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Vídeo da aula: Subtração de Números Racionais Matemática • 7º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como subtrair números racionais, incluindo frações e decimais.

17:00

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como subtrair números racionais, incluindo frações e decimais. Antes de considerarmos a subtração de números racionais, vamos lembrar-nos do que são números racionais.

Uma definição formal de números racionais diz que números racionais são números que podem ser escritos na forma 𝑝 sobre 𝑞 onde 𝑝 e 𝑞 são inteiros e 𝑞 não é igual a zero. Os números racionais podem ser feitos dividindo dois inteiros 𝑝 sobre 𝑞. Outra maneira de pensar nisto é que podem ser escritos como uma fração de dois inteiros. Um valor não precisa de estar nesta forma para ser racional. Por exemplo, 0.5 não está atualmente escrito na forma 𝑝 sobre 𝑞, mas sabemos que cinco décimas é igual a um meio. E como 0.5 pode ser escrito na forma um sobre dois, é racional.

Todos os inteiros, o conjunto dos números inteiros e os seus simétricos, são números racionais. Um subconjunto de inteiros, que são racionais, são todos os números inteiros. E um subconjunto dos números inteiros são números naturais, às vezes chamados de números de contagem. Os números naturais são o conjunto dos números a começar com um e continuando por um. Números inteiros incluem o valor zero. Os inteiros incluem valores negativos. E os valores racionais podem ser decimais, desde que possam ser escritos como frações. Por exemplo, sabemos que 0.3 repetido é igual a um terço. Portanto, 0.3 repetido é racional.

Os numerais mistos são racionais e, portanto, frações impróprias. Mas neste vídeo, queremos falar sobre a subtração de números racionais, o que me lembra algo que a minha avó costumava dizer. Maçãs e laranjas! Deixa-me explicar. Esta é apenas uma expressão para quando dois grupos ou itens não podem ser comparados na prática. E quando subtraímos números racionais, não queremos tentar subtrair valores que não estejam escritos na mesma forma. Por exemplo, se quisermos dizer dois e meio menos 0.3 repetido, estamos a começar com um numeral misto e a tentar subtrair uma dízima infinita periódica. E isto é maçãs e laranjas.

No entanto, se escrevêssemos 0.3 repetido como uma fração e reescrevêssemos dois e meio como uma fração imprópria, estes estariam na mesma forma e poderíamos subtrair. Portanto, a chave para subtrair números racionais é primeiro certificar-se de que coloca os seus valores na mesma forma. Temos que subtrair maçãs de maçãs ou laranjas de laranjas. Então, vamos ver alguns exemplos.

Calcula dois quintos menos quatro quintos apresentando o número na forma irredutível.

Quando olhamos para esta expressão dois quintos menos quatro quintos, ambos os nossos valores são frações. E têm um denominador comum. Como as duas frações estão na mesma forma e têm um denominador comum, para subtrair, simplesmente subtraímos os seus numeradores e o denominador permanece na mesma. Isto significa que teremos dois menos quatro sobre cinco. Sabemos que dois menos quatro é igual a dois. E então, o denominador é cinco. E assim, dizemos que dois quintos menos quatro quintos é igual a menos dois quintos.

No nosso primeiro exemplo, estávamos a subtrair duas frações. No próximo exemplo, pensaremos em como subtrair um numeral misto de um numeral misto.

Calcula nove e três doze avos menos dois e oito doze avos. Apresenta a tua resposta como um numeral misto.

Estamos a tentar subtrair um numeral misto de um numeral misto. E, para fazer isto, devemos pensar nalgumas coisas. Em primeiro lugar, para as porções fracionárias do nosso numeral misto, têm um denominador comum? Neste caso, sim; ambos têm um denominador de 12. Depois disto, poderemos converter estes dois numerais mistos em frações impróprias. No entanto, como a nossa resposta final precisa de ser escrita na forma de um numeral misto, também há outra estratégia que poderíamos utilizar.

Poderemos tentar subtrair oito doze avos de três doze avos, mas tivemos um problema porque oito doze avos é maior que três doze avos. Então, precisaremos de reescrever pelo menos o nove e o três doze avos. Uma maneira de fazer isto é subtrair um do nosso número nove e formar oito. E quando fazemos isto, podemos adicionar 12 ao nosso numerador. Isto acontece porque retirámos um do nosso número inteiro, que é igual a doze doze avos. E doze doze avos mais três doze avos são iguais a quinze doze avos. Oito e quinze doze avos é igual a nove e três doze avos. Apenas está escrito numa forma diferente.

Então, podemos dizer oito e quinze doze avos menos dois e oito doze avos. Neste caso, podemos subtrair os números inteiros e as peças numéricas misturadas. Para subtrair oito doze avos de quinze doze avos, dizemos que 15 menos oito é igual a sete. E o denominador permanece o mesmo, 12. E agora, trabalhamos nas peças numéricas inteiras. Oito menos dois é igual a seis. E isso significa que nove e três doze avos menos dois e oito doze avos serão iguais a seis e sete doze avos. Isto já está na forma de um numeral misto. E sete doze avos não pode ser reduzido mais, perfazendo seis e sete doze avos a nossa resposta final.

No nosso próximo exemplo, novamente teremos dois numeral mistos, mas desta vez não estamos a começar com denominadores comuns.

Calcula sete e um quarto menos quatro e cinco oitavos. Apresenta a tua resposta como um numeral misto.

Quando olhamos para a expressão sete e um quarto menos quatro e cinco oitavos, ambos são números mistos. No entanto, a parte da fração dos numerais mistos não tem um denominador comum. E sabemos que, para trabalhar com estes valores, precisamos que estejam na mesma forma. Como estamos a lidar com denominadores quatro e oito e sabemos que quatro é um fator de oito, quatro vezes dois é igual a oito, o que significa que podemos reescrever um quarto como dois oitavos. Depois de fazer isto, temos sete e dois oitavos menos quatro e cinco oitavos.

No entanto, ainda não estamos prontos para subtrair porque estamos a tentar retirar cinco oitavos de dois oitavos. E isto significa que para o nosso primeiro numeral misto sete e dois oitavos, precisamos de tomar emprestado da parte do número inteiro. Se retirarmos um inteiro de sete, deixamos seis. E todo este valor que retirámos é igual à fração oito oitavos. Se somarmos dois oitavos mais oito oitavos, obteremos dez oitavos. O numeral misto seis e dez oitavos tem o mesmo valor que sete e um quarto escrito numa forma diferente.

Agora, estamos prontos para subtrair seis e dez oitavos menos quatro e cinco oitavos. Para subtrair a parte da fração, uma vez que temos denominadores comuns, diremos 10 menos cinco. Ou seja, estamos a subtrair os valores do numerador. E o denominador não está a mudar. Dez oitavos menos cinco oitavos é igual a cinco oitavos. E a seguir, subtraímos as porções de números inteiros. Seis menos quatro é igual a dois, dando-nos o resultado de dois e cinco oitavos. Cinco oitavos não podem ser mais simplificados. Dois e cinco oitavos é um numeral misto e é a nossa resposta final.

Até agora, calculámos apenas valores que já são dados na mesma forma. No nosso próximo exemplo, teremos que determinar a diferença entre um número decimal e uma fração.

Determina a diferença entre menos 0.85 e dois quintos, dando a tua resposta como uma fração na forma irredutível.

A diferença entre menos 0.85 e dois quintos pode ser escrita como menos 0.85 menos dois quintos. Mas quando chegamos a este ponto, temos um problema. E é que os nossos dois valores são dados em formas diferentes, o que significa que temos uma escolha a fazer. Podemos converter dois quintos em decimal para subtrair um decimal de um decimal. Ou podemos converter menos 0.85 numa fração para subtrair uma fração de uma fração. Ambos os métodos funcionarão, mas disseram-nos para dar a resposta como uma fração na forma irredutível. E isto significa que provavelmente vale a pena subtrair uma fração de uma fração.

E isto significa que precisamos de pensar em como escreveríamos menos 0.85 como uma fração. Como o cinco em menos 0.85 está na casa das centésimas, dizemos que é menos oitenta e cinco centésimas. E como uma fração que é menos 85 sobre 100. Mas antes de prosseguirmos, podemos querer ver se podemos simplificar oitenta e cinco centésimas. Tanto 85 quanto 100 são divisíveis por cinco. Menos 85 dividido por cinco é igual a menos 17 e 100 dividido por cinco é igual a 20, o que significa que estamos a tentar dizer menos 17 sobre 20 menos dois quintos.

No entanto, agora vemos que não temos denominadores comuns nas nossas duas frações. Mas sabemos que cinco vezes quatro é igual a 20. E isto significa que podemos multiplicar dois quintos por quatro sobre quatro. Dois vezes quatro é oito e cinco vezes quatro é 20. Agora temos dezassete vinte avos menos oito vinte. Como temos denominadores comuns, podemos fazer a subtração subtraindo os numeradores, que serão menos 17 menos oito. O denominador não muda. Isso permanece 20. Menos 17 menos oito será igual ao valor negativo de 17 mais oito. Isto é menos 25.

Então, temos menos 25 sobre 20. Ambos os valores são divisíveis por cinco. Menos 25 dividido por cinco é igual a menos cinco. 20 dividido por cinco é igual a quatro. E isto significa que menos 0.85 menos dois quintos é igual a menos cinco quartos.

Agora, estamos prontos para ver outro exemplo.

Calcula sete quartos menos menos um meio, dando a resposta na forma irredutível.

Temos a expressão sete sobre quatro menos menos um sobre dois. Reconhecemos que ambos os valores são frações. No entanto, não têm o mesmo denominador. E sabemos que, para adicionar ou subtrair frações, precisamos primeiro de determinar um denominador comum. Estamos à procura do mínimo múltiplo comum entre dois e quatro, às vezes chamado de LCM. Se pensarmos em múltiplos de dois, temos dois, quatro e seis. Mas quatro já é um múltiplo de dois. E isto significa que o mínimo múltiplo comum de dois e quatro será quatro.

Não faremos nenhuma alteração a sete quartos, mas reescreveremos menos um meio como uma fração com o denominador de quatro. Dois vezes dois é quatro. E menos um vezes dois é menos dois. Isto significa que a nossa nova expressão será sete quartos menos menos dois quartos. Também lembramos que, quando subtraímos um valor negativo, podemos reescrevê-lo como adição. Portanto, sete quartos menos dois quartos é igual a sete quartos mais dois quartos.

Uma vez que temos frações com um denominador comum, nós as somamos adicionando os seus numeradores. Sete mais dois são nove. E o denominador não muda. Sete quartos mais dois quartos é igual a nove quartos. Queremos dar esta resposta na forma irredutível. E isto significa que queremos verificar se há algum fator comum no numerador e no denominador. Nove e quatro não partilham nenhum fator comum além de um. E isto torna a fração nove quartos na sua forma irredutível.

Na nossa questão final, colocaremos todas estas habilidades juntas à medida que subtraímos valores em três formas diferentes.

Calcula cinco doze avos menos um terço menos 0.75.

Nesta expressão, temos frações com denominadores incomuns e um valor decimal. Para fazer esta subtração, precisaremos de todos os três valores na mesma forma. E isto significa que precisaremos de reescrever cada um destes valores como frações com denominadores comuns. Antes de lidarmos com denominadores comuns, vamos começar com o nosso valor decimal e escrevê-lo como uma fração.

0.75 tem cinco na casa das centésimas, o que significa que, como uma fração, 0.75 pode ser escrito como 75 sobre 100. Mas tanto 75 quanto 100 são divisíveis por 25. 75 dividido por 25 é igual a três e 100 dividido por 25 é igual a quatro. Setenta e cinco centésimas é igual a três quartos. Também é possível que este seja um valor que já conheça. É um decimal comum e uma fração comum. Setenta e cinco centésimas é igual a três quartos.

A nossa nova expressão é então cinco duodécimos menos um terço menos três quartos. E precisamos de um denominador comum de 12, três e quatro. Para determinar este denominador comum, queremos o mínimo múltiplo comum. Se listarmos os múltiplos de três, temos três, seis, nove, 12, 15. Fazemos a mesma coisa para quatro, onde temos quatro, oito, 12 e 16. Neste ponto, reconhecemos que 12 é um múltiplo de três e quatro. E isto significa que 12 será o menor múltiplo comum entre estes três valores.

Em seguida, queremos reescrever todas estas frações com o denominador 12. Cinco doze avos permanecem iguais. Neste ponto, também podemos dizer que subtrair menos um terço é o mesmo que adicionar. Se quisermos escrever um terço como uma fração com o denominador 12, precisamos de o multiplicar por quatro sobre quatro. E a seguir, para reescrever a fração três quartos com o denominador 12, multiplicamos o numerador e o denominador por três, o que significa que a nossa nova expressão será de cinco doze avos mais quatro doze avos menos nove doze avos.

Uma vez que temos denominadores comuns, podemos adicionar e subtrair apenas adicionando e subtraindo os numeradores. E o denominador não mudará. Então, temos cinco mais quatro menos nove sobre 12. Cinco mais quatro é nove e nove menos nove é zero. Zero doze avos é igual a zero. E isto significa cinco doze avos menos um terço menos 0.75 igual a zero.

Antes de terminar, vamos rever rapidamente os pontos principais. Ao subtrair números racionais como frações, incluindo numerais mistos, escreva todos os valores com um denominador comum utilizando o mínimo múltiplo comum. Ao subtrair números racionais como decimais e frações, escreva todos os valores como decimais ou, alternativamente, escreva todos os valores como frações com um denominador comum.

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