Vídeo: Derivando Funções Racionais Utilizando a Regra do Quociente

Determine 𝑑𝑦/𝑑𝑥 se 𝑦 = (𝑥² + 3)/(𝑥³ + 3).

02:17

Transcrição do vídeo

Determine 𝑑𝑦 sobre 𝑑𝑥 se 𝑦 for igual a 𝑥 ao quadrado mais três sobre 𝑥 ao cubo mais três.

Aqui temos que derivar uma função racional e para isso precisamos de utilizar a regra do quociente para derivadas o que nos permite escrever a derivada de um quociente de duas funções 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 em termos de 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 e as suas derivadas.

Vamos comparar 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 com o que temos de derivar para ver o que 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 são. 𝑓 de 𝑥 é o numerador 𝑥 ao quadrado mais três e 𝑔 de 𝑥 é o denominador 𝑥 ao cubo mais três. Para aplicar a regra do quociente, também precisamos das derivadas de 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥. A derivada de 𝑥 ao quadrado mais três é dois 𝑥, que podemos obter utilizando o facto de a derivada de uma potência de 𝑥, 𝑥 elevado a 𝑛, em ordem a 𝑥 é 𝑛 vezes 𝑥 para 𝑛 menos um e a derivada de uma função constante 𝑐 em ordem a 𝑥 é zero.

Aplicando estas regras novamente, descobrimos que a derivada de 𝑔 de 𝑥 em ordem a 𝑥 é três 𝑥 ao quadrado. Agora, temos todos os ingredientes necessários para aplicar a regra do quociente. Nós substituímos 𝑥 ao quadrado mais três em 𝑓 de 𝑥 e 𝑥 ao cubo mais três em 𝑔 de 𝑥 no segundo membro. Continuando a substituir, o primeiro termo no numerador torna-se 𝑥 cúbico mais três vezes dois 𝑥. E a partir daqui, subtraímos 𝑥 ao quadrado mais três vezes três 𝑥 ao quadrado e dividimo-lo por 𝑥 ao cubo mais três ao quadrado.

Agora vamos expandir e simplificar o numerador. Expandindo, temos dois 𝑥 para os quatro mais seis 𝑥 menos três 𝑥 para os quatro menos nove 𝑥 ao quadrado. E vemos que existem alguns termos semelhantes que podemos combinar para obter a nossa resposta final menos 𝑥 elevado a quatro menos nove 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 sobre 𝑥 ao cubo mais três ao quadrado.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.