, quando derivamos um termo polinomial, multiplicamos o termo inteiro pelo seu expoente e reduzimos o expoente por um. Portanto, neste caso, a derivada 𝑓 linha de 𝑥 é a soma de dois 𝑛 vezes 𝑥 elevado a dois 𝑛 menos um para valores de 𝑛 entre zero e ∞. Então, como testamos a convergência?

Bem, recordemos do teste da razão. Estamos à procura especificamente por convergência. Pelo que podemos utilizar a primeira parte deste teste. E diz que, se o limite quando 𝑛 tende para ∞ do módulo de 𝑎 𝑛 mais um sobre 𝑎 𝑛 for menor que um, a série de somas de 𝑎 𝑛 converge. No nosso caso, 𝑎 𝑛 é dois 𝑛 vezes 𝑥 elevado a dois 𝑛 menos um. Portanto, 𝑎 𝑛 mais um é dois vezes 𝑛 mais um vezes 𝑥 elevado a dois 𝑛 mais um menos um. Dividimos por dois e distribuímos os nossos parênteses. E vemos que estamos à procura do limite quando 𝑛 tende para ∞ de 𝑛 mais um vezes 𝑥 elevado a dois 𝑛 mais um sobre 𝑛 vezes 𝑥 elevado a dois 𝑛 menos um.

Então, lembramos que, quando dividimos 𝑥 elevado a dois 𝑛 mais um por 𝑥 elevado a dois 𝑛 menos um, subtraímos os seus expoentes. E isso simplifica para 𝑥 ao quadrado. 𝑥 é independente de 𝑛. Portanto, podemos reescrever isto como o módulo de 𝑥 ao quadrado vezes o limite quando 𝑛 tende para ∞ de 𝑛 mais um tudo sobre 𝑛. Podemos dividir cada parte de 𝑛 mais um por 𝑛. E, em seguida, vemos que quando 𝑛 tende para ∞, um mais 𝑛 tende para zero. E isso significa que o limite quando 𝑛 tende para ∞ de um mais um sobre 𝑛 é simplesmente um. E, portanto, temos o módulo de 𝑥 ao quadrado.

Lembre-se, estamos interessados ​​onde isto converge. Então, precisamos de saber onde isto é menor do que um. Portanto, lembramos que, para o módulo de 𝑥 ao quadrado ser menor que um, o módulo de 𝑥 em si deve ser menor que um. O que significa que 𝑥 deve ser maior que menos um ou menor que um. E assim determinámos o intervalo de convergência para a derivada da nossa série. É o intervalo aberto de menos um a um.

Neste vídeo, vimos que podemos derivar ou integrar séries de potências derivando ou integrando cada termo individualmente, exatamente como faríamos com um polinómio. Chamamos a isto de derivação e integração termo a termo. Vimos que podemos escrever isto como a derivada da soma de 𝐶𝑛 vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 para valores de 𝑛 entre zero e ∞. É igual à soma da derivada de 𝐶𝑛 vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 entre estes mesmos valores. E temos uma fórmula semelhante para integração.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.