O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Eventos Complementares Mathematics • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a probabilidade de eventos complementares.

16:07

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a probabilidade de eventos complementares. Começaremos lembrando algumas regras de probabilidade que já deveríamos saber e, em seguida, definiremos o que queremos dizer com evento complementar.

Sabemos que, para qualquer evento 𝐴, a probabilidade do evento 𝐴 ocorrer, escrito como 𝑃 de 𝐴, deve ser maior ou igual a zero e menor ou igual a um. Se a probabilidade for igual a zero, é impossível, e se a probabilidade for igual a um, é certo que acontecerá. Uma probabilidade pode ser escrita como uma fração, um decimal ou uma porcentagem. Se for escrito como uma porcentagem, a probabilidade de 𝐴 é maior ou igual a zero por cento e menor ou igual a 100 por cento. Também sabemos que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um evento é igual a um.

Por exemplo, vamos supor que temos quatro bolas vermelhas e três bolas azuis em um saco. A probabilidade de selecionar uma bola vermelha é de quatro em sete ou quatro sétimos. O numerador é o número de resultados bem-sucedidos, neste caso, as quatro bolas vermelhas. O denominador é o número de resultados possíveis, neste caso, sete, pois há sete bolas no total. A probabilidade de selecionar uma bola azul é de três sétimos, pois há três bolas azuis no saco. Como existem apenas duas cores, a probabilidade de selecionar uma bola vermelha mais a probabilidade de selecionar uma bola azul deve ser igual a um. Quatro sétimos mais três sétimos é igual a sete sétimos, o que equivale a um.

O complemento de um evento são todos os resultados possíveis que não são o nosso evento. Isso nos leva a uma terceira regra. A probabilidade do complemento do evento 𝐴 - em outras palavras, não 𝐴, que é escrito 𝐴 barra - é dada pela probabilidade de não 𝐴 é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. O complemento também é escrito às vezes como 𝐴 linha. Usando o exemplo acima, agora podemos calcular a probabilidade de não selecionar uma bola vermelha, o complemento do vermelho. Isso é igual a um menos quatro sétimos, pois quatro sétimos era a probabilidade de selecionar uma bola vermelha. Um menos quatro sétimos é igual a três sétimos. A probabilidade de não selecionar uma bola vermelha é de três sétimos.

Percebemos que isso é o mesmo que a probabilidade de selecionar uma bola azul. Isso ocorre porque havia apenas duas opções possíveis ao selecionar uma bola do saco, vermelha ou azul. A probabilidade de não selecionar uma bola vermelha será igual à probabilidade de selecionar uma bola azul e vice-versa. Vamos agora ver algumas questões em que precisamos calcular a probabilidade de um evento complementar.

Se a probabilidade de um evento acontecer é 11 em 30 ou onze trinta avos, qual é a probabilidade do evento não acontecer?

Sabemos que a probabilidade de um evento não acontecer é conhecida como evento complementar. Isso é denotado por 𝐴 barra ou 𝐴 linha, onde a probabilidade de 𝐴 barra é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Nesta pergunta, somos informados de que a probabilidade do evento acontecer é de 11 em 30. Se deixarmos que este seja o evento 𝐴, então a probabilidade de 𝐴 é igual a onze trinta avos ou 11 de 30. Podemos então calcular a probabilidade do evento não acontecer subtraindo isso de um. Um inteiro é o mesmo que 30 de 30 ou trinta trinta avos. Como os denominadores são os mesmos, simplesmente subtraímos os numeradores, dando-nos 19 de 30 ou dezenove trinta avos. A probabilidade do evento não acontecer é, portanto, igual a 19 de 30.

Nossa próxima pergunta envolve o cálculo de probabilidade usando decimais e porcentagens.

Se a probabilidade de um aluno ser aprovado em um exame é de 39 por cento, qual é a probabilidade do aluno ser reprovado?

Como existem apenas duas possibilidades neste cenário, o aluno pode ser aprovado ou reprovado, pois são complementos um do outro. Sabemos que a probabilidade de qualquer evento complementar, denotado 𝐴 barra, é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Ao lidar com porcentagens, o um é igual a 100 por cento. Como a probabilidade do aluno ser aprovado é de 39 por cento, a probabilidade do aluno ser reprovado será de 100 por cento menos 39 por cento. Isso é o mesmo que dizer que o aluno não passar no exame e é igual a 61 por cento.

Também poderíamos escrever essa resposta como uma fração ou decimal. Como as porcentagens estão em 100, isso pode ser escrito como uma fração como 61 em 100 ou sessenta e um centésimos. Como um decimal, isso é igual a 0,61, pois a reta em uma fração significa dividir e 61 dividido por 100 é 0,61. A probabilidade do aluno ser reprovado no exame é de 61 por cento, 61 em 100 ou 0,61.

Um método alternativo aqui seria converter 39 por cento na fração trinta e nove centésimos ou o decimal 0,39 primeiro. Poderíamos então subtrair qualquer um deles de um para calcular o complemento, que é igual a sessenta e um centésimos ou 0,61.

Nossas próximas duas perguntas são problemas mais complicados no contexto.

Uma caixa contém 56 bolas. A probabilidade de selecionar aleatoriamente uma bola vermelha é de cinco sétimos. Quantas bolas na caixa não são vermelhas?

O evento de selecionar uma bola vermelha e o evento de selecionar uma bola que não é vermelha são eventos complementares. A probabilidade do complemento de 𝐴, denotado por 𝐴 barra, é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Nesta questão, somos informados de que a probabilidade de selecionar uma bola vermelha, 𝑃 de 𝑅, é igual a cinco sétimos. Isso significa que a probabilidade de selecionar uma bola que não seja vermelha é de um menos cinco sétimos. Isso é igual a dois sétimos. A probabilidade de um evento ocorrer e seu complemento devem sempre somar um.

Também nos é dito nesta pergunta que existem 56 bolas na caixa. Dois sétimos dessas 56 bolas não são vermelhas, então precisamos calcular dois sétimos de 56. Como a palavra “de” em matemática significa multiplicar, precisamos multiplicar dois sétimos por 56. 56 é o mesmo que 56 sobre um. Podemos então cancelar ou simplificar em cruz dividindo 56 e sete por sete. Isso nos dá dois sobre um multiplicado por oito sobre um, o que equivale a 16 sobre um. Nós multiplicamos os numeradores e denominadores separadamente. Como isso é igual a 16, podemos concluir que 16 das 56 bolas do saco não são vermelhas.

Um método alternativo aqui seria calcular o número de bolas vermelhas primeiro. Podemos fazer isso calculando cinco sétimos de 56. Isso é igual a 40, então temos 40 bolas vermelhas na caixa. Isso significa que o resto das bolas não devem ser vermelhas. 56 menos 40 é igual a 16. Isso prova mais uma vez que há 16 bolas na caixa que não são vermelhas.

Uma turma tem 45 alunos. A probabilidade de escolher aleatoriamente um aluno com 10 anos ou menos é de dois terços. Quantos alunos da turma têm 11 anos ou mais?

Existem duas possibilidades ao selecionar um aluno nesta questão. Eles podem ter 10 anos ou menos, ou 11 anos ou mais. Estes são conhecidos como eventos complementares. Sabemos que a probabilidade de qualquer evento complementar, 𝐴 barra, ocorrer é igual a um menos a probabilidade de 𝐴, o evento em si ocorrer. A pergunta nos diz que a probabilidade de escolher um aluno com 10 anos ou menos é igual a dois terços. Isso significa que a probabilidade de selecionar um aluno que não tenha 10 ou menos é igual a um terço, pois um menos dois terços é um terço. Isso é o mesmo que dizer que a probabilidade de selecionar um aluno com 11 anos ou mais é de um terço. Um terço dos 45 alunos tem 11 anos ou mais.

Podemos calcular isso multiplicando um terço por 45. Multiplicar qualquer número por um terço é o mesmo que dividir o número por três. Sabemos que quatro dividido por três é igual a um resto um. 15 dividido por três é igual a cinco. Como 45 dividido por três é igual a 15, um terço multiplicado por 45 também é 15. Existem 15 alunos na turma com 11 anos ou mais. Um método alternativo aqui seria calcular dois terços de 45 primeiro. Este é o número de alunos com 10 anos ou menos. Como um terço multiplicado por 45 é 15, dois terços multiplicado por 45 são 30. Existem 30 alunos na turma com idade igual ou inferior a 10 anos.

Como 30 alunos têm 10 anos ou menos, podemos subtrair isso de 45 para calcular o número de alunos com 11 anos ou mais. Mais uma vez, isso nos dá uma resposta de 15 alunos.

Nossa pergunta final neste vídeo envolve o uso de uma tabela de frequência bidirecional.

A tabela representa os dados coletados de 200 participantes da conferência de diferentes nacionalidades. Encontre a probabilidade de que um participante selecionado aleatoriamente não fale inglês.

As linhas em nossa tabela nos dizem se o participante era homem ou mulher. As colunas nos dizem que idioma eles falam, se falam árabe, inglês ou francês. A pergunta nos diz que há um total de 200 participantes. Se deixarmos 𝐸 ser o evento que o participante da conferência fala inglês, podemos calcular a probabilidade do evento 𝐸. Este será o número de participantes que falam inglês do número total de participantes.

São 35 homens que falam inglês e 30 mulheres, o que nos dá um total de 65 pessoas. A probabilidade de que um participante selecionado aleatoriamente fale inglês é de 65 em 200 ou sessenta e cinco dois centésimos. Estamos interessados na probabilidade do participante não falar inglês. Isso é conhecido como complemento. Sabemos que a probabilidade de qualquer evento complementar, 𝐴 barra, ocorrer é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Nesta questão, a probabilidade de 𝐸 barra, o participante não falar inglês, é igual a um menos 65 de 200. Isso é igual a 135 de 200.

Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por cinco. 135 dividido por cinco é 27 e 200 dividido por cinco é igual a 40. A probabilidade de que um participante selecionado aleatoriamente não fale inglês é 27 de 40 ou vinte e sete quarenta avos. Também poderíamos escrever essa resposta como um decimal, considerando primeiro a fração 135 de 200. Dividindo o denominador por dois nos dá 100. Se dividirmos o numerador por dois, obtemos 67,5, pois metade de 100 é 50 e metade de 35 é 17,5. Dividindo 67,5 por 100 nos dá 0,675. A probabilidade do participante selecionado aleatoriamente não falar inglês, escrito em formato decimal, é de 0,675. Também poderíamos escrever isso como uma porcentagem multiplicando 100, dando-nos 67,5 por cento.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Para qualquer evento 𝐴, se 𝑃 de 𝐴 é a probabilidade do evento 𝐴 ocorrer, as seguintes regras existem. Quando a probabilidade é escrita como uma fração ou decimal, 𝑃 de 𝐴 deve ser maior ou igual a zero e menor ou igual a um. Como porcentagem, deve estar entre zero e 100 por cento. A soma das probabilidades de todos os resultados deve ser igual a um. Também descobrimos que a probabilidade do complemento de 𝐴, denotado 𝐴 barra, é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. O complemento significa a probabilidade do evento não ocorrer. Também é importante notar que o complemento de um evento às vezes também é escrito como 𝐴 linha.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.