Vídeo: Simplificando e Determinando o Domínio da Soma de Duas Funções Racionais

Simplifique a função 𝑛(𝑥) = 7𝑥²/(𝑥 − 1) + 3𝑥/(1 − 𝑥) e determine seu domínio.

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Simplifique a função 𝑛 de 𝑥 é igual a sete 𝑥 ao quadrado dividido por 𝑥 menos um mais três 𝑥 dividido por um menos 𝑥 e determine seu domínio.

Para simplificar as funções, primeiro precisamos encontrar o menor denominador comum. Nesse caso, multiplicamos 𝑥 menos um por um menos 𝑥. Ao multiplicar frações, devemos fazer o mesmo no numerador, como fazemos com o denominador.

Portanto, precisamos multiplicar o numerador da primeira fração sete 𝑥 ao quadrado por um menos 𝑥 e o numerador da segunda fração três 𝑥 por 𝑥 menos um. Isso nos dá uma única fração sete 𝑥 ao quadrado multiplicado por um menos 𝑥 mais três 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos um dividido por 𝑥 menos um multiplicado por um menos 𝑥.

Nosso próximo passo é expandir os colchetes ou parênteses usando a propriedade distributiva. Sete 𝑥 ao quadrado multiplicado por um é sete 𝑥 ao quadrado e sete 𝑥 ao quadrado multiplicado por menos 𝑥 é menos sete 𝑥 ao cubo.

Para o segundo parênteses, três 𝑥 multiplicado por 𝑥 é três 𝑥 ao quadrado e três 𝑥 multiplicado por menos um é menos três 𝑥. Agrupando os termos semelhantes simplifica o numerador para menos sete 𝑥 ao cubo mais 10 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥. Nosso próximo passo é obter o numerador em sua forma mais simples por fatoração.

Bem, em primeiro lugar, podemos ver que 𝑥 é fator comum. Portanto, fatorando o 𝑥 nos dá 𝑥 multiplicado por menos sete 𝑥 ao quadrado mais 10𝑥 menos três. A quadrática menos sete 𝑥 ao quadrado mais 10 𝑥 menos três pode ser fatorada em dois colchetes ou parênteses. Esses dois parênteses são sete 𝑥 menos três e um menos 𝑥.

Poderíamos verificar isso usando o método da distributiva e expandindo os parênteses. Como um menos 𝑥 é um termo comum, podemos dividir o numerador e o denominador por um menos 𝑥. Isso nos deixa 𝑥 multiplicado por sete 𝑥 menos três dividido por 𝑥 menos um. Portanto, a versão simplificada de 𝑛 de 𝑥 é 𝑥 multiplicado por sete 𝑥 menos três dividido por 𝑥 menos um.

A segunda parte da questão nos pediu para determinar o domínio da função 𝑛 de 𝑥. Bem, à primeira vista, parece que todos os valores reais são entradas válidas para a função 𝑛 de 𝑥. No entanto, em uma análise mais próxima, podemos ver que há um valor de 𝑥 que faria o denominador ser igual a zero. Isso nos daria um valor indefinido.

Para calcular este valor, precisamos definir o denominador - neste caso, 𝑥 menos um - igual a zero. Adicionando um a ambos os lados da equação nos dá uma resposta para 𝑥 igual a um. Isto significa que quando substituímos 𝑥 igual a um na função 𝑛 de 𝑥, obtemos um valor indefinido.

Isso significa que o domínio de 𝑛 de 𝑥 são todos os valores reais, com exceção de um - os valores reais menos um.

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