Question Video: Encontrando os Comprimentos dos Lados Utilizando as Propriedades das Retas Paralelas

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Na figura dada, encontre os valores de 𝑥 e 𝑦.

Vamos dar uma olhada no diagrama com cuidado. Temos três retas paralelas, indicadas pelas setas azuis ao longo de seu comprimento. Temos então duas transversais cortando essas três retas paralelas. Temos os comprimentos de vários segmentos de reta diferentes no diagrama dados em termos das variáveis 𝑥 e 𝑦 cujos valores pretendemos calcular. O fato chave de que precisaremos nessa questão é o seguinte: as retas paralelas cortam as transversais proporcionalmente. Ou, em outras palavras, para este diagrama, a razão entre os segmentos de reta 𝐽𝐾 e 𝐾𝐿 na parte superior do diagrama é a mesma que a proporção entre os segmentos de reta 𝑀𝑃 e 𝑃𝑄 na parte inferior do diagrama.

Vamos substituir as expressões que temos para cada um desses segmentos de reta, em termos de 𝑥 e 𝑦. Isso dá seis 𝑥 menos 20 sobre quatro 𝑥 menos oito é igual a cinco 𝑦 menos 25 sobre três 𝑦 menos sete. Agora você pode estar pensando em como resolver essa equação para encontrar os valores de 𝑥 e 𝑦. Mas o problema é que temos apenas uma equação com duas incógnitas. E não é possível resolvê-lo. Vamos pensar nas outras informações que recebemos.

Olhando atentamente para o diagrama, podemos ver a presença dessas linhas na seção inferior, que nos diz que os segmentos de reta 𝑀𝑃 e 𝑃𝑄 são iguais em comprimento. Isso significa que a razão entre esses dois segmentos de reta e, portanto, também a razão entre 𝐽𝐾 e 𝐾𝐿, deve ser igual a um. Então, na verdade, podemos separar isso em uma equação envolvendo apenas 𝑥s e uma equação envolvendo apenas 𝑦s, ambos iguais a um. E resolva-os separadamente para encontrar os valores de 𝑥 e 𝑦.

Portanto, temos as duas equações: seis 𝑥 menos 20 sobre quatro 𝑥 menos oito é igual a um e cinco 𝑦 menos 25 sobre três 𝑦 menos sete é igual a um. Vamos resolver a equação no lado esquerdo. Primeiro de tudo, vou multiplicar ambos os lados da equação por quatro 𝑥 menos oito, a fim de tirar isso do denominador. Isso dá seis 𝑥 menos 20 é igual a quatro 𝑥 menos oito. Agora há 𝑥s em ambos os lados dessa equação. Então eu quero trazê-los para o mesmo lado. Mas primeiro, adicionarei 20 a ambos os lados da equação. Isso dá seis 𝑥 é igual a quatro 𝑥 mais 12. Agora eu vou trazer todos os 𝑥s para o mesmo lado, subtraindo quatro 𝑥 de ambos os lados da equação. E isso dá dois 𝑥 é igual a 12. O passo final é dividir os dois lados da equação por dois. Então encontramos o valor de 𝑥. 𝑥 é igual a seis.

A equação para 𝑦 pode ser resolvida de maneira muito similar. Primeiro, multiplicando por três 𝑦 menos sete, o que dá cinco 𝑦 menos 25 é igual a três 𝑦 menos sete. Você pode querer pausar o vídeo neste momento e verificar se pode resolver a equação de forma independente. O próximo passo é adicionar 25 a ambos os lados. Então eu tenho cinco 𝑦 é igual a três 𝑦 mais 18. Em seguida, vou subtrair três 𝑦 de ambos os lados da equação, dando dois 𝑦 é igual a 18. E, finalmente, vou dividir os dois lados da equação por dois. E nós temos então o valor de 𝑦 é nove.

Então, nós temos a solução para o problema, os valores de 𝑥 e 𝑦: 𝑥 é igual a seis, 𝑦 é igual a nove. Lembre-se, o fato chave que usamos nesta questão foi que as retas paralelas cortam as transversais proporcionalmente. Assim, a razão entre os segmentos de reta da primeira transversal no topo do diagrama era a mesma que a relação entre os segmentos de reta da segunda transversal na parte inferior do diagrama. Também precisávamos examinar o diagrama com cuidado para ver que nos disseram que os dois segmentos de reta 𝑀𝑃 e 𝑃𝑄 são de fato do mesmo tamanho. E, portanto, a proporção foi de um para um.