Lesson Video: Ângulo entre Duas Retas no Espaço

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Nesta aula, aprenderemos como encontrar o ângulo entre duas retas em três dimensões. Para fazer isso, usaremos a fórmula para o cos do ângulo entre as retas que vem da definição do escalar ou produto escalar. As retas podem ser definidas de maneiras diferentes, e veremos como encontrar o ângulo entre duas retas que são definidas de formas diferentes. Você já deve estar familiarizado com a localização de equações de retas no espaço e o cálculo do produto escalar de dois vetores.

A reta mostrada tem vetor de direção 𝐝 e passa pelo ponto 𝐴, que possui coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um. Se 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 é qualquer ponto nesta reta e 𝐫 é o vetor posição de 𝑃, então a equação vetorial da reta pode ser escrita como 𝐫 é igual a 𝑥 um 𝐢 mais 𝑦 um 𝐣 mais 𝑧 um 𝐤 mais 𝜆 vezes 𝑎𝐢 mais 𝑏𝐣 mais 𝑐𝐤, onde 𝐢, 𝐣 e 𝐤 são os vetores unitários nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e 𝜆 é um escalar. Cada valor de 𝜆 fornece o vetor posição de um ponto na reta. E isso é equivalente à forma paramétrica onde 𝑥 é igual a 𝑥 um mais 𝜆𝑎, 𝑦 é igual a 𝑦 um mais 𝜆𝑏 e 𝑧 é 𝑧 um mais 𝜆𝑐. E estes dois são equivalentes à forma cartesiana onde 𝑥 menos 𝑥 um sobre 𝑎 é 𝑦 menos 𝑦 um sobre 𝑏 é igual a 𝑧 menos 𝑧 um sobre 𝑐.

O ponto com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑧 um é um de um número infinito de pontos na reta. O vetor 𝑎𝐢 mais 𝑏𝐣 mais 𝑐𝐤 é o vetor de direção 𝐝 e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são as razões de direção. Alternativamente, para uma reta que passa por dois pontos fixos conhecidos, como no diagrama dois, onde as coordenadas do ponto 𝐴 são 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑧 um e as coordenadas do ponto 𝐵 são 𝑥 dois, 𝑦 dois e 𝑧 dois e a reta é paralela ao vetor de direção 𝐝 - onde 𝐝 é 𝑥 dois menos 𝑥 um 𝐢 mais 𝑦 dois menos 𝑦 um 𝐣 mais 𝑧 dois menos 𝑧 um 𝐤 e as razões de direção são 𝑥 dois menos 𝑥 um, 𝑦 dois menos 𝑦 um, e 𝑧 dois menos 𝑧 um - usando 𝐴 ou 𝐵 como nosso ponto fixo, podemos escrever novamente nossa reta em uma das três formas dadas anteriormente, isto é, forma vetorial, paramétrica ou cartesiana.

Agora, suponha que temos duas retas no espaço 𝐿 um e 𝐿 dois, onde 𝐿 um é paralelo ao vetor de direção 𝐝 um, 𝐿 dois é paralelo ao vetor de direção 𝐝 dois e 𝜃 é o ângulo entre as duas retas. Podemos escrever essas duas retas em forma de vetor com as equações mostradas, onde 𝐫 um é o vetor posição de qualquer ponto em 𝐿 um e 𝐫 dois é o vetor posição de qualquer ponto em 𝐿 dois. Podemos escrevê-los na notação vetorial mais sucinta. E os componentes mais importantes deles, para nossos propósitos, são os vetores de direção 𝐝 um e 𝐝 dois. 𝐝 um é o vetor 𝑎 um 𝐢 mais 𝑏 um 𝐣 mais 𝑐 um 𝐤. E 𝐝 dois é o vetor de direção 𝑎 dois 𝐢 mais 𝑏 dois 𝐣 mais 𝑐 dois 𝐤.

A razão pela qual esses dois vetores de direção são tão importantes é que o ângulo entre as duas retas 𝐿 um e 𝐿 dois é definido como o ângulo entre seus vetores de direção 𝐝 um e 𝐝 dois. Se desenharmos 𝐝 um e 𝐝 dois de um ponto comum, podemos encontrar o ângulo entre eles usando a fórmula para seu produto escalar, lembrando que o produto escalar é a soma dos produtos de coeficientes semelhantes dos vetores unitários em cada direção. E, é claro, isso é um escalar. E lembre-se também que a magnitude de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes do vetor unitário de modo que, por exemplo, a magnitude de 𝐝 um é a raiz quadrada de 𝑎 um ao quadrado mais 𝑏 um ao quadrado mais 𝑐 um ao quadrado.

Lembre-se, porém, de que o que estamos procurando é 𝜃, o ângulo entre as duas retas. E se dividirmos ambos os lados de nossa equação pelo produto das magnitudes dos dois vetores e trocarmos os lados, temos cos 𝜃 que é o produto escalar de 𝐝 um e 𝐝 dois dividido pelo produto das magnitudes dos dois vetores. Para recapitular, para encontrar o ângulo entre duas retas, precisamos colocar nossas retas em uma forma na qual possamos ler os vetores de direção. Nós pegamos o produto escalar dos vetores de direção, dividimos pelo produto de suas magnitudes e então pegamos o cosseno inverso do nosso resultado.

É importante notar que se nossas retas são perpendiculares, então 𝐝 um ponto 𝐝 dois é igual a zero, o que, é claro, significa que 𝜃 é de 90 graus ou 𝜋 por dois. Se nossas duas retas são paralelas, por outro lado, o produto escalar é mais ou menos o produto das duas magnitudes. Nesse caso, o ângulo é zero ou 180 graus, dependendo das direções. Então, vamos ver como isso funciona na prática com alguns exemplos em que, em nosso primeiro exemplo, recebemos as razões de direção para duas retas.

Determine com precisão de segundo a medida do ângulo entre as duas retas que têm razões de direção de menos quatro, menos três, menos quatro e menos três, menos três, menos um.

Nós temos as relações de direção de duas retas. Vamos chamar nossas retas de 𝐿 um e 𝐿 dois. E somos solicitados a encontrar a medida do ângulo entre essas duas retas. Supondo, por enquanto, que nossos vetores de direção tenham sentido positivo um para o outro, o ângulo entre eles é um ângulo agudo. Vamos chamar isso de 𝜃. Agora, lembre-se de que as razões de direção de uma reta, e nós temos dois aqui, são os coeficientes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 dos vetores unitários 𝐢, 𝐣 e 𝐤 do vetor de direção da reta para que o vetor de direção é definido como 𝐝 é igual a 𝑥𝐢 mais 𝑦𝐣 mais 𝑧𝐤 onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são as razões de direção.

Em nosso caso, então, nossos vetores de direção são 𝐝 um é menos quatro 𝐢 mais menos três 𝐣 mais menos quatro 𝐤 e 𝐝 dois é menos três 𝐢 mais menos três 𝐣 mais menos um vezes 𝐤. Agora, para encontrar o ângulo entre duas retas com vetores de direção 𝐝 um e 𝐝 dois, respectivamente, podemos usar a fórmula cos 𝜃 é o produto escalar dos dois vetores de direção 𝐝 um e 𝐝 dois dividido pelo produto das magnitudes do dois vetores de direção. E lembre-se de que o produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos semelhantes dos coeficientes dos vetores unitários 𝐢, 𝐣 e 𝐤 de cada vetor, e isso é um escalar. E lembre-se de que a magnitude de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤, os vetores unitários.

No caso de um vetor de direção, é claro, os coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤 são as razões de direção. Portanto, no nosso caso, o nosso produto escalar é menos quatro vezes menos três mais menos três vezes menos três mais menos quatro vezes menos um. Isso é 12 mais nove mais quatro, que é 25. Para usar nossa fórmula, também precisamos encontrar nossas magnitudes. Agora, a magnitude de 𝐝 um, o primeiro vetor de direção, é a raiz quadrada de menos quatro ao quadrado mais menos três ao quadrado mais menos quatro ao quadrado. Essa é a raiz quadrada de 16 mais nove mais 16, que é a raiz quadrada de 41. E a magnitude de 𝐝 dois é a raiz quadrada de menos três ao quadrado mais menos três ao quadrado mais menos um ao quadrado. Essa é a raiz quadrada de nove mais nove mais um, que é a raiz quadrada de 19.

Então, temos que o produto escalar de nossos dois vetores de direção é 25. E a magnitude de 𝐝 um é a raiz quadrada de 41. A magnitude de 𝐝 dois é a raiz quadrada de 19. E abrindo espaço, podemos colocá-los em nossa fórmula de modo que cos 𝜃 seja 25 sobre a raiz quadrada de 41 vezes a raiz quadrada de 19. Tomando o inverso do cos em ambos os lados, temos 𝜃 é o inverso do cos de 25 sobre a raiz quadrada de 41 vezes a raiz quadrada de 19. E isso dá um ângulo de 𝜃 é a dízima 26,399 graus. Mas ainda não terminamos, pois nos pedem a medida do ângulo entre nossas duas retas para o segundo mais próximo.

Neste ponto, é importante que não tenhamos arredondado após a vírgula decimal. Temos 26 graus e, em seguida, encontramos nossos minutos multiplicando tudo depois da vírgula decimal por 60. E isso dá 23,952 etc minutos. Novamente, não arredondamos após a vírgula decimal porque, para encontrar os segundos, multiplicamos tudo depois da vírgula decimal novamente por 60, o que dá 57,126. Então, temos 26 graus, 23 minutos e 57 segundos. E nosso ângulo é agudo, então temos as direções corretas. E assim a medida do ângulo entre as duas retas que têm razões de direção de menos quatro, menos três, menos quatro e menos três, menos três, menos um ao segundo mais próximo é 𝜃 é de 26 graus, 23 minutos e 57 segundos.

Em nosso próximo exemplo, vemos como encontrar o ângulo entre duas retas, dadas as coordenadas de dois pontos em cada reta.

Uma linha reta 𝐿 um passa pelos dois pontos 𝐴 com coordenadas menos dois, dois, menos três e 𝐵 com coordenadas menos seis, menos quatro, menos cinco e uma linha reta 𝐿 dois passa pelos dois pontos 𝐶 com coordenadas um, quatro, um e 𝐷 com coordenadas menos nove, menos seis, menos nove. Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta com duas casas decimais, se necessário.

Recebemos duas coordenadas em cada uma das duas retas 𝐿 um e 𝐿 dois, e somos solicitados a encontrar o ângulo entre as duas retas. Existem algumas maneiras de fazer isso, mas vamos usar os vetores de direção das retas. Sabemos que se uma reta passa por dois pontos 𝑃 com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um e 𝑄 com coordenadas 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois paralelos ao vetor de direção 𝐝, então o vetor de direção para essa reta é 𝐝 igual a 𝑥 dois menos 𝑥 um vezes 𝐢 mais 𝑦 dois menos 𝑦 um 𝐣 mais 𝑧 dois menos 𝑧 um 𝐤 onde 𝐢, 𝐣 e 𝐤 são os vetores unitários nas direções 𝑥, 𝑦 e 𝑧. E podemos encontrar o ângulo entre duas retas usando a fórmula cos 𝜃 é o produto escalar dos dois vetores de direção sobre o produto das magnitudes dos dois vetores de direção.

E observe que os coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤 no vetor de direção são chamados de razões de direção. Então, para usar a fórmula, precisamos encontrar os vetores de direção de nossas duas retas. Então vamos começar com a nossa reta 𝐿 um passando pelos pontos 𝐴 com coordenadas menos dois, dois, menos três e 𝐵 com coordenadas menos seis, menos quatro, menos cinco. Referindo-se ao nosso vetor de direção 𝐝, então temos 𝐝 um é menos seis menos menos dois vezes 𝐢 mais menos quatro vezes 𝐣 mais menos cinco menos menos três vezes 𝐤. Isso é 𝐝 um é menos quatro 𝐢 menos seis 𝐣 menos dois 𝐤.

E agora, para a nossa reta 𝐿 dois, que tem ponto 𝐶 com coordenadas um, quatro, um e 𝐷 com coordenadas menos nove, menos seis, menos nove, o vetor de direção 𝐝 dois é menos nove menos um 𝐢 mais menos seis menos quatro vezes 𝐣 mais menos nove menos um vezes 𝐤. Isso é menos 10𝐢 mais menos 10𝐣 mais menos 10𝐤. Então, abrindo espaço, agora podemos usar nossos dois vetores de direção em nossa fórmula. A primeira coisa de que precisamos é o nosso produto escalar, e isso é dado pelo produto dos coeficientes de 𝐢 mais o produto dos coeficientes de 𝐣 mais o produto dos coeficientes de 𝐤. E isso, é claro, é um escalar. Então, no nosso caso, isso será menos quatro vezes menos 10 mais menos seis vezes menos 10 mais menos duas vezes menos 10. Isso é 40 mais 60 mais 20, que é 120.

Lembre-se também de que a magnitude do vetor 𝐝 é a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑧 ao quadrado, onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são os coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤, os vetores unitários. Então, para o nosso vetor 𝐝 um, a magnitude de 𝐝 um é a raiz quadrada de menos quatro ao quadrado mais menos seis ao quadrado mais menos dois ao quadrado. Essa é a raiz quadrada de 56. A magnitude do nosso vetor de direção 𝐝 dois é a raiz quadrada de menos 10 ao quadrado mais menos 10 ao quadrado mais menos 10 ao quadrado. E isso é igual à raiz quadrada de 300. E abrindo espaço agora, temos tudo o que precisamos para usar nossa fórmula.

Substituindo o produto escalar 𝐝 um ponto 𝐝 dois é 120 sobre a magnitude de 𝐝 um vezes a magnitude de 𝐝 dois. Essa é a raiz quadrada de 56 vezes a raiz quadrada de 300. Tomando o inverso do cos em ambos os lados, temos 𝜃 é o inverso do cos de 120 dividido pela raiz quadrada de 56 vezes a raiz quadrada de 300. E usando nossas calculadoras, isso é a dízima 22,2076 graus, que para duas casas decimais é 22,21 graus, de modo que a medida do ângulo entre nossas retas 𝐿 um e 𝐿 dois que, respectivamente, passam pelos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, 𝐷 é 22,21 graus.

Em nosso próximo exemplo, vamos ver como encontramos o ângulo entre duas retas, dadas suas equações cartesianas.

Encontre, com precisão de segundo, a medida do ângulo entre as duas retas, menos dois 𝑥 é quatro 𝑦 é igual a menos três 𝑧 e menos quatro 𝑥 é menos cinco 𝑦 é igual a dois 𝑧.

Temos duas retas para encontrar na forma cartesiana. E lembre-se, a forma cartesiana de uma reta é 𝑥 menos 𝑥 um sobre 𝑎 é igual a 𝑦 menos 𝑦 um sobre 𝑏 é igual a 𝑧 menos 𝑧 um sobre 𝑐. E é aí que o ponto 𝐴 com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um está na reta e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são as razões de direção do vetor de direção 𝐝, que é paralelo à reta. Vamos começar chamando nossas retas 𝐿 um e 𝐿 dois. E comparando os três termos na forma cartesiana geral com nossas retas, podemos determinar o ponto na reta. Mas, mais importante, podemos encontrar as razões de direção 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e, portanto, o vetor de direção 𝐝 para cada reta.

Podemos então usar a fórmula mostrada para encontrar o cosseno do ângulo entre as duas retas e pegar o inverso do cosseno para encontrar o ângulo. Então, vamos olhar primeiro para a nossa reta 𝐿 um. Comparando a expressão em 𝑥 com a nossa forma cartesiana, temos menos dois 𝑥 que é 𝑥 menos 𝑥 um sobre 𝑎. E separando nossa fração do lado direito, isso dá 𝑥 sobre 𝑎 menos 𝑥 um sobre 𝑎. E comparando os coeficientes, temos menos dois é igual a um sobre 𝑎 e zero é menos 𝑥 um sobre 𝑎. De nossa primeira equação, resolvendo 𝑎, temos 𝑎 que é menos um sobre dois. Então, de nossa segunda equação, isso deve significar que zero é 𝑥 um ou 𝑥 um é igual a zero. E abrindo espaço, temos 𝑎 que é menos um meio e 𝑥 um é igual a zero.

E fazendo o mesmo para o nosso termo 𝑦, descobrimos que 𝑏 é um quarto e 𝑦 um é igual a zero. E, finalmente, para os nossos termos 𝑧, descobrimos que 𝑧 é menos um terço e 𝑧 um é igual a zero. Agora, lembrando que 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑧 um são as coordenadas do nosso ponto 𝐴, temos 𝐴 com coordenadas zero, zero, zero. E lembrando que nosso vetor de direção é dado por 𝐝 é 𝑎𝐢 mais 𝑏𝐣 mais 𝑐𝐤 de modo que nosso vetor de direção para a reta 𝐿 um é 𝐝 um, que é menos um meio 𝐢 mais um sobre quatro 𝐣 mais menos um terço 𝐤. E vamos chamar nosso ponto 𝐴 um para distingui-lo do ponto na reta 𝐿 dois.

Agora, se fizermos a mesma coisa para a nossa segunda reta 𝐿 dois, 𝐿 dois passa pelo ponto 𝐴 dois com coordenadas zero, zero, zero e tem vetor de direção 𝐝 dois igual a menos um sobre quatro 𝐢 mais menos um sobre cinco 𝐣 mais um sobre dois 𝐤. Tudo o que precisamos usar em vetores são vetores de direção na fórmula para cos 𝜃. Vamos precisar do produto escalar de nossos dois vetores de direção. E lembre-se, essa é a soma dos produtos dos coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤, os vetores unitários, e que a magnitude do vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes de 𝐢, 𝐣 e 𝐤.

Em nosso caso, então, o produto escalar é menos um meio vezes menos um quarto mais um quarto vezes menos um quinto mais menos um terço vezes um meio. Isso é um sobre oito mais menos um vigésimo mais menos um sobre seis, o que é menos 11 sobre 120. E abrindo espaço, precisamos calcular as magnitudes de nossos dois vetores. A magnitude de 𝐝 um é a raiz quadrada de menos um meio ao quadrado mais um quarto ao quadrado mais menos um terço ao quadrado, que resulta na raiz quadrada de 61 sobre 12. E a magnitude de 𝐝 dois é a raiz quadrada de menos um quarto ao quadrado mais menos um quinto ao quadrado mais um meio ao quadrado. E isso resulta na raiz quadrada de 141 dividido por 20.

Então agora podemos colocar nossos três valores em nossa fórmula. E lembre-se de que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso. Temos menos 11 vezes 12 vezes 20 no numerador e 120 vezes a raiz quadrada de 61 vezes a raiz quadrada de 141 no denominador. Podemos cancelar um 12 no numerador e no denominador. E o resultado é 10 no denominador com 20 no numerador. E isso nos dá o cos do ângulo 𝜃 é menos 22 sobre a raiz quadrada de 61 vezes a raiz quadrada de 141. Agora, abrindo espaço, se pegarmos o inverso do cos em ambos os lados, descobrimos de fato, com três casas decimais, que 𝜃 é 103,722 graus. Mas este é um ângulo obtuso e nosso ângulo deve ser agudo. Então, vamos dar uma olhada em nossos vetores de direção.

Neste gráfico de nossos vetores de direção, podemos ver que o ângulo entre eles é obtuso. Mas quando nos referimos ao ângulo entre duas retas, queremos dizer o ângulo imprensado entre os sentidos positivos de ambos os vetores. Mas nossos vetores estão em direções opostas. Portanto, o ângulo que encontramos é o maior dos dois. E, de fato, é o menor ângulo agudo que queremos. O ângulo que encontramos corresponde a 𝛽 neste diagrama. E o ângulo que queremos é 𝛼, que é 180 menos 𝛽. No nosso caso, isso corresponde a 180 menos a dízima 103,722. Isso é 76,278 graus.

Não terminamos ainda, no entanto, pois queremos a medida do ângulo para o segundo mais próximo. Multiplicando sucessivamente após a casa decimal por 60, temos 76 graus, 16 minutos e 39 segundos. Então, para o segundo mais próximo, o ângulo entre as duas retas é de 76 graus, 16 minutos e 39 segundos.

Vamos completar este vídeo lembrando de alguns dos pontos principais. Se encontrarmos os vetores de direção de duas retas no espaço, podemos usar esses vetores de direção na fórmula para encontrar o ângulo entre eles. Mas lembre-se, queremos encontrar o ângulo agudo entre os sentidos positivos de ambas as retas.