Vídeo: A Regra da Potência da Integração

Determine ∫ −𝑥⁹ d𝑥.

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Transcrição do vídeo

Determine a antiderivada de menos 𝑥 à potência de nove em relação a 𝑥. Isso também é chamado de integral indefinida de menos 𝑥 elevado a nove.

Para 𝑛 não igual a menos um, a integral de 𝑥 à potência de 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a um sobre 𝑛 mais um vezes 𝑥 à potência de 𝑛 mais um mais uma constante arbitrária 𝐶. Esta é quase a forma do que temos, mas temos este sinal negativo aqui.

Podemos usar o fato de que a antiderivada de um múltiplo escalar de uma função é apenas aquele múltiplo escalar da antiderivada da função. E assim, com 𝑘 igual a menos um, podemos ver que a antiderivada do menos 𝑥 elevado a nove em relação a 𝑥 é apenas o negativo da antiderivada de 𝑥 elevado a nove em relação a 𝑥.

E tomando 𝑛 igual a nove, podemos ver que a antiderivada de 𝑥 elevado nove usando a nossa fórmula é um sobre nove mais um vezes 𝑥 elevado a nove mais um mais 𝐶.

Então, colocando isso junto com o sinal de menos que temos, obtemos menos um sobre 10 𝑥 elevado a 10 menos 𝐶. Este menos 𝐶 nos diz que estamos subtraindo uma constante arbitrária da nossa função, e essa constante pode ser positiva ou negativa, então podemos também dizer que estamos adicionando o oposto.

Então, ao invés de subtrair essa constante arbitrária, podemos dizer que estamos adicionando o oposto, e então temos menos um sobre 10 vezes 𝑥 à potência de 10 mais 𝐶, o que é mais convencional.

Nossa resposta final é que a antiderivada de menos 𝑥 elevado a nove com relação a 𝑥 é menos um sobre 10 𝑥 elevado a 10 mais 𝐶, e que mais 𝐶 representando uma constante arbitrária é muito importante, mas também fácil de esquecer .

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