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Neste vídeo, aprenderemos como utilizar o erro em módulo de Lagrange para determinar
o erro máximo ao realizarem-se aproximações utilizando polinómios de Taylor. Não apenas aprenderemos como podemos utilizar a fórmula para determinar esses erros
em módulo, mas também como determinar o menor grau do polinómio de Taylor necessário
para se obter um certo grau de precisão.
O ponto principal no desenvolvimento de séries de Taylor é que estas substituem
funções mais complicadas por expressões polinomiais. E as propriedades das séries de Taylor tornam-nas especialmente úteis ao fazer
cálculos. Agora lembre-se, uma série de Taylor para uma função 𝑓 sobre 𝑎 é dada pela soma de
𝑛 igual a zero a ∞ da 𝑛-ésima derivada de 𝑓 calculada em 𝑎 sobre 𝑛 fatorial
vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛. Portanto, os primeiros termos são 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 sobre um fatorial
vezes 𝑥 menos 𝑎 mais 𝑓 duas linhas de 𝑎 sobre dois fatorial vezes 𝑥 menos 𝑎 ao
quadrado e assim por diante.
O maior problema que temos é que estas séries envolvem infinitos termos. E, na realidade, geralmente utilizamos apenas os primeiros. E, claro, isto significa que perdemos alguma precisão. Temos uma estimativa muito boa para uma função, mas não podemos modelá-la com
exatidão. Vamos tentar visualizar isto. Aqui está o gráfico de uma função na variável 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Podemos adicionar o gráfico da sua aproximação de Taylor 𝑡 índice 𝑛 de 𝑥 em
𝑎. Agora, podemos aproximar o valor de 𝑓 de 𝑏 determinando o valor de 𝑇 𝑛 de 𝑏. Mas é claro, podemos ver que há algum erro associado. Chamamos este erro de 𝑅 𝑛 de 𝑥. É o termo resto; é a diferença entre a nossa estimativa e o valor real da função
naquele ponto.
E assim definimos um erro em módulo. Este é chamado de erro em módulo de Lagrange. E este permite-nos ver exatamente quão precisa é a nossa estimativa. Começamos com seja 𝑡 índice 𝑛 de 𝑥 de ordem 𝑛 o polinómio de Taylor de segunda
ordem da nossa função 𝑓 em 𝑎, tal que 𝑓 de 𝑥 seja igual ao polinómio de Taylor
de ordem 𝑛 mais 𝑅 𝑛 de 𝑥. Este é o nosso resto. A diferença entre 𝑓 de 𝑥 e 𝑇 índice 𝑛 de 𝑥 então é 𝑅 índice 𝑛 de 𝑥, chamado
de resto ou erro de Lagrange.
𝑅 índice 𝑛 de 𝑥 satisfaz os seguintes critérios. Se o módulo de 𝑛 mais uma -ésima derivada de [𝑥] for menor ou igual à soma 𝑚,
então o módulo de 𝑅 índice 𝑛 de 𝑥 é menor ou igual ao módulo de 𝑚 sobre 𝑛 mais
um fatorial vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 mais um. Observe que podemos escolher qualquer valor de 𝑚 desde que seja maior ou igual ao
módulo máximo de 𝑛 mais uma -ésima derivada de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 estiver no
intervalo de 𝑎 a 𝑏.
Na prática, escolhemos 𝑚 como o módulo máximo de 𝑛 mais uma -ésima derivada neste
intervalo porque restringe o nosso erro a ser o menor possível. No entanto, poderíamos escolher 𝑚 para ser maior, se quiséssemos. E isso significaria que o nosso erro vinculado é maior do que deveria ser, mas ainda
é permitido. Agora, embora isto possa parecer complicado, estes geralmente são uma boa maneira de
decidir quanto deve ser 𝑚. E, nesta fase, provavelmente é melhor apenas ver como é isto.
Determine o erro de Lagrange ao utilizar o segundo polinómio de Taylor da função 𝑓
de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥 em 𝑥 igual a quatro para aproximar o valor da
raiz quadrada de cinco. Arredonde a sua resposta a cinco casas decimais.
Começamos por lembrar que o erro de Lagrange satisfaz os critérios de que, se o
módulo de 𝑛 mais uma -ésima derivada de 𝑓 de 𝑥 for menor ou igual à soma 𝑚, o
módulo do resto 𝑅 índice 𝑛 de 𝑥 será menor ou igual ao módulo de 𝑚 sobre 𝑛 mais
um fatorial vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 mais um. Vamos começar por definir cada parte da nossa questão. Vamos utilizar o segundo polinómio de Taylor; é 𝑇 índice dois de 𝑥. E isso significa que o resto em que estamos interessados é 𝑅 índice dois de
𝑥. Estamos descobrindo que o polinómio de 𝑓 de 𝑥 em 𝑥 igual a quatro. Então, seja 𝑎 igual a quatro. E estamos a utilizar isto para estimar o valor da raiz quadrada de cinco.
Como 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥, diremos que podemos deixar que 𝑥 seja
igual a cinco. Agora, voltemos à nossa definição. Observe que, para determinar 𝑚, precisamos de determinar a 𝑚 mais uma -ésima
derivada de 𝑓. Vamos escrever 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 elevado a um meio. E, em seguida, vamos derivar a nossa função dois mais um, que é igual a três
vezes. Lembramos que, para derivar um termo desta forma, multiplicamos o termo inteiro pelo
expoente e reduzimos esse expoente uma unidade. Portanto, a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 é igual a um meio vezes 𝑥 elevado a
menos um meio. Então, a segunda derivada é menos um meio vezes e um meio 𝑥 elevado a menos três
sobre dois, que é menos um quarto 𝑥 elevado a três sobre dois.
Em seguida, a terceira derivada — lembre-se, esta é a que estamos a tentar encontrar
— é menos três vezes dois vezes menos um quarto 𝑥 elevado a menos cinco sobre
dois. Simplificamos para três oitavos vezes 𝑥 elevado a menos cinco sobre dois. Simplificaremos isto um pouco, escrevendo três oitavos vezes 𝑥 elevado a cinco sobre
dois. E, a seguir, vemos que procuramos maximizar o módulo de três sobre oito 𝑥 elevado a
cinco sobre dois no intervalo entre 𝑎 e 𝑥. Isto é entre quatro e cinco. Agora, devemos ser capazes de ver que podemos maximizar o módulo de três sobre oito
𝑥 elevado a cinco sobre dois, tornando o nosso denominador o menor possível.
Então, definiremos 𝑥 igual a quatro para conseguir isso. E vemos que precisamos de determinar o módulo de três sobre oito vezes quatro elevado
a cinco sobre dois. Bem, isto é realmente positivo antes de se preocupar com o sinal de módulo. Então, temos simplesmente três sobre 256. E agora temos 𝑚. Vamos substituí-lo na nossa fórmula do erro, com o valor de 𝑛 igual a dois. É o módulo de três sobre 256 sobre dois mais um fatorial vezes 𝑥 menos 𝑎, que é
cinco menos quatro elevado a dois mais um. Bem, isto é igual um sobre 512, o que é aproximadamente igual a 0.00195. Portanto, o erro de Lagrange associado ao utilizar o segundo polinómio de Taylor da
função 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 em 𝑥 igual a quatro para o valor
aproximado da raiz quadrada de cinco é 0.00195, com cinco casas decimais.
Agora, como o erro que calculámos é tão pequeno, podemos ter certeza razoável de que
o segundo polinómio de Taylor da nossa função se aproxima muito bem do valor da raiz
quadrada de cinco para entradas no intervalo fechado de quatro a cinco. Agora, consideraremos como podemos utilizar a fórmula dos erros em módulo para
garantir um determinado nível de precisão de uma série de Maclaurin.
Determine o menor grau 𝑛 do polinómio de Maclaurin necessário para aproximar o valor
de sen de 0.3 com um erro inferior a 0.001 utilizando a série de Maclaurin de 𝑓 de
𝑥 igual a sen de 𝑥.
Começamos por lembrar que o erro de Lagrange nos diz que se o módulo da 𝑛 mais uma
-ésima derivada de 𝑓 for menor ou igual à soma 𝑚, então o módulo do resto 𝑅
índice 𝑛 de 𝑥 será menor ou igual a igual ao módulo de 𝑚 sobre 𝑛 mais um
fatorial vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 mais um. Para responder a esta questão, começaremos por definir cada parte. Não nos disseram o grau do nosso polinómio de McLaurin. Então, seja 𝑛 igual a 𝑛? É isso que estamos a tentar determinar. Dizem-nos que 𝑓 de 𝑥 é igual a sen de 𝑥. E estamos à procura da série de Maclaurin para 𝑓 de 𝑥. Esta é a série de de Taylor quando 𝑎 é igual a zero.
Vamos então utilizar isto para estimar o valor do sen de 0.3. Agora, como a nossa função 𝑓 de 𝑥 é igual a sen de 𝑥, podemos dizer que vamos
deixar que 𝑥 seja igual a 0.3. Queremos garantir que o nosso erro associado seja menor que 0.001. Então, vamos começar com esta fórmula. Vamos substituir 𝑥 por 0.3 e 𝑎 por zero. Portanto, temos o módulo de 𝑚 sobre 𝑛 mais um fatorial vezes 0.3 menos zero elevado
a 𝑛 mais um. E, é claro, queremos que este erro seja menor que 0.001. Vamos substituir 0.3 menos zero por 0.3. E a seguir, sabemos que 𝑚 é determinado maximizando o módulo da 𝑛 mais uma -ésima
derivada no intervalo entre 𝑎 e 𝑥.
Então, vamos determinar uma expressão para 𝑚 considerando a 𝑛 mais uma -ésima
derivada na nossa função. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a sen de 𝑥. E quando derivamos sen de 𝑥, obtemos cos de 𝑥. Portanto, a primeira derivada 𝑓 linha de 𝑥 é cos de 𝑥. Derivando mais uma vez, obtemos um menos sen de 𝑥. E a seguir, a terceira derivada 𝑓 três linhas de 𝑥 é menos cos de 𝑥. Derivamos mais uma vez. E descobrimos que a quarta derivada é sen de 𝑥. E assim vemos que temos um ciclo. Queremos generalizar. Então, vamos dizer que, de facto, cos de 𝑥 é igual ao sen de 𝑥 mais 𝑥 sobre
dois. Lembre-se, isso é simplesmente porque os gráficos sen e cos são translações
horizontais uma da outra.
Dizemos que menos sen 𝑥 é igual a sen de 𝑥 mais 𝜋, menos cos 𝑥 é sen de 𝑥 mais
três 𝜋 sobre dois e sen de 𝑥 é igual a sen de 𝑥 mais dois 𝜋. Agora, de facto, se escrevermos 𝜋 como dois 𝜋 sobre dois e dois 𝜋 como quatro 𝜋
sobre dois, veremos que a 𝑛-ésima derivada de 𝑓 é sen de 𝑥 mais 𝑛𝜋 sobre
dois. E assim, a 𝑛 mais uma -ésima derivada, que é o que procuramos, é sen de 𝑥 mais 𝑛
mais um 𝜋 sobre dois. Queremos maximizar o módulo do sen de 𝑥 mais 𝑛 mais um 𝜋 sobre dois no intervalo
fechado de zero a 0.3. Bem, o maior valor do sen 𝑥 mais 𝑛 mais um 𝜋 sobre dois é um. Então, seja 𝑚 igual a um.
Agora, observe que o valor máximo do sinal da função trigonométrica no intervalo
entre zero e 0.3 pode não ser realmente um. Mas sabemos que deve ser menor ou igual a um. Ao fazer 𝑚 igual a um, sabemos que o nosso erro associado pode ser maior do que deve
que ser, mas ainda permitido. Então, a nossa inequação anterior torna-se o módulo de um sobre 𝑛 mais um fatorial
vezes 0.3 elevado a 𝑛 mais um. E isso deve ser menor ou igual a 0.001. Agora, de facto, isto é sempre positivo. Portanto, não precisamos mais dos sinais de módulo. E, infelizmente, não há uma maneira agradável, nesta fase, de resolver esta
inequação. Então, em vez disso, tentaremos alguns valores de 𝑛, sabendo, é claro, que este pode
tomar apenas valores inteiros.
Começaremos deixando que 𝑛 seja igual a um. Então, temos um fator um sobre um mais um vezes multiplicado por 0.3 elevado a um
mais um. Isso dá-nos 0.045. Agora, na verdade, isto não é menos que 0.001, mas estamos perto. Em seguida, vamos tentar 𝑛 igual a dois. Temos um sobre dois mais um fatorial vezes 0.3 elevado a dois mais um. Isso é 0.0045, novamente não muito inferior a 0.001, mas, novamente, a
aproximar-se. Vamos tentar 𝑛 igual a três. Temos um sobre três mais um fatorial vezes 0.3 elevado a três mais um. Isso é 0.0003375, que é realmente menor que 0.001. E, portanto, podemos dizer que o valor de 𝑛, que garante que a série de Maclaurin se
aproxima do sen de 0.3 com um erro menor que 0.001 é 𝑛 igual a três.
Neste vídeo, aprendemos que o erro associado de Lagrange nos diz que, se o módulo da
𝑛 mais uma -ésima derivada de 𝑓 for menor ou igual à soma 𝑚, o módulo de 𝑅
índice 𝑛 de 𝑥 — o resto — é menor ou igual ao módulo de 𝑚 sobre 𝑛 mais um
fatorial vezes 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 mais um. Vimos que geralmente escolhemos 𝑚 ser o máximo do módulo da 𝑛 mais uma -ésima
derivada no nosso intervalo, mas que podemos escolher 𝑚 ser maior, se
quisermos. E isso significa apenas que o nosso erro vinculado é maior do que precisa, mas ainda
é permitido.
