Vídeo: Operações com Números Complexos na Forma Trigonométrica

Neste vídeo, vamos aprender como realizar cálculos com números complexos na forma trigonométrica.

17:54

Transcrição do vídeo

Anteriormente, aprendemos sobre a forma polar de um número complexo. Esta também é conhecida como forma trigonométrica ou de módulo e argumento. Vimos como reconhecer quando o número complexo está escrito nesta forma e como converter entre esta forma e a forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, conhecida como forma algébrica retangular ou cartesiana de um número complexo. Mas ainda não vimos por que deveríamos escrever um número complexo na forma trigonométrica. O que o torna melhor que a forma algébrica? A resposta ou parte da resposta é que a forma trigonométrica facilita a multiplicação.

Vamos recapitular a forma trigonométrica de um número complexo. Está é 𝑧 igual a 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, onde 𝑟 deve ser maior que ou igual a zero. Com 𝑧 escrito desta forma, podemos ler de imediato o módulo e o argumento. O seu módulo é o valor de 𝑟. E o seu argumento é o valor de 𝜃. Isso explica por que a forma trigonométrica também é conhecida como forma de módulo e argumento. Isto é melhor entendido utilizando um diagrama de Argand. O módulo 𝑟 é a distância no ponto 𝑧 da origem zero. E o argumento 𝜃 é a medida do ângulo que o vetor de zero a 𝑧 faz com o eixo real positivo, quando medido em sentido anti-horário. Gostaria de mostrar como a forma trigonométrica facilita a multiplicação. Então, vamos precisar de dois números complexos.

Vamos chamar este de 𝑧 um, em vez de apenas 𝑧, com o módulo 𝑟 um e argumento 𝜃 um e introduzir o segundo número complexo, 𝑧 dois, cujo módulo é 𝑟 dois e cujo argumento é 𝜃 dois, fazendo 𝑟 dois vezes cos 𝜃 dois mais 𝑖 sen𝜃 dois na forma trigonométrica. Acontece que existe uma expressão muito simples para o produto 𝑧 um 𝑧 dois na forma trigonométrica. Esta é 𝑟 um 𝑟 dois vezes cos 𝜃 um mais 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 um mais 𝜃 dois. Isso está na forma trigonométrica, com um módulo de 𝑟 um vezes 𝑟 dois. Este é o produto dos módulos de 𝑧 um e 𝑧 dois. E o seu argumento é 𝜃 um mais 𝜃 dois, que é a soma dos argumentos de 𝑧 um e 𝑧 dois. Então, multiplicamos os módulos, mas adicionamos os argumentos. Isso fornece uma interpretação geométrica do produto de números complexos num diagrama de Argand.

Podemos pensar no efeito de 𝑧 um ao multiplicar por 𝑧 dois. Terminamos com um número complexo 𝑧 um 𝑧 dois, cujo módulo é 𝑟 dois vezes maior que o de 𝑧 um e cujo argumento é 𝜃 dois unidades maior que o de 𝑧 um. A multiplicação por 𝑧 dois transforma, portanto, o plano complexo pelo fator de escala de dilatação 𝑟 dois, seguido pela rotação de 𝜃 dois em sentido anti-horário. Está além do âmbito deste vídeo discutir mais sobre isto. Mas pode pensar por si próprio sobre o que acontece quando 𝑧 dois é um número real positivo ou um número real negativo ou 𝑖 ou um número imaginário.

Fizemos esta afirmação sobre a multiplicação de números complexos na forma trigonométrica. E agora devemos prova-la. Fazemos isso utilizando primeiro as expressões para 𝑧 um e 𝑧 dois na forma trigonométrica. Podemos reordenar os fatores para que 𝑟 dois apareça ao lado de 𝑟 um. E agora só precisamos de nos preocupar com os termos entre parênteses. E isso é apenas a multiplicação de dois números complexos na forma algébrica. Temos cos 𝜃 um cos 𝜃 dois mais 𝑖 vezes cos 𝜃 um sen 𝜃 dois, observe como reordenámos os fatores para que 𝑖 esteja à frente, mais 𝑖 sen 𝜃 um cos 𝜃 dois mais 𝑖 ao quadrado sen 𝜃 um sen 𝜃 dois. E 𝑖 ao quadrado é menos um. Portanto, isto deve ser menos sen 𝜃 um sen 𝜃 dois no final. Utilizando este facto, podemos agrupar os termos reais e os imaginários.

E agora, para a parte principal da demonstração, reconhecemos as partes reais e imaginárias como identidades da soma dos ângulos trigonométricos. A parte real é exatamente cos 𝜃 um mais 𝜃 dois. E a parte imaginária após a troca dos termos é apenas sen de 𝜃 um mais 𝜃 dois. E é isto que tínhamos que provar. Estas identidades trigonométricas parecem vir do nada para nos dar uma resposta inesperadamente agradável. Temos 𝑧 um vezes 𝑧 dois na forma trigonométrica. E podemos ler o módulo e o argumento. O módulo é 𝑟 um vezes 𝑟 dois. E o argumento é 𝜃 um mais 𝜃 dois.

Agora, se olharmos para a nossa expressão, podemos ver que 𝑟 um era apenas o módulo de 𝑧 um e 𝑟 dois era o módulo de 𝑧 dois. Portanto, o módulo de 𝑧 um vezes 𝑧 dois é o módulo de 𝑧 um vezes o módulo de 𝑧 dois. O módulo do produto é o produto dos módulos. E da mesma forma, 𝜃 um foi o argumento de 𝑧 um e 𝜃 dois de 𝑧 dois. Portanto, o argumento de 𝑧 um vezes 𝑧 dois é o argumento de 𝑧 um mais o argumento de 𝑧 dois. E conhecer o módulo e o argumento deste produto permite-nos escrevê-lo na forma trigonométrica. Portanto, estes dois factos juntos são equivalentes à afirmação que provámos. E agora que provámos essa afirmação, vamos aplicá-la.

Dado que 𝑧 um é igual a dois vezes cos 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen 𝜋 sobre seis e 𝑧 dois é igual a um sobre raiz de três vezes cos 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen 𝜋 sobre três, determine 𝑧 um vezes 𝑧 dois.

Se 𝑧 um é igual a 𝑟 um vezes cos 𝜃 um mais 𝑖 sen 𝜃 um e 𝑧 dois é igual a 𝑟 dois vezes cos 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 dois, então 𝑧 um vezes 𝑧 dois é 𝑟 um vezes 𝑟 dois vezes cos 𝜃 um mais 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 um mais 𝜃 dois. Comparando o que temos com a nossa fórmula, vemos que 𝑟 um é dois. E 𝑟 dois é um sobre raiz de três. E o módulo do nosso produto, 𝑟 um vezes 𝑟 dois, é, portanto, dois vezes um sobre a raiz de três. E o argumento? Bem, podemos ver que 𝜃 um é 𝜋 sobre seis. E 𝜃 dois é 𝜋 sobre três. O nosso argumento é a sua soma, 𝜋 sobre seis mais 𝜋 sobre três. E agora, só precisamos de simplificar. Dois vezes um sobre a raiz de três é dois sobre a raiz de três. E podemos racionalizar este denominador se quisermos multiplicar numerador e denominador pela raiz de três, para obter dois raiz de três sobre três. E o argumento? Podemos escrever 𝜋 sobre três como dois 𝜋 sobre seis. E, portanto, o argumento é de três 𝜋 sobre seis ou 𝜋 sobre dois.

Ao fazer a substituição, vemos que o produto que procuramos é dois raiz de três sobre três vezes três vezes cos 𝜋 sobre dois mais 𝑖 sen 𝜋 sobre dois. Deixaremos a nossa resposta na forma trigonométrica, mesmo sabendo os valores de cos 𝜋 sobre dois e sen 𝜋 sobre dois. E, esperemos que tendo passado por este exemplo, concorda que multiplicar dois números na forma trigonométrica é muito fácil. Precisa apenas de multiplicar os seus módulos e adicionar os seus argumentos. Isto é menos trabalho do que multiplicar dois números na forma algébrica.

Vamos ver outro exemplo.

Se 𝑧 um é igual a sete vezes cos 𝜃 um mais 𝑖 sen 𝜃 um, 𝑧 dois é igual a 16 vezes cos 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 dois e 𝜃 um mais 𝜃 dois é igual a 𝜋, então quanto é 𝑧 um vezes 𝑧 dois?

Bem, sabemos que o módulo de 𝑧 um vezes 𝑧 dois será o módulo de 𝑧 um, que é sete, vezes o módulo de 𝑧 dois. Isto é 16. E sete vezes 16 é 112. E também sabemos que o argumento de 𝑧 um vezes 𝑧 dois é o argumento de 𝑧 um mais o argumento de 𝑧 dois. O argumento de 𝑧 um é 𝜃 um. E o argumento de 𝑧 dois é 𝜃 dois. Portanto, isto torna-se 𝜃 um mais 𝜃 dois, como dissemos na questão é 𝜋. Agora sabemos o módulo e o argumento deste produto. É fácil escrevê-lo na forma trigonométrica. Se o módulo de 𝑧 é 𝑟 e o argumento de 𝑧 é 𝜃, então podemos escrever 𝑧 na forma trigonométrica como 𝑟 vezes cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. No nosso caso, 𝑟 é 112. E 𝜃 é 𝜋. Substituindo então, descobrimos que 𝑧 um vezes 𝑧 dois é 112 vezes cos 𝜋 mais 𝑖 sen 𝜋. Esta é a nossa resposta na forma trigonométrica.

Também poderíamos escrever esta resposta como menos 112. Isto também será aceitável. E poderíamos determinar este valor utilizando o facto de que cos 𝜋 é menos um e sen 𝜋 é zero ou utilizando o facto de que, se um número complexo tem um argumento de 𝜋, isso significa que é um número real negativo. E, claro, o único número real negativo com o módulo 112 é menos 112.

Vimos que o uso da forma trigonométrica do número complexo facilita a multiplicação. E o mesmo se aplica à divisão. Se 𝑧 um é igual a 𝑟 um vezes cos 𝜃 um mais 𝑖 sen 𝜃 um e 𝑧 dois é igual 𝑟 dois vezes cos 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 dois, então 𝑧 um sobre 𝑧 dois, o quociente de 𝑧 um e 𝑧 dois é 𝑟 um sobre 𝑟 dois vezes cos 𝜃 um menos 𝜃 dois 𝑖 mais sen 𝜃 um menos 𝜃 dois. Equivalentemente, o módulo de um quociente de números complexos é o quociente dos seus módulos. E o argumento de um quociente de números complexos é a diferença dos seus argumentos. E é esta afirmação equivalente que provaremos.

Para demonstrá-la, utilizaremos o que sabemos sobre o módulo e o argumento de um produto de números complexos. Dados dois números complexos, 𝑤 um e 𝑤 dois, sabemos que o módulo do seu produto é o produto dos seus módulos. E o argumento do seu produto é a soma dos seus argumentos. Isso já provámos. A ideia principal desta demonstração é ser 𝑤 um igual a 𝑧 um sobre 𝑧 dois e 𝑤 dois igual a 𝑧 dois. Fazendo esta substituição, descobrimos que o módulo de 𝑧 um sobre 𝑧 dois vezes 𝑧 dois é o módulo de 𝑧 um sobre 𝑧 dois vezes o módulo de 𝑧 dois. E no primeiro membro, os 𝑧 dois anulam-se. E, portanto, temos apenas o módulo de 𝑧 um no primeiro membro. E agora, podemos reorganizar isto para transformar o módulo de 𝑧 um sobre 𝑧 dois. E quando o fazemos, descobrimos que é o módulo de 𝑧 um sobre o módulo de 𝑧 dois, como queríamos.

Agora, só precisamos de fazer o mesmo para o argumento. Substituindo 𝑧 um sobre 𝑧 dois por 𝑤 um e 𝑧 dois por 𝑤 dois, obtemos que o argumento de 𝑧 um sobre 𝑧 dois vezes 𝑧 dois é o argumento de 𝑧 um sobre 𝑧 dois mais o argumento de 𝑧 dois. E novamente, os 𝑧 dois primeiro membro são anulados. Então, temos apenas o argumento de 𝑧 um no primeiro membro. Reorganizando, descobrimos que o argumento de 𝑧 um sobre 𝑧 dois é o argumento de 𝑧 um menos o argumento de 𝑧 dois, como queríamos. Conseguimos demonstrar esta afirmação equivalente, determinando o módulo e o argumento do nosso quociente. E com este módulo e este argumento, podemos escrever a forma trigonométrica do quociente 𝑧 um sobre 𝑧 dois. Isso também pode ser provado como um caso de multiplicação, basta escrever o quociente dos dois números complexos na forma trigonométrica. É mais simples, mas envolve muita manipulação algébrica. De qualquer forma, agora que vimos como podemos dividir números complexos na forma trigonométrica, vamos aplicá-lo a alguns problemas.

Dado que 𝑧 um é igual a 20 vezes cos 𝜋 sobre dois mais 𝑖 sen 𝜋 sobre dois e 𝑧 dois é igual a quatro vezes cos 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen 𝜋 sobre seis, determine 𝑧 um sobre 𝑧 dois na forma trigonométrica.

Bem, sabemos em geral que o módulo de um quociente de números complexos é o quociente dos módulos. E podemos apenas ler os módulos. São 20 e quatro. Portanto, o módulo do nosso quociente é 20 dividido por quatro, que é cinco. E podemos utilizar o facto de que o argumento de um quociente é a diferença dos argumentos, que no nosso caso são 𝜋 sobre dois e 𝜋 sobre seis. E podemos escrever 𝜋 sobre dois sobre o denominador seis. É três 𝜋 sobre seis. Portanto, a diferença é de dois 𝜋 sobre seis, que é 𝜋 sobre três. Este é o argumento do nosso quociente. Agora que temos o módulo e o argumento, podemos escrever o nosso quociente na forma trigonométrica. 𝑧 um sobre 𝑧 dois é cinco vezes cos 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen 𝜋 sobre três. Agora, isto não é muito mais fácil do que dividir números complexos na forma algébrica, em que precisa de multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador? Acho que sim.

Dado que 𝑧 é igual a cos sete 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen sete 𝜋 sobre seis, determine um sobre 𝑧.

Agora, poderíamos dividir da maneira que dividimos um número complexo na forma algébrica, utilizando o complexo conjugado deste número para tornar o denominador real. Mas 𝑧 também está na forma trigonométrica. O seu módulo um não está explicitamente escrito. Mas podemos escrevê-lo. E podemos ver que o argumento é de sete 𝜋 sobre seis. Agora, se escrever um na forma trigonométrica, teremos um quociente de dois números complexos na forma trigonométrica, que sabemos calcular. O módulo de um é um. E o argumento de um e de facto qualquer número real positivo é zero. Portanto, um na forma trigonométrica é um vezes cos zero mais 𝑖 sen zero.

Agora, temos que determinar o inverso de 𝑧. Este é um sobre 𝑧. E podemos escrever um sobre 𝑧 na forma trigonométrica. O módulo do seu quociente é então um dividido por um, que é um. E o argumento destes é a diferença dos argumentos. Isto é, zero menos sete 𝜋 sobre seis, que é menos sete 𝜋 sobre seis. Não precisamos de escrever explicitamente o módulo de um. Podemos simplesmente escrever que um sobre 𝑧 é cos de menos sete 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen de menos sete 𝜋 sobre seis. Esta é a nossa resposta final.

Vimos que o uso da forma trigonométrica de números complexos facilita a multiplicação e a divisão. Estes não exigem tanto trabalho. No entanto, não vimos como adicionar ou subtrair números complexos na forma trigonométrica. Isto acontece porque a adição e a subtração de números complexos na forma trigonométrica é geralmente muito mais difícil do que de números complexos na forma algébrica. Para adicionar dois números complexos na forma algébrica, basta adicionar as partes reais e as imaginárias e da mesma forma para subtração. Não poderia ser tão mais fácil.

Se precisar de adicionar ou subtrair números complexos na forma trigonométrica, geralmente é melhor convertê-los para a forma algébrica, antes de adicionar ou subtrair e depois converter novamente para a forma trigonométrica, se necessário. Antes do vídeo terminar, veremos outra operação cuja forma trigonométrica facilita. Esta é a potenciação, que envolve determinação potências de um número complexo. Esta é uma prévia de um tópico que será abordado com mais profundidade posteriormente.

Considere o número complexo 𝑧 igual a um mais 𝑖 raiz de três.

A nossa primeira tarefa é determinar o módulo de 𝑧. Isto é direto. Sabemos que o módulo de 𝑎 mais 𝑏𝑖 é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Substituindo um em 𝑎 e a raiz de três em 𝑏, obtemos a raiz quadrada de um mais três, que é a raiz quadrada de quatro, que é dois. Agora, para o argumento de 𝑧, vemos que 𝑧 está no primeiro quadrante. E assim o seu argumento 𝜃 pode ser determinado utilizando arctan. Substituindo novamente, descobrimos que o argumento é arctan raiz de três sobre um, que uma calculadora nos dirá que é 𝜋 sobre três. Portanto, isto significa utilizar os resultados anteriores, utilize as propriedades da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica para determinar o módulo e o argumento de 𝑧 ao cubo.

Não nos vamos apressar para 𝑧 ao cubo, mas primeiro consideramos 𝑧 ao quadrado. 𝑧 ao quadrado é apenas 𝑧 vezes 𝑧. E sabemos que o módulo do produto de números complexos é o produto dos seus módulos. Portanto, descobrimos que o módulo do quadrado de 𝑧 é o módulo de 𝑧 ao quadrado. E sobre o argumento de 𝑧 vezes 𝑧? Este é o argumento de 𝑧 mais o argumento de 𝑧 ou duas vezes o argumento de 𝑧. Agora, estamos prontos para considerar 𝑧 ao cubo. Utilizamos o facto de que 𝑧 ao cubo é 𝑧 vezes 𝑧 ao quadrado. E assim o módulo de 𝑧 ao cubo é o módulo de 𝑧 vezes o módulo de 𝑧 ao quadrado, que sabemos ser o módulo de 𝑧 ao quadrado. E assim vemos que o módulo do cubo de um número complexo é o cubo do módulo desse número complexo. Para determinar o argumento de 𝑧 ao cubo, utilizamos o mesmo truque, escrevendo 𝑧 ao cubo como 𝑧 vezes 𝑧 quadrado, utilizando o que sabemos sobre o argumento de um produto e o argumento de 𝑧 quadrado, descobrindo que o argumento do cubo de um número complexo é três vezes o argumento desse número complexo.

Agora, basta substituir os valores conhecidos do módulo de 𝑧 e do argumento de 𝑧. O módulo de 𝑧 é dois. Portanto, o módulo de 𝑧 ao cubo é oito. E o argumento de 𝑧 é 𝜋 sobre três. Portanto, o argumento de 𝑧 ao cubo é 𝜋. Finalmente, encontrámos o valor de 𝑧 ao cubo. Conhecemos o módulo e o argumento de 𝑧 ao cubo. Então, podemos escrever 𝑧 ao cubo na forma trigonométrica. É oito vezes cos 𝜋 mais 𝑖 sen 𝜋. Ou, utilizando o facto de que cos 𝜋 é menos um e sen 𝜋 é zero, poderíamos escrevê-lo como menos oito.

Mais interessante do que a resposta final é o que encontrámos no caminho, sendo estas as expressões para o módulo e argumento de 𝑧 ao cubo. Isto leva a uma expressão muito compacta para o cubo do número complexo na forma trigonométrica. Este é um caso especial do teorema de de Moivre, que será explorado em mais detalhes noutra altura.

Os pontos principais que abordámos neste vídeo são os seguintes. Cálculos que envolvem a multiplicação e a divisão de números complexos geralmente são mais simples quando trabalhamos na forma trigonométrica. No entanto, para a adição e a subtração, isto não é definitivamente verdade. Para números complexos, 𝑧 um igual a 𝑟 um vezes cos 𝜃 um mais 𝑖 sen 𝜃 um e 𝑧 dois igual a 𝑟 dois vezes cos 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 dois, as seguintes regras são válidas. O seu produto, 𝑧 um 𝑧 dois, é 𝑟 um vezes 𝑟 dois vezes cos 𝜃 um mais 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 um mais 𝜃 dois. E o quociente destes, 𝑧 um sobre 𝑧 dois, é 𝑟 um sobre 𝑟 dois vezes cos 𝜃 um menos 𝜃 dois mais 𝑖 sen 𝜃 um menos 𝜃 dois. A partir destas fórmulas, podemos ler o módulo e o argumento de um produto e quociente de números complexos. O módulo do produto de números complexos é o produto dos seus módulos. E o argumento do produto de números complexos é a soma dos seus argumentos. O módulo de um quociente de números complexos é o quociente dos seus módulos. E o argumento do quociente é a diferença dos argumentos.

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