Vídeo: Determinando a Equação de uma Curva a Partir da Sua Representação Gráfica

Qual das seguintes funções está representada graficamente? [A] 𝑦 = −(𝑥 + 1)² (𝑥 + 7) [B] 𝑦 = (𝑥 − 1)² (𝑥 − 7) [C] 𝑦 = (𝑥 − 7)² (𝑥 − 1) [D] 𝑦 = −(𝑥 + 7)² (𝑥 + 1) [E] 𝑦 = (𝑥 + 7)² (𝑥 + 1).

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Transcrição do vídeo

Qual das seguintes funções está representada graficamente? Será A: 𝑦 igual a menos 𝑥 mais um ao quadrado vezes 𝑥 mais sete, B: 𝑦 igual a 𝑥 menos um quadrado vezes 𝑥 menos sete, C: 𝑦 igual a 𝑥 menos sete ao quadrado 𝑥 menos um, D: 𝑦 igual a menos 𝑥 mais sete vezes ao quadrado 𝑥 mais um, ou será E: 𝑦 igual a 𝑥 mais sete vezes ao quadrado 𝑥 mais um?

Podemos ver que o gráfico interseta o eixo O𝑥 em um e sete. Isto significa que todas as funções devem ter a forma 𝑦 igual a um número 𝐴 vezes 𝑥 menos um elevado a um número 𝑛 vezes 𝑥 menos sete elevado a um número 𝑚. Podemos eliminar várias das opções que não têm esta forma. Eliminamos A, D e E. Por isso, escolheremos entre as opções B e C.

Como vamos escolher entre estas duas opções? Bem na opção B, o valor de 𝑛 é dois e o valor de 𝑚 é um. Mas na opção C, é o contrário. O valor de 𝑚 é dois e o valor de 𝑛 é um. No gráfico, pode ver que estas duas interseções com O𝑥 são bem diferentes. A interseção com O𝑥 em 𝑥 igual a um tem o gráfico a atravessar o eixo O𝑥, enquanto a interseção com O𝑥 em 𝑥 igual a sete tem o gráfico tocar, mas não a atravessar o eixo O𝑥.

O facto de o gráfico tocar no eixo O𝑥 em 𝑥 igual a sete diz-nos que deve haver uma raiz dupla aqui. E então o expoente de 𝑥 menos sete, 𝑚, não pode ser igual a um. Na verdade, acontece que podemos dizer mais do que isso. Na verdade, podemos dizer que 𝑚 é par, mas não precisamos disso neste problema. Já temos informações suficientes para eliminar a opção B, porque 𝑚 era um. E ficamos apenas com a opção C: 𝑦 igual a 𝑥 menos sete vezes ao quadrado 𝑥 menos um.

Nesta questão, não precisávamos de saber nada sobre o valor de 𝐴, mas podemos ver no gráfico que 𝐴 seria positivo, o que faz sentido, dado que na nossa resposta 𝐴 é um. Se tivesse sido negativo, o gráfico da função ter-se-ia deslocado do segundo quadrante para o quarto quadrante, à medida que 𝑥 aumenta, e não do terceiro quadrante para o primeiro quadrante, como acontece. Se 𝐴 tivesse sido negativo, o gráfico que teria visto seria o gráfico que refletimos no eixo O𝑥. E eu desenhei-o neste gráfico utilizando uma linha tracejada. Se 𝑦 é menos 𝑥 menos sete ao quadrado vezes 𝑥 menos um tenha sido uma das opções, então poderíamos tê-lo eliminado expandindo esta opção e vendo que isso implicava que a interseção com O𝑦 era positivo enquanto claramente no nosso gráfico a interseção com O𝑦 é negativo.

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