Vídeo: Calculando Potências de um Número Complexo

Quanto é (1 − 2𝑖)⁴?

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Transcrição do vídeo

O que é um menos dois 𝑖 elevado a quatro?

O significado da quarta potência de um número complexo é exatamente o mesmo que seria para um número real. Você acabou de encontrar o produto de quatro cópias desse número, então um menos dois 𝑖 elevado a quatro é um menos dois 𝑖 vezes um menos dois 𝑖 vezes um menos dois 𝑖 vezes um menos dois 𝑖.

Vamos trabalhar para isso, encontrando um menos dois 𝑖 para a potência de dois, que é um menos dois 𝑖 ao quadrado, que é um menos dois 𝑖 vezes um menos dois 𝑖. Nós expandimos o lado direito usando a propriedade distributiva como faríamos se tivéssemos um 𝑥 em vez de 𝑖 aqui. A única diferença é que como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, sempre que vemos e 𝑖 ao quadrado, podemos substituí-lo por menos um para simplificar.

Portanto, o mais quatro 𝑖 ao quadrado torna-se menos quatro. E combinando nossos dois termos constantes, descobrimos que um menos dois 𝑖 ao quadrado equivale a menos três menos quatro 𝑖. Agora que encontramos um menos dois 𝑖 ao quadrado, podemos passar para um menos dois 𝑖 ao cubo. E as propriedades de potência que conhecemos e amamos ainda se aplicam a números complexos, e assim um menos dois 𝑖 ao cubo é um menos dois 𝑖 ao quadrado vezes um menos dois 𝑖.

E podemos substituir no valor de um menos dois 𝑖 ao quadrado que achamos anteriormente, e podemos expandi-lo. Temos menos três mais seis 𝑖 menos quatro 𝑖 mais oito 𝑖 ao quadrado. E novamente porque 𝑖 ao quadrado é menos um, oito 𝑖 ao quadrado é menos oito. Combinando isso com o outro termo real, o menos três, ficamos com menos 11.

E, também podemos combinar os termos imaginários para obter mais dois 𝑖. Então um menos dois 𝑖 ao cubo é igual a menos 11 mais dois 𝑖. Agora estamos prontos para resolver a questão de quanto é um menos dois 𝑖 elevado a quatro. Bem, é um menos dois 𝑖 ao cubo vezes um menos dois 𝑖, que é menos 11, mais dois 𝑖 vezes um menos dois 𝑖.

Expandindo isso temos menos 11 mais 22 𝑖 mais dois 𝑖 mais quatro 𝑖 ao quadrado. E lembrando que 𝑖 ao quadrado é menos um e combinando os termos reais e imaginários, obtemos a nossa resposta final: menos sete mais 24𝑖. Esse foi um método para mostrar que um menos dois 𝑖 elevado a quatro é menos sete mais 24𝑖.

Outra maneira seria usar a expansão binomial. Neste caso, teríamos que usar não apenas o fato de que 𝑖 ao quadrado é igual ao menos um, mas também o fato de que como 𝑖 ao cubo é 𝑖 ao quadrado vezes 𝑖 e 𝑖 ao quadrado é menos um, 𝑖 ao cubo é menos um vezes 𝑖 que é menos 𝑖, e também que 𝑖 elevado a quatro é 𝑖 ao quadrado vezes 𝑖 ao quadrado, que é menos um vezes menos um, que é um.

Usando esses fatos, você receberá a mesma resposta que um menos dois 𝑖 elevado a quatro é menos sete mais 24 𝑖.

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