Question Video: Calculando Permutações

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Calcule permutar cinco a cinco multiplicado por permutar dois a dois.

Antes de continuarmos e resolvermos o problema, o que quero ver primeiro é o que isso significa. O que significa cinco a cinco? Bem, o que isso realmente significa é o número de maneiras em que cinco objetos podem ser escolhidos de cinco grupos.

OK, isso é ótimo. Nós realmente sabemos o que isso significa. Mas como calculamos isso? Bem, nós realmente temos essa fórmula geral para nos ajudar. Então, temos que permutar 𝑛 𝑟 é igual a 𝑛 fatorial dividido por 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Agora nós temos essa fórmula, o que vamos fazer é usá-la para descobrir cada um dos nossos valores em nossa expressão original.

Eu vou começar com permutar cinco a cinco. Então nós temos 𝑛 é igual a cinco e 𝑟 é igual a cinco. Portanto, permutar cinco a cinco vai ser igual a cinco fatorial dividido por cinco menos cinco fatorial, o que nos dará cinco fatorial dividido por zero fatorial. Então, é nesse ponto que introduzimos uma pequena relação que diz que fatorial de zero é igual a um. Assim, podemos dizer que permutar cinco a cinco é igual a cinco fatorial.

Mas o que fatorial realmente significa? Bem, o termo geral é que 𝑛 fatorial é igual ao produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a 𝑛. Assim, nosso cinco fatorial dará cinco multiplicado por quatro multiplicado por três multiplicado por dois multiplicado por um. Então podemos dizer que permutar cinco a cinco é igual a 120.

Ótimo, agora vamos passar para dois. Bem, para permutar dois a dois, temos 𝑛 é igual a dois e 𝑟 é igual a dois. Então, vamos substituí-los em nossa fórmula. Vamos pegar dois fatorial dividido por dois menos dois fatorial. Então, vamos ter dois fatorial dividido por zero fatorial. É nesse momento que lembramos que o fatorial de zero é igual a um. Então, vamos ter dois fatorial dividido por um que é igual a dois fatorial que dará dois multiplicado por um. Portanto, permutar dois a dois é igual a dois.

Ok, ótimo, agora encontramos os nossos valores. O que precisamos fazer é multiplicá-los. Então nós obtemos permutar cinco a cinco multiplicado por permutar dois a dois é igual a 120 que é permutar cinco a cinco multiplicado por dois porque é permutar dois a dois, o que dá o nosso valor final que é 240.