Vídeo: Definição de Derivada

Neste vídeo, vamos aprender a calcular a derivada de uma função utilizando a definição formal de derivada como um limite.

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Transcrição do vídeo

Definição de Derivada

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a derivada de uma função utilizando a definição formal da sua derivada como limite. Abordaremos a definição de derivada com mais detalhes e, em seguida, examinaremos alguns exemplos. Vamos começar por explorar a definição de derivada num ponto particular.

Sabemos que a derivada de uma função 𝑓 de 𝑥 diz-nos a taxa de variação dessa função num ponto particular. Vamos escolher esse ponto como sendo 𝑥 zero. E este pode ser qualquer ponto. E sabemos que a taxa de variação da função neste ponto é igual ao declive da função neste ponto. Portanto, podemos determinar uma estimativa para a derivada aproximando a tangente à curva neste ponto e, em seguida, determinando o declive dessa tangente. Vamos agora considerar um novo gráfico de um 𝑓 de 𝑥 diferente.

Se estamos a tentar determinar a derivada de 𝑓 de 𝑥 em 𝑥 zero, então podemos fazer uma estimativa aproximando uma tangente em 𝑥 zero. Uma maneira a qual podemos desenhar uma tangente aproximada é escolher outro valor de 𝑥 que esteja próximo de 𝑥 zero, digamos 𝑥 zero mais ℎ onde ℎ é uma constante. Então, podemos traçar a nossa tangente aproximada como a reta que passa por 𝑥 zero, 𝑓 de 𝑥 zero e 𝑥 zero mais ℎ, 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ. É assim que a nossa tangente aproximada seria. No entanto, esta não é uma aproximação muito boa.

Uma maneira de melhorarmos a nossa aproximação à tangente neste ponto é diminuir o valor de ℎ. Digamos que tenhamos diminuído ℎ de tal forma que 𝑥 zero mais ℎ fique neste ponto do nosso eixo O𝑥, então o ponto 𝑥 zero mais ℎ, 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ, teria mudado para aqui. Então, a nossa nova aproximação à tangente passará por este ponto e o ponto 𝑥 zero, 𝑓 de 𝑥 zero. Portanto, será algo parecido com isto, que é uma melhor aproximação à tangente de 𝑓 de 𝑥 em 𝑥 zero.

Poderíamos melhorar ainda mais a aproximação se diminuirmos o valor de ℎ novamente, de modo que 𝑥 zero mais ℎ esteja neste ponto no nosso eixo O𝑥. Isso mudaria novamente o ponto 𝑥 zero mais ℎ, 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ. E, a seguir, poderíamos traçar uma nova aproximação para a tangente em 𝑥 zero, que podemos ver é ainda mais próxima da verdadeira tangente a 𝑥 zero. Agora, o que este método para aproximar a tangente a 𝑥 zero nos diz é que quanto menor o valor de ℎ, mais próxima a nossa tangente aproximada fica da verdadeira tangente a 𝑥 zero.

E assim, podemos dizer que o limite, à medida que ℎ tende para zero, da nossa tangente aproximada é de facto equivalente à verdadeira tangente de 𝑓 de 𝑥 em 𝑥 igual a 𝑥 zero. Agora, se nos lembrarmos o que é uma derivada, recordemo-nos que é o valor do declive da função naquele ponto particular. Como o declive da tangente a qualquer ponto da nossa curva representa o declive da função nesse ponto, podemos utilizar o declive das nossas tangentes aproximadas para nos ajudar a definir uma derivada.

Vamos recordar quais eram os pontos que estávamos a utilizar para aproximar as nossas tangentes. Utilizámos 𝑥 zero, 𝑓 de 𝑥 zero e 𝑥 zero mais ℎ, 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ. Sabemos que o declive de qualquer reta é a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥. Portanto, o declive de qualquer uma das nossas tangentes pode ser dada por 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 zero sobre 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑥 zero. No denominador, temos 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑥 zero. Assim, os dois 𝑥 zeros anulam-se, deixando-nos com o declive da nossa tangente igual a 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 zero tudo sobre ℎ.

Combinaremos o declive da tangente com o facto de que, quando 𝑥 zero se aproxima de zero, a nossa aproximação dessa tangente se aproxima da verdadeira tangente a 𝑥 zero, a fim de definir uma derivada. E assim, chegamos à definição de derivada. Dizemos que a derivada de uma função 𝑓 de 𝑥, num ponto 𝑥 zero, é definida como o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 zero tudo sobre ℎ se o limite existir.

Se permitirmos que 𝑥 um seja igual a 𝑥 zero mais ℎ, então temos que ℎ é igual a 𝑥 um menos 𝑥 zero. E quando ℎ tende para zero, 𝑥 um menos 𝑥 zero tende para zero, o que significa que 𝑥 um tende para 𝑥 zero. Portanto, podemos reescrever este limite em termos de 𝑥 um e 𝑥 zero em vez de 𝑥 zero e ℎ. Esta definição equivalente é o limite à medida que 𝑥 um tende para 𝑥 zero de 𝑓 de 𝑥 um menos 𝑓 de 𝑥 zero sobre 𝑥 um menos 𝑥 zero. E, novamente, isto é apenas se o limite existir.

Existem algumas maneiras as quais podemos denotar uma derivada. A primeira é utilizar a notação linha. Escreve-se como 𝑓 linha de 𝑥. Podemos dizer que é a derivada de 𝑓 em ordem a 𝑥. Outra maneira de denotar uma derivada é utilizar a notação de Leibniz. Que nos diz que se escrevermos 𝑓 de 𝑥 como 𝑦, então a derivada é d𝑦 sobre d𝑥, o que também significa a derivada de 𝑦 em ordem a 𝑥. Ambas as definições e notações aqui serão muito úteis para nós quando estudamos cálculo. E, portanto, é importante sentirmo-nos confortáveis a ​​utilizar as duas definições e os dois conjuntos de notação. Vamos agora ver alguns exemplos de como podemos utilizar a definição para determinar derivadas.

Determine a derivada de 𝑓 de 𝑥 que é igual a 𝑥 ao quadrado no ponto 𝑥 igual a dois a partir dos primeiros princípios.

O que esta questão quer dizer quando diz dos primeiros princípios é utilizar a definição de uma derivada. O que nos diz que a derivada de 𝑓 em ordem a 𝑥 em 𝑥 zero é igual ao limite à medida que 𝑥 tende para 𝑥 zero de 𝑓 de 𝑥 um menos 𝑓 de 𝑥 zero sobre 𝑥 um menos 𝑥 zero. A partir da questão, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado. E fomos solicitados determinar a derivada no ponto 𝑥 igual a dois. Portanto, 𝑥 zero é igual a dois.

A partir daqui, podemos dizer que 𝑓 linha de dois é igual ao limite quando 𝑥 um tende para dois de 𝑥 um ao quadrado menos dois ao quadrado sobre 𝑥 um menos dois. Podemos reescrever dois ao quadrado como quatro. Agora, vemos que no numerador da nossa fração temos 𝑥 um quadrado menos quatro, que é a diferença de dois quadrados. E assim, pode ser fatorizado para 𝑥 um menos dois multiplicado por 𝑥 um mais dois.

Aqui, notamos que temos um fator de 𝑥 um menos dois no numerador e no denominador. E como 𝑥 um menos dois não é igual a zero, podemos anulá-los aqui. E assim, descobrimos que 𝑓 linha de dois é igual ao limite quando 𝑥 um tende para dois de 𝑥 um mais dois. Utilizando substituição direta, obtemos que isto é igual a dois mais dois. E assim, chegamos à nossa solução, que é a derivada de 𝑥 ao quadrado no ponto 𝑥 igual a dois é quatro.

Agora, se nos lembrarmos no início deste vídeo, quando estávamos a definir a derivada, utilizámos os declives das aproximações às tangentes para nos aproximarmos cada vez mais da derivada da função. No próximo exemplo, veremos como podemos utilizar a definição de uma derivada para determinar com precisão o declive de uma tangente a uma função num ponto.

Seja 𝑓 de 𝑥 igual a oito 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais nove. Utilize a definição da derivada para determinar 𝑓 linha de 𝑥. Qual é o declive da tangente ao seu gráfico em um, dois?

A primeira coisa que precisamos de fazer é utilizar a definição da derivada para determinar 𝑓 linha de 𝑥. Podemos recordar a definição para a derivada, que nos diz que 𝑓 linha de 𝑥 é igual ao limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. Agora, no nosso caso, 𝑓 de 𝑥 é igual a oito 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais nove, pelo que podemos substituí-lo no nosso limite. Obtemos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual ao limite quando ℎ tende para zero de oito multiplicado por 𝑥 mais ℎ ao quadrado menos seis multiplicado por 𝑥 mais ℎ mais nove menos oito 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais nove tudo sobre ℎ.

O nosso próximo passo é desembaraçar os parêntesis. Obtemos este limite aqui. Percebemos que há algumas coisas que podemos anular no numerador da nossa fração. Temos oito 𝑥 ao quadrado e um menos oito 𝑥 ao quadrado. Temos menos seis 𝑥 e seis 𝑥. E também temos nove e menos nove. Removendo estes seis termos, ficamos com o limite quando ℎ tende para zero de 16ℎ𝑥 mais oito ℎ ao quadrado menos seis ℎ tudo sobre ℎ.

E notamos que temos um fator de ℎ no numerador e no denominador. Como ℎ não é igual a zero, podemos anulá-lo. Dando-nos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual ao limite quando ℎ tende para zero de 16𝑥 mais oito ℎ menos seis. Aplicando a substituição direta a este limite, chegamos à solução para a primeira parte da questão, que é 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 16𝑥 menos seis. Agora podemos passar para a segunda parte da questão, que é determinar o declive da tangente ao seu gráfico em um, dois.

Agora, sabemos que a derivada de 𝑓 nos dirá o declive em qualquer ponto de 𝑓. Portanto, o declive em um, dois será o valor de 𝑓 linha de 𝑥 quando 𝑥 for igual a um. Então, achamos 𝑓 linha de um. Isso dá-nos 16 multiplicado por um menos seis, o que simplifica para nos dar um declive de 10. No próximo exemplo, veremos como podemos utilizar a definição de uma derivada para determinar a derivada de uma função racional.

Utilizando a definição da derivada, calcule d por d𝑥 de um sobre um mais 𝑥.

Podemos recordar a definição da derivada. E é que, se definirmos 𝑦 como igual a 𝑓 de 𝑥, então d𝑦 sobre d𝑥 será igual ao limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. Agora, no nosso caso, 𝑦 é igual a um sobre um mais 𝑥. Portanto, podemos dizer que d𝑦 sobre d𝑥 é igual ao limite quando ℎ tende para zero de um sobre um mais 𝑥 mais ℎ menos um sobre um mais 𝑥 sobre ℎ.

Precisamos de escrever a nossa fração numa única fração sobre um denominador comum. E podemos fazê-lo determinando um denominador comum para as duas frações no numerador. Esse denominador comum é um mais 𝑥 multiplicado por um mais 𝑥 mais ℎ, deixando-nos com este limite. E podemos combinar as duas frações no numerador, deixando-nos com o limite quando ℎ tende para zero de menos ℎ sobre ℎ multiplicado por um mais 𝑥 multiplicado por um mais 𝑥 mais ℎ. Como ℎ não é igual a zero, podemos anular ℎ no numerador e denominador.

Em seguida, podemos aplicar regras dos limites. Temos que o limite de um quociente é igual ao quociente dos limites. Como menos um é uma constante, ficamos com isto. E podemos simplesmente aplicar a substituição direta, dando-nos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a menos um sobre um mais 𝑥 multiplicado por um mais 𝑥. E assim, chegamos à nossa solução, que é que d sobre d𝑥 de um sobre um mais 𝑥 é igual a menos um sobre um mais 𝑥 ao quadrado. No nosso exemplo final, veremos uma utilização diferente para a definição da derivada de uma função.

Calcule o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de ℎ mais quatro menos 𝑓 de ℎ menos dois mais 𝑓 de menos dois menos 𝑓 de quatro tudo sobre ℎ.

Aqui, podemos ver que o limite que fomos solicitados calcular é muito semelhante à definição da derivada. A definição da derivada diz-nos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual ao limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. Vamos tentar reorganizar a expressão dentro do nosso limite para ver se podemos tentar isolar a definição da derivada de 𝑓 num ponto.

A primeira coisa que notamos é que no numerador, temos um 𝑓 de ℎ mais quatro e um 𝑓 de quatro. Assim, podemos agrupar estes dois termos. Também temos 𝑓 de ℎ menos dois e 𝑓 de menos dois. Portanto, também podemos agrupar esses dois termos. Agora, que fizemos esse agrupamento no numerador, podemos dividir a nossa fração em dois, dando-nos o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de ℎ mais quatro menos 𝑓 de quatro tudo sobre ℎ mais o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de menos dois menos 𝑓 de ℎ menos dois tudo sobre ℎ.

Podemos notar que este primeiro limite parece muito próximo da definição de 𝑓 linha de quatro. Se escrevermos 𝑓 linha de quatro, veremos que é igual ao limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de quatro mais ℎ menos 𝑓 de quatro tudo sobre ℎ. A única diferença entre este limite e o limite determinado na questão é que ℎ mais quatro e quatro mais ℎ estão ao contrário. No entanto, como a ordem da adição não importa, estas duas coisas são de facto iguais. E, portanto, o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de ℎ mais quatro menos 𝑓 de quatro sobre ℎ é, de facto, 𝑓 linha de quatro.

Agora, vamos olhar para o segundo limite. Podemos ver na definição da derivada que subtraímos 𝑓 de 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ. No entanto, no nosso limite, estamos a subtrair 𝑓 de ℎ menos dois de 𝑓 de menos dois. Para obter isso na ordem certa, precisamos de multiplicar a nossa fração por menos um. Podemos fazê-lo se colocarmos um sinal de menos à frente do nosso limite. Obtivemos o limite negativo quando ℎ tende para zero de 𝑓 de ℎ menos dois menos 𝑓 de menos dois sobre ℎ.

Agora, isso parece muito próximo à definição da derivada de 𝑓 em 𝑥 igual a menos dois, pois 𝑓 linha de menos dois é igual ao limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de menos dois mais ℎ menos 𝑓 de menos dois tudo sobre ℎ. E, novamente, podemos ver que isto é idêntico ao nosso limite, exceto pelo facto de que ℎ e menos dois negativos estarem ao contrário. Mas sabemos que estas duas coisas são equivalentes.

E assim, podemos dizer que o nosso segundo limite é igual a 𝑓 linha de menos dois. E, portanto, chegamos à nossa solução. E é que o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de ℎ mais quatro menos 𝑓 de ℎ menos dois mais 𝑓 de menos dois menos 𝑓 de quatro tudo sobre ℎ é igual a 𝑓 linha de quatro menos 𝑓 linha de menos dois. Assim, cobrimos a definição de uma derivada e uma variedade de exemplos, incluindo-a. Vamos recapitular os pontos principais do vídeo.

Pontos chave

A derivada de uma função é definida como o limite em que ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. Uma definição alternativa, mas equivalente, da derivada é o limite quando 𝑥 tende para 𝑥 zero de 𝑓 de 𝑥 um menos 𝑓 de 𝑥 zero sobre 𝑥 um menos 𝑥 zero. Existem duas maneiras comuns de denotar derivadas — a notação linha, que é 𝑓 linha de 𝑥, e a notação de Leibniz, que é d𝑦 sobre d𝑥. A derivada define uma função que é igual ao declive da tangente em cada ponto da curva.

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