Pop Video: Como Somar os Números até 100 Mais Rápido que o seu Professor

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Vamos ver uma maneira de somar todos os números de contagem de um a 100, ou 1000, ou até mais, muito rapidamente. Mas primeiro, vamos descobrir um brilhante matemático alemão chamado Johann Carl Friedrich Gauss, que conseguiu desenvolver esse método no calor do momento em que tinha cerca de oito anos de idade, para grande aborrecimento de seu professor! Se não fosse por sua relutância em mostrar seu trabalho completo, Gauss provavelmente teria sido meu matemático favorito. Ele nasceu na Alemanha em 1777 e mostrou uma incrível aptidão para a matemática desde muito cedo.

Por exemplo, dizem que sua mãe, que não sabia ler nem escrever, nunca anotou sua data de nascimento, mas lembrou que ele nasceu em uma quarta-feira e que eram oito dias antes da Festa da Ascensão naquele ano. Na tradição cristã, a Festa da Ascensão é celebrada no 40º dia da Páscoa, que se move a cada ano com base nas fases da lua. Gauss rapidamente usou essa informação para descobrir que ele deveria ter nascido no dia 30 de abril. Mas ele não fez apenas isso, ele inventou uma maneira inteligente de descobrir a data da Páscoa em todos os anos passados ​​e futuros.

Eu particularmente adoro essa abordagem de não apenas responder à mais estreita interpretação possível da pergunta que foi feita, mas, ao invés disso, apresentar uma abordagem geral que pode ser usada para responder perguntas semelhantes no futuro. A matemática pode ser usada para descrever e entender a estrutura e a natureza do mundo ao nosso redor, para que possamos fazer previsões sobre isso no futuro. Também admiro o entusiasmo e a tenacidade de Gauss.

Muitas pessoas ficariam aborrecidas com a mãe se ela lhes colocasse um quebra-cabeças complicado em resposta à pergunta “Quando é meu aniversário?” Mas ele solucionou o problema com alegria e depois encontrou uma solução geral para muitos problemas semelhantes. Quando meu filho de oito anos me perguntou quantos anos eu tinha, eu disse “Bem, daqui a sete anos, eu serei menos de três vezes mais velho que você pela primeira vez.” Mas ele não podia se incomodar em calcular e disse: “Tudo bem, eu vou perguntar para a mamãe”.

Uma das grandes conquistas iniciais de Gauss foi mostrar como polígonos regulares podem ser construídos usando bússolas e uma linha reta se o número de lados deles for o produto de primos distintos de Fermat e uma potência de dois. Ele também fez muitas outras grandes contribuições matemáticas, incluindo a prova da lei de reciprocidade quadrática, que nos permite ver se as equações quadráticas são solucionáveis ​​na aritmética modular. Ele completou um importante trabalho sobre o teorema dos números primos para nos ajudar a ver como os números primos são distribuídos entre os números inteiros. Ele não sabia o quão útil esse tipo de trabalho se tornaria na era da Internet, já que usamos números primos para nos ajudar a criptografar mensagens seguras em transações na Internet, e compreendê-las melhor se torna uma questão de segurança.

Ele trabalhou em vários tipos de geometria, magnetismo, levantamentos geodésicos, tornando os cálculos astronômicos muito mais fáceis e eficientes de fazer, a análise de regressão de mínimos quadrados. E a distribuição estatística normal foi nomeada a distribuição gaussiana depois dele. Em suma, todos nós nos beneficiamos diariamente de seu trabalho, desde os métodos estatísticos usados ​​para avaliar novos medicamentos até a análise de regressão usada pelos algoritmos de aprendizado de máquina que nos ajudam a melhorar a eficácia e a eficiência de nossas decisões.

Mas o que eu quero ver neste vídeo é a história de como, quando ele tinha apenas oito anos de idade, Gauss usou sua inteligência matemática brilhante para resolver um problema que aparentemente foi definido pelo seu professor de matemática como um castigo. Como acontece com a maioria das anedotas matemáticas antigas, é impossível saber exatamente o que aconteceu. E, dependendo de onde você faz sua pesquisa, você encontrará variações ligeiramente diferentes sobre essa história e sua idade no momento. Mas esta é minha versão favorita.

Costuma-se dizer que Gauss era uma criança prodígio. E os professores da escola achavam-no bastante difícil de lidar porque ele estava bastante inquieto nas aulas, sabia muito e pensava tão depressa! Um conto fala de uma época em que sua professora lhe disse para sentar e somar todos os números de um a 100, apenas para tentar fazer com que ele ficasse quieto por um tempo. Eles achavam que calcular “um mais dois é três”, “três mais três é seis”, “seis mais quatro é 10”, “10 mais cinco são 15”, “15 mais seis são 21” e assim por diante o caminho até 100, levaria anos. Mas ele rapidamente voltou com a resposta certa, 5050.

Em vez de fazer todos os cálculos individuais, Gauss percebeu que, se escrevesse todos os números de 1 a 100, poderia organizá-los em pares de números que somam 101. Portanto, um mais 100 é 101, dois mais 99 é 101, três mais 98 é 101, e assim por diante até 50 mais 51 é igual a 101. Então ele tinha 50 pares somando 101 cada. E a soma total, então, é 50 partes de 101 ou 50 vezes 101. E então cinco vezes 101 é 505 e 10 vezes 505 é 5050. Trabalho feito!

Agora, esse é um método interessante, mas vamos tentar fazer a coisa de generalização - podemos descrever o método ou escrevê-lo como uma fórmula, para que ele funcione para todos os problemas semelhantes? Bem, neste exemplo, estávamos somando 100 números consecutivos. E poderíamos agrupá-los em metade desse número - são 50 pares de números em que cada um somam 101, que é a soma do primeiro número, um, mais o último número, 100, perfazendo um total de 101. Então, se generalizarmos e digamos que temos 𝑛 números, em vez de especificamente 100 números, então podemos escrever nosso método matematicamente.

Em outras palavras, a soma dos números de um para 𝑛 é igual à metade do número de números - de modo que é o número de pares - vezes a soma do primeiro e do último número. Vamos chamar essa soma 𝑠 e o número de números é 𝑛. Então, metade do número de números é 𝑛 sobre dois. E multiplicamos isso pela soma do primeiro e do último número. Esse é um, o primeiro número, mais 𝑛, o último número, seja lá o que for. Então, a fórmula geral é que a soma, 𝑠, é igual a 𝑛 mais de duas vezes um mais 𝑛.

Agora, reunimos essa fórmula representando os cálculos que fizemos, passo a passo. Mas isso nos deixa, talvez, um pouco preocupados. Funcionou bem quando tínhamos um número par de itens na lista para somar, mas ainda funcionaria se tivéssemos um número ímpar de itens? Em seguida, o emparelhamento de números nos deixaria com outro número no meio, o que precisaríamos levar em conta.

Vamos ilustrar isso com uma lista menor para facilitar as coisas. Por exemplo, se somarmos todos os números inteiros de um a cinco, teríamos um mais cinco igual a seis, dois mais quatro é igual a seis. Mas então, nós teríamos esse número no meio. Então, se este tivesse sido o nosso ponto de partida para o problema, nós teríamos dito que, para cinco números, podemos conseguir que quatro deles se emparelhem para criar dois pares e então teríamos esse número sobrando no meio. E essa é a média do primeiro número e o último número da sequência. Então, um mais cinco, some-os, divida por dois porque há dois números ali. E você ganha seis sobre dois, o que é três.

E se estivéssemos tentando produzir nossa fórmula geral a partir dessa linha de pensamento, diríamos que a soma dos números é igual à soma dos pares mais o número do meio. Agora, qual é a soma dos pares dos números? Bem, temos cinco números e conseguimos usar quatro deles para fazer dois pares. Então quantos números nós tivermos, 𝑛, se reduzirmos em um, isso nos diz quantos números vamos conseguir fazer pares. E o número de pares, porque cada par consiste em dois números, será metade desse número. E a soma de cada par ainda é o primeiro número mais o último número.

Então, vamos multiplicar esse número de pares pela soma de cada par, um mais 𝑛. E nós dissemos que o número do meio era apenas a média do primeiro e do último número. Então esse é um mais 𝑛 o último número tudo dividido por dois. Agora, eu tenho um fator comum de um meio, que eu posso fatorar. Então, tenho um meio vezes 𝑛 menos um vezes um mais 𝑛 mais um mais 𝑛. Bem, agora eu tenho um fator comum de um mais 𝑛. Então, vou fatorar isso. E isso vai me deixar com apenas 𝑛 menos um como o primeiro termo entre parênteses e um como o próximo termo entre parênteses porque é apenas um vezes um mais 𝑛. Por isso, ajustei a fórmula um meio de um mais 𝑛 vezes 𝑛 menos um mais um.

Bem, porque estamos apenas adicionando e subtraindo aqui, posso remover esses parênteses para me deixar com 𝑛 menos um mais um. E, claro, se eu subtrair um e depois adicionar um, isso é zero. Então, dentro desse parêntese, isso simplifica para 𝑛. E, claro, se eu acabei de receber 𝑛 entre parênteses, na verdade eu nem preciso dos parênteses. Então minha soma - nós chamamos 𝑠 - é igual a um meio de um mais 𝑛 vezes 𝑛. Bem, mais uma vez, posso reorganizar isso. E nós temos a mesma fórmula que tivemos da última vez.

Então, se temos um número par de termos ou um número ímpar de termos, ainda podemos usar a mesma fórmula para somar todos esses números. Agora, não importa se eu somar os números um, dois, três, até 100 ou se eu fizer isso de trás para frente, de 100, 99, 98 para um. Então eu escrevi os dois métodos aqui. E se eu adicionar essas duas linhas, tenho 𝑠 mais 𝑠 me dá dois 𝑠. Então eu tenho duas vezes a soma dos números de um a 100 é 101 mais 101 mais 101, e assim por diante, e assim por diante 100 vezes. E isso significa que o dobro da soma será 100 vezes 101. Em outras palavras, duas vezes a soma que estou procurando é 10100. Então, se eu dividir ambos os lados por dois, eu acho que a soma desses números é 5050, que é a resposta que recebi antes.

Mas o importante é que, se generalizar essa fórmula, não me preocuparei com números pares ou ímpares, porque estou usando todos os termos da sequência. Então, escrevendo a soma dos números de um para 𝑛 para frente e para trás e, em seguida, adicionando essas duas linhas, em primeiro lugar, obtemos 𝑠 mais 𝑠 é igual a dois 𝑠. Então, um mais 𝑛 é igual a um mais 𝑛. Dois mais 𝑛 menos um, bem, dois menos um é um. Então é só um mais 𝑛 novamente. Três mais 𝑛 menos dois, bem, três tiram dois é um. Então temos um mais 𝑛 novamente e assim por diante. E então, temos 𝑛 menos dois mais três. Bem, dois negativos mais três são um. Então, novamente, temos 𝑛 mais um ou um mais 𝑛 e assim por diante. Então acabamos com duas vezes a soma é igual a 𝑛 e muitos um mais 𝑛 ou 𝑛 vezes um mais 𝑛.

E então, se eu dividir os dois lados disso por dois, é a mesma fórmula que temos antes, mas usando um método diferente. Então, usando esse método diferente nos ajudou a verificar se a fórmula está correta. No entanto, a diferença útil com esse método era que não parecia causar qualquer confusão se tínhamos um número par ou ímpar de termos na sequência.

Mas, finalmente, vamos tentar visualizar o problema de outra forma diferente, desenhando pontos em um padrão. Digamos que queremos somar os números de um a cinco. Podemos representar esses números usando linhas de um, depois dois, depois três, depois quatro, depois cinco pontos: um, dois, três, quatro, cinco. Então, temos um triângulo de pontos de cinco linhas de altura e cinco de largura. Como podemos contar com facilidade quantos pontos você tem? Bem, uma maneira é repetir o padrão. Então, podemos girar esse segundo triângulo de pontos em 180 graus e, em seguida, deslizá-lo ao longo daqui.

Agora, temos um retângulo de pontos com cinco colunas e cinco mais uma linha. Temos o dobro de pontos que precisamos. Mas o mais importante, eles fazem um bom padrão retangular, o que os torna fáceis de contar. Nesta configuração, precisamos apenas fazer cinco vezes seis para nos dar 30 pontos. Mas o número de pontos que procuramos é metade desse número. E um meio vezes 30 são 15. Então, havia 15 pontos azuis ou, em outras palavras, somando os números de um a cinco nos dá 15.

Agora, vamos generalizar isso para 𝑛 linhas no nosso triângulo. Eu sei que parece que há cinco linhas. Mas imagine que existem muito mais e não sabemos quantas são. Existem 𝑛 colunas e 𝑛 mais uma linha onde pegamos a cópia do nosso triângulo de pontos e os transformamos em um padrão retangular. Então, resumindo o dobro do número de pontos que queremos, isso é duas vezes a soma, vamos fazer 𝑛 vezes 𝑛 mais um. Como dissemos, esse é o dobro do número de pontos que procurávamos. Então, dividindo pela metade que nos dá a soma é igual a 𝑛 sobre duas vezes 𝑛 mais um. E agora, temos um terceiro método para criar a mesma fórmula e, claro, verificar nosso trabalho.

Agora, quando visualizamos o problema dessa forma e pensamos em quando 𝑛 é um, ou dois, ou três, e assim por diante, obtemos uma série de padrões. E as somas que obtemos quando 𝑛 é um, e dois, e três, e assim por diante, são chamadas de números triangulares. E Gauss também passou a trabalhar na matemática deles. Agora, tendo chegado à mesma fórmula de três maneiras diferentes, e posso dizer que há muitas maneiras diferentes de expressar isso algebricamente, podemos aplicá-la a qualquer sequência de números de um a algum número.

Então, quando 𝑛 é 100, como vimos, a soma é 5050. Quando 𝑛 é 1000, a soma é 500500. Quando 𝑛 é 1000000, a soma é 500000500000. E mesmo quando começamos com um número um pouco menos amigável como 3643, o cálculo não é trivial se você não tiver uma calculadora, mas ainda assim é muito mais fácil do que somar 3643 números diferentes.