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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar e escrever a equação de uma reta de forma geral.
Existem muitas formas nas quais a equação de uma linha reta pode ser escrita, e podemos já estar familiarizados com algumas delas. Por exemplo, há a forma de reduzida, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 representa o coeficiente angular da reta e 𝑏 representa sua interceptação 𝑦. Outra forma em que podemos dar a equação de uma reta é a forma fundamental, 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 multiplicado por 𝑥 menos 𝑥 um, onde 𝑚 representa o coeficiente angular da reta como antes e 𝑥 um representa as coordenadas de qualquer ponto que esteja na reta.
Essas duas formas da equação de uma reta são úteis em diferentes contextos. Por exemplo, a partir da forma reduzida, podemos identificar o coeficiente angular e a interceptação 𝑦 de uma linha reta de relance. Mas essas formas também têm suas limitações, principalmente porque não é possível escrever a equação de cada linha reta em qualquer uma dessas formas, em particular, retas verticais de equações da forma 𝑥 igual a 𝑘 para algum valor constante de 𝑘. Isso pode ser reorganizado para 𝑥 menos 𝑘 igual a zero. Mas não é possível reorganizar essa equação em nenhuma das duas formas que já discutimos porque ela não tem termo 𝑦 ou pelo menos o coeficiente de 𝑦 é zero.
Vamos, portanto, introduzir uma terceira forma da equação de uma reta. Isso é chamado de forma geral porque a equação de cada linha reta pode ser escrita dessa forma. A forma geral da equação de uma reta é 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes reais que podem ser iguais a zero. Notamos que todos os três termos estão do mesmo lado da equação e o lado direito é igual a zero.
Não é necessário que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sejam inteiros, mas geralmente quando damos nossas respostas, garantimos que sejam. No caso de retas verticais, com as quais estávamos preocupados anteriormente, suas equações podem ser reorganizadas para 𝑥 menos 𝑘 igual a zero. E isso está na forma geral com 𝑎, o coeficiente de 𝑥, igual a um, 𝑏, o coeficiente de 𝑦, igual a zero, e 𝑐, o termo constante, igual a menos 𝑘.
Da mesma forma, as equações de retas horizontais que podemos escrever como 𝑦 igual a alguma constante 𝑘 dois podem ser rearranjadas para 𝑦 menos 𝑘 dois é igual a zero. E isso também está na forma geral, desta vez com 𝑎 igual a zero, 𝑏 igual a um e 𝑐 igual a menos 𝑘 dois. A equação de qualquer reta diagonal também pode ser escrita desta forma. E veremos exemplos disso durante o vídeo. Agora, essa forma, a equação geral de uma linha reta, está intimamente relacionada à forma padrão da equação de uma linha reta. Isso é 𝐴𝑥 mais 𝐵𝑦 igual a 𝐶, onde 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são inteiros e 𝐶 é não negativo. Devemos garantir que estejamos claros na distinção entre os dois, que está predominantemente na posição do termo constante.
Uma desvantagem da forma geral da equação de uma reta é que não podemos identificar diretamente o coeficiente angular de uma reta dada nesta forma a partir de sua equação. Para encontrar o coeficiente angular, precisamos reorganizar a equação na forma de inclinação e interceptação e depois ler o coeficiente de 𝑥. Vamos demonstrar como fazer isso em nosso primeiro exemplo.
Uma linha reta tem a equação menos 15𝑥 mais três 𝑦 menos 12 igual a zero. Qual é o coeficiente angular dessa reta?
A equação dessa reta foi dada na forma geral. Isso é 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero com 𝑎 igual a menos 15, 𝑏 igual a três positivo e 𝑐 igual a menos 12. Para determinar o coeficiente angular dessa reta, podemos reorganizar sua equação para a forma reduzida. Isso é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde o valor de 𝑚, o coeficiente de 𝑥, é o coeficiente angular da reta. Agora, o valor de 𝑏 nesta equação fornece a interceptação 𝑦. E não é necessariamente o mesmo que o valor de 𝑏 na forma geral, mas essas são as letras geralmente usadas, então ficaremos com elas.
Então, pegaremos a equação que nos foi dada e a reorganizaremos para isolar o 𝑦. Primeiro, precisamos isolar o termo 𝑦, o que podemos fazer adicionando 15𝑥 e 12 a cada lado da equação. Isso dá três 𝑦 igual a 15𝑥 mais 12. Em seguida, dividimos a equação inteira por três, o que dá 𝑦 é igual a cinco 𝑥 mais quatro. Esta equação está agora na forma reduzida. E podemos identificar que o coeficiente de 𝑥 é cinco. Portanto, a inclinação da reta com equação menos 15𝑥 mais três 𝑦 menos 12 igual a zero é cinco.
No exemplo que acabamos de considerar, encontramos a inclinação de uma reta reorganizando sua equação da forma geral para a forma reduzida. Descobrimos que o coeficiente angular dessa reta era cinco, e isso veio da simplificação da fração 15 sobre três. Agora, esse valor de 15 no numerador é o negativo do coeficiente de 𝑥 na forma geral, e o valor de três no denominador é o coeficiente de 𝑦. Isso ilustra um resultado geral. Se reorganizássemos a forma geral da equação de uma reta ainda em sua forma algébrica, obteríamos 𝑦 igual a menos 𝑎 sobre 𝑏 𝑥 menos 𝑐 sobre 𝑏. A inclinação dessa reta será dada pelo coeficiente de 𝑥, que é menos 𝑎 sobre 𝑏, e assim podemos afirmar um resultado geral.
A inclinação da reta 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero, onde 𝑏 é diferente de zero, é menos 𝑎 sobre 𝑏. Isso fornece um atalho para encontrar a inclinação de uma linha reta dada na forma geral. Também podemos identificar que o 𝑦 interceptado dessa reta é menos 𝑐 sobre 𝑏 e, novamente, 𝑏 deve ser diferente de zero. Vamos agora considerar um exemplo no qual determinaremos as interceptações 𝑥 e 𝑦 de uma linha reta a partir de sua forma geral.
Quais são a interceptação 𝑥 e a interceptação 𝑦 da reta três 𝑥 mais dois 𝑦 menos 12 igual a zero?
Vamos lembrar primeiro que a interceptação 𝑥 e 𝑦 de uma reta são os valores de 𝑥 e 𝑦 nos quais a reta cruza esse eixo. A interceptação 𝑥 tem uma coordenada 𝑦 igual a zero e a interceptação 𝑦 tem uma coordenada 𝑥 igual a zero. Para obter o valor da interceptação 𝑥 primeiro, podemos substituir 𝑦 igual a zero na equação da reta. Isso dá três 𝑥 mais dois multiplicado por zero menos 12 é igual a zero, ou simplesmente três 𝑥 menos 12 é igual a zero. Podemos então resolver essa equação para encontrar o valor de 𝑥. Primeiro, adicionamos 12 a cada lado, dando três 𝑥 igual a 12. E então nós dividimos ambos os lados da equação por três, dando 𝑥 é igual a quatro. E assim o 𝑥 interceptado dessa linha reta é quatro.
Para encontrar o 𝑦 interceptado, substituímos 𝑥 igual a zero na equação da reta. E isso dá três multiplicado por zero mais dois 𝑦 menos 12 é igual a zero. Isso é apenas dois 𝑦 menos 12 é igual a zero. E então resolvemos 𝑦. Primeiro, adicionamos 12 a cada lado da equação e depois dividimos por dois, dando 𝑦 é igual a seis. E assim o 𝑦 interceptado desta reta é seis. Podemos afirmar então que a interceptação 𝑥 e a interceptação 𝑦 da reta três 𝑥 mais dois 𝑦 menos 12 igual a zero são quatro e seis, respectivamente.
Vimos agora como encontrar a inclinação e os 𝑥 e 𝑦 interceptados de uma linha reta a partir de sua equação dada na forma geral. Vamos agora considerar como podemos encontrar a equação de uma reta na forma geral, dado seu coeficiente angular e sua interceptação 𝑦.
Escreva a equação da reta com inclinação três sobre dois e 𝑦 interceptado zero, três na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero.
Recebemos o coeficiente angular e a interceptação 𝑦 dessa linha reta. Podemos, portanto, escrever sua equação, lembrando primeiro a forma reduzida da equação de uma linha reta. Isso é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 representa o coeficiente angular da reta e 𝑏 representa sua interceptação 𝑦. A inclinação dessa linha reta é três sobre dois, e a coordenada 𝑦 de sua interceptação 𝑦 é três. Então esse é o valor de 𝑏. Substituindo três sobre dois por 𝑚 e três por 𝑏, temos 𝑦 igual a três sobre dois 𝑥 mais três.
Agora, esta é a equação da reta que estamos procurando, mas nos pediram para dar nossa resposta de uma forma específica: 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero. Esta é a forma geral da equação de uma linha reta. Portanto, precisamos reorganizar a equação que escrevemos. Notamos primeiro que, no termo geral, todos os três termos estão do mesmo lado da equação. Então, começaremos subtraindo o termo 𝑦 em nossa equação de ambos os lados. Quando fazemos isso, obtemos zero é igual a três sobre dois 𝑥 menos 𝑦 mais três. E podemos, é claro, escrever os dois lados da equação ao contrário.
Agora, embora isso não seja estritamente necessário, é comum que os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na forma geral sejam inteiros. Temos um coeficiente de 𝑥 que é uma fração. Então, para eliminar o denominador de dois, podemos multiplicar todos os termos de nossa equação por dois. Isso dá três 𝑥 menos dois 𝑦 mais seis é igual a zero. Isso está agora na forma geral com 𝑎, o coeficiente de 𝑥, igual a três, 𝑏, o coeficiente de 𝑦, igual a menos dois, e 𝑐, o termo constante, igual a seis positivo. Assim, descobrimos que a equação da reta com inclinação três sobre dois e 𝑦 interceptado zero, três na forma geral é três 𝑥 menos dois 𝑦 mais seis é igual a zero.
Vamos agora considerar um exemplo no qual encontramos a equação de uma linha reta em forma geral, dado um conjunto diferente de informações. Desta vez, as informações dadas serão as coordenadas de dois pontos que se encontram na reta.
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos 𝐴 menos 10, dois e 𝐵 zero, cinco, dando sua resposta na forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero.
Recebemos as coordenadas de dois pontos que se encontram nesta reta. A forma que nos foi solicitada a dar a nossa resposta é a forma geral da equação de uma linha reta: 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes reais. Para começar, porém, abordaremos esse problema usando a forma reduzida da equação de uma linha reta. Isso é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 é a inclinação da reta e 𝑏 é sua interceptação 𝑦. Devemos estar cientes de que esse valor de 𝑏 não é necessariamente o mesmo que o valor de 𝑏 na forma geral, mas essas são as letras geralmente usadas para ambos.
Agora sabemos que essa reta passa pelo ponto 𝐵, que tem coordenadas zero, cinco. Este é o ponto no eixo 𝑦. E assim o 𝑦 interceptado da reta é cinco. Isso significa que o valor de 𝑏 em nossa forma de coeficiente angular também é cinco. E assim a equação agora tem a forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais cinco. E precisamos calcular o coeficiente angular da reta.
Para fazer isso, lembramos que o coeficiente angular de uma reta é sua variação em 𝑦 dividida por sua variação em 𝑥. Se tivermos dois pontos que se encontram em uma reta com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois, a inclinação pode ser calculada como 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. Podemos deixar 𝐴 ser o ponto 𝑥 um, 𝑦 um e 𝐵 ser o ponto 𝑥 dois, 𝑦 dois e, em seguida, substituir os valores dessas coordenadas na fórmula do coeficiente angular. Isso dá cinco menos dois no numerador e zero menos menos 10 no denominador. E precisamos ter um cuidado especial aqui para garantir que incluamos esses dois sinais negativos.
Isso simplifica para três sobre 10 porque zero menos menos 10 no denominador é zero mais 10, que é 10. Substituindo 𝑚 é igual a três décimos na forma inclinada, temos 𝑦 igual a três décimos de 𝑥 mais cinco. Precisamos reorganizar essa equação, no entanto, para que fique na forma geral. E para fazer isso, precisamos agrupar todos os termos do mesmo lado da equação. Subtraindo três décimos de 𝑥 e cinco de cada lado, temos menos três décimos de 𝑥 mais 𝑦 menos cinco é igual a zero.
Agora também é comum que, na forma geral, os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sejam inteiros, então vamos multiplicar a equação inteira por 10, o que dá menos três 𝑥 mais 10𝑦 menos 50 é igual a zero. E isso está na forma geral com 𝑎 igual a menos três, 𝑏 igual a 10 e 𝑐 igual a menos 50. Agora poderíamos ter agrupado os termos do outro lado da equação se depois desse estágio tivéssemos subtraído 𝑦 de cada lado e depois multiplicado por 10. Isso teria dado três 𝑥 menos 10𝑦 mais 50 igual a zero, que é o negativo exato de nossa equação e, portanto, uma resposta alternativa também em sua forma geral. Nossa resposta é menos três 𝑥 mais 10𝑦 menos 50 é igual a zero.
Em nosso exemplo final, encontraremos a equação de uma linha reta na forma geral, desta vez dada sua interceptação 𝑥 e 𝑦.
Determine a equação da reta que corta o eixo 𝑥 em quatro e o eixo 𝑦 em sete.
Embora não seja totalmente necessário, podemos achar útil esboçar essa linha reta. Ela corta o eixo 𝑥 em quatro e corta o eixo 𝑦 em sete. Então parece algo assim. Podemos ver que essa reta desce da esquerda para a direita e, portanto, tem um coeficiente angular negativo. Isso nos dará uma maneira de verificar se nossa resposta, quando a alcançarmos, parece razoável. Para responder a essa pergunta, começaremos usando a forma reduzida da equação de uma reta: 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 é a inclinação da reta e 𝑏 é sua interceptação 𝑦. Já sabemos o valor de 𝑏 porque ele foi dado na pergunta. Disseram-nos que a reta corta o eixo 𝑦 em sete. Então nossa reta é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais sete. E precisamos calcular seu coeficiente angular.
O coeficiente angular de uma linha reta que passa pelos dois pontos com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois é 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. Usando as coordenadas das interceptações 𝑥 e 𝑦, que são quatro, zero e zero, sete, podemos calcular o coeficiente angular dessa reta. É zero menos sete sobre quatro menos zero, o que simplifica para menos sete sobre quatro. Este é um valor negativo, então podemos ter certeza de que o que fizemos até agora está correto. A equação dessa reta, então, é 𝑦 igual a menos sete sobre quatro 𝑥 mais sete.
Agora poderíamos deixar nossa resposta nesta forma, mas parece um pouco hostil porque temos um quociente. Podemos encontrar uma forma equivalente dessa equação reorganizando-a na forma geral. Começaremos multiplicando todos os termos da equação por quatro, dando quatro 𝑦 igual a menos sete 𝑥 mais 28. A seguir, agruparemos todos os termos do mesmo lado da equação, escolhendo o lado esquerdo para que os coeficientes de 𝑥 e 𝑦 sejam positivos. Então, adicionando sete 𝑥 e subtraindo 28 de cada lado, temos sete 𝑥 mais quatro 𝑦 menos 28 é igual a zero. Esta é a equação dessa reta em sua forma mais geral. Isso é 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes reais.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A forma geral da equação de uma reta é 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes reais, que geralmente são números inteiros. Isso é chamado de forma geral porque toda linha reta, seja diagonal, vertical ou horizontal, pode ser representada por uma equação nesta forma. Desde que 𝑏 seja diferente de zero, a inclinação de uma reta dada na forma geral é menos 𝑎 sobre 𝑏, e o 𝑦 interceptado é menos 𝑐 sobre 𝑏. Também vimos que podemos encontrar a equação de uma reta na forma geral, dados diferentes conjuntos de informações sobre a reta, e que podemos reorganizar a equação de uma reta dada em qualquer outra forma para a forma geral usando manipulação algébrica.
