Lesson Video: Funções Vetoriais

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Até este ponto, estávamos habituados a trabalhar com funções reais. Estas são funções cujo intervalo é um conjunto de números reais. Trabalhámos com funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas desta forma. Neste vídeo, vamos calcular e representar graficamente funções vetoriais, funções cujo contradomínio é um vetor ou um conjunto de vetores e cujo domínio é um subconjunto dos números reais. Estas são extremamente importantes, pois podem ser utilizadas ​​para medir muitas coisas, como velocidade, aceleração e força.

Estamos mais interessados ​​em funções vetoriais 𝑟 cujos valores são vetores tridimensionais tais que 𝑟 de 𝑡 é igual a 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de 𝑡, ℎ de 𝑡 ou 𝑓 de 𝑡 𝑖 mais 𝑔 de 𝑡 𝑗 mais ℎ de 𝑡 𝑘. E utilizamos a letra 𝑡 para representar a nossa variável independente, pois geralmente é utilizada para representar o tempo. E, na maior parte das vezes, podemos calcular estas funções da maneira habitual.

Vamos ver como isto pode acontecer.

Para a função 𝑟 de 𝑡 igual a dois csc dois 𝑡 𝑖 mais três tan 𝑡 𝑗, calcule 𝑟 de 𝜋 sobre quatro.

Aqui, 𝑟 é uma função vetorial. É uma função cujo contradomínio é um conjunto de vetores. E podemos calcular 𝑟 de 𝜋 sobre quatro da maneira habitual, substituindo 𝑡 iguais 𝜋 sobre quatro em cada função componente. Para a componente horizontal, a componente de 𝑖, obtemos dois csc dois vezes 𝜋 sobre quatro. Certamente, sabemos que csc 𝑥 é igual a um sobre o sen 𝑥 e dois vezes 𝜋 sobre quatro é igual a 𝜋 sobre dois. Então, isto fica dois sobre o sen de 𝜋 por dois. E como o sen 𝜋 sobre dois é simplesmente um, terminamos com dois divididos por um, que é dois. Repetimos isto para a componente vertical para 𝑗. É três tan de 𝜋 sobre quatro. E, claro, a tan de 𝜋 sobre quatro é simplesmente um. Então, isto é três vezes um, que é três. Isso significa que 𝑟 de 𝜋 sobre quatro é dois 𝑖 mais três 𝑗. Contextualmente, isso dá-nos a posição de um ponto no plano quando 𝑡 é igual a 𝜋 sobre quatro.

Outra capacidade importante é ser capaz de identificar o domínio das funções vetoriais. Vamos ver como isto pode ser feito.

Determine o domínio da função vetorial 𝑟 de 𝑡 igual a dois 𝑡 ao quadrado 𝑖 mais raiz de 𝑡 menos um 𝑗 mais cinco sobre dois 𝑡 mais quatro 𝑘.

Pretendemos determinar o domínio da nossa função vetorial. Agora, cada função de componente na nossa função vetorial terá o seu próprio domínio, o conjunto de valores que esta pode tomar. O domínio da nossa função vetorial 𝑟 será a interseção destes três domínios. Portanto, o nosso trabalho é começar por identificar o domínio de cada função componente. Vamos começar por determinar o domínio da componente horizontal dois 𝑡 ao quadrado.

Esta é um polinómio. Agora, sabemos que o domínio de um polinómio é simplesmente o conjunto de todos os números reais. Portanto, o domínio desta função componente é de facto o conjunto dos números reais. E o domínio da nossa componente em 𝑗, o domínio da raiz quadrada de 𝑡 menos um? Bem, estamos interessados ​​nos valores que a raiz quadrada de 𝑡 menos um pode tomar. E sabemos que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Isso significa que precisamos que a expressão dentro da nossa raiz quadrada 𝑡 menos um seja igual a zero ou maior que zero. Resolvemos em ordem a 𝑡 adicionando um a ambos os membros e obtemos que 𝑡 deve ser maior ou igual a um. E determinamos o domínio desta função componente.

A nossa função de componente final é cinco sobre dois 𝑡 mais quatro. Lembramos que o domínio do quociente de duas funções é igual à interseção do domínio de cada uma, mas onde o denominador não é igual a zero. O nosso numerador e o nosso denominador são polinómios. Portanto, o domínio é todos os números reais. Mas devemos garantir que dois 𝑡 mais quatro não possa ser igual a zero. Subtraindo quatro de ambos os membros, vemos que dois 𝑡 não pode ser igual a menos quatro. E, a seguir, dividindo por dois, descobrimos que 𝑡 não pode ser igual a menos dois.

Portanto, agora, temos o domínio de cada uma das nossas funções componentes. Lembre-se, o domínio da nossa função vetorial é a interseção destes. Portanto, são números reais maiores ou iguais a um, mas sem incluir menos dois. Obviamente, menos dois é menor que um. Portanto, o nosso domínio é simplesmente números reais maiores ou iguais a um. E podemos escrever isto utilizando a notação de intervalo, como se mostra.

No nosso próximo exemplo, veremos como podemos esboçar os gráficos de funções vetorial.

Esboce o gráfico da função vetorial 𝑟 de 𝑡 igual a cinco cos 𝑡 𝑖 mais cinco sen 𝑡 𝑗.

Vamos começar por pensar sobre o que esta função vetorial realmente nos diz. É preciso um número real 𝑡 e a imagem é um vetor posição. A componente horizontal é cinco cos 𝑡 e a sua componente vertical é cinco sen 𝑡. Poderíamos dizer que no plano O𝑥𝑦, o valor em 𝑥 de qualquer coordenada no nosso gráfico seria dado por cinco cos 𝑡 e o valor em 𝑦 seria dado por cinco sen 𝑡. E assim, uma vez armados com estas informações, poderemos fazer uma de duas coisas. Poderemos construir uma tabela e tentar inserir vários valores de 𝑡 e representar as coordenadas em 𝑥 e em 𝑦. Alternativamente, podemos tentar manipular as nossas equações para eliminar 𝑡 e ver se conseguimos algo que reconhecemos.

Vamos ver este último método. Começamos por identificar que temos uma função em cos de 𝑡 e uma em sen de 𝑡. Agora, sabemos que cos ao quadrado 𝑡 mais sen ao quadrado 𝑡 é igual a um. Então, vamos colocar ao quadrado cada expressão de 𝑥 e 𝑦 e determinar a sua soma. Obtemos 𝑥 ao quadrado igual a cinco ao quadrado cos ao quadrado 𝑡 ou 25 cos ao quadrado 𝑡. E da mesma forma, 𝑦 ao quadrado é 25 sen ao quadrado 𝑡. Então, vemos que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é 25 cos ao quadrado 𝑡 mais 25 sen ao quadrado 𝑡. Colocamos 25 em evidência. E no segundo membro, a nossa expressão torna-se 25 vezes cos ao quadrado 𝑡 mais sen ao quadrado 𝑡. Certamente, cos ao quadrado 𝑡 mais sen ao quadrado 𝑡 é igual a um. Portanto, descobrimos que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a 25.

E nesta fase, poderá reconhecer esta equação. É a equação de uma circunferência cujo centro está na origem e cujo raio é a raiz quadrada de 25 ou cinco unidades. E agora, temos informações suficientes para poder esboçar o nosso gráfico. Vai parecer-se com isto. Agora, ainda não terminámos. Observe como criamos uma equação em 𝑥 e 𝑦. Estas são equações paramétricas. E quando representamos um gráfico paramétrico, devemos considerar a direção em que a curva é esboçada. Então, vamos tomar alguns valores de 𝑡. Vamos considerar 𝑡 igual a zero e 𝑡 igual a um.

Quando 𝑡 é igual a zero, sabemos que 𝑥 é igual a cinco vezes cos de zero, que é apenas cinco. Da mesma forma, 𝑦 é igual a cinco sen com zero, que é zero. E assim, começamos por representar a coordenada de cinco, zero. Similarmente, quando 𝑡 é igual a um, 𝑥 é igual a cinco vezes cos de um, que é zero, e 𝑦 é igual a cinco sen de um, que é cinco. Então, passámos de cinco, zero a zero, cinco. Isso diz-nos que nos estamos a mover nesta circunferência em sentido anti-horário. E assim, adicionamos as setas, como se apresenta.

Vamos dar uma olhadela noutro exemplo, onde formar um par de equações paramétricas e eliminar o parâmetro nos pode ajudar a esboçar o gráfico.

Esboce o gráfico da função vetorial 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑡 ao cubo 𝑖 mais 𝑡 𝑗.

Vamos começar por lembrar o que esta função vetorial realmente nos diz. Ele toma um número real 𝑡 e gera um vetor posição. A sua componente horizontal é 𝑡 ao cubo e a sua componente vertical é 𝑡. Assim, poderíamos dizer que no plano O𝑥𝑦, o valor de 𝑥 de qualquer coordenada no nosso gráfico seria dado por 𝑡 ao cubo e o valor de 𝑦 seria dado por 𝑡. E há duas coisas que poderíamos fazer a seguir. Poderíamos tentar formar uma tabela e inserir valores de 𝑡 e representar as coordenadas 𝑥 e 𝑦. Em alternativa, podemos manipular as nossas equações para 𝑥 e 𝑦 para ver se podemos eliminar o nosso parâmetro e obter algo que reconhecemos. Vamos ver este último método.

Dizem-nos que 𝑦 é igual a 𝑡. Podemos, portanto, substituir 𝑡 por 𝑦 na nossa equação por 𝑥. E descobrimos que 𝑥 é igual a 𝑦 ao cubo. Em alternativa, poderíamos dizer que 𝑦 é igual à raiz cúbica de 𝑥. Então, como esboçamos este gráfico? Bem, sabemos como esboçar o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo. Mas também sabemos que 𝑦 é igual à raiz cúbica de 𝑥 é a função inversa de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo. Lembramos então que, para esboçar o gráfico de uma função inversa, refletimos o gráfico da função original na linha 𝑦 igual 𝑥. E obtemos o gráfico de 𝑦 igual à raiz cúbica de 𝑥 ou 𝑥 igual a 𝑦 ao cubo, como se mostra.

Agora, é claro, ainda não terminámos. Lembre-se, criámos um par de equações paramétricas. E sabemos que, quando representamos um gráfico paramétrico, devemos considerar a direção em que a curva é esboçada. Então, vamos considerar um par de valores. Vamos considerar 𝑡 igual a zero e 𝑡 igual a um. Quando 𝑡 é igual a zero, 𝑥 é igual a zero ao cubo ou zero e 𝑦 é igual a zero. Da mesma forma, quando 𝑡 é igual a um, 𝑥 é igual a um ao cubo, que é, é claro, um e 𝑦 também é igual a um. Então começamos no ponto zero, zero e passamos para o ponto um, um. Isso significa que estamos a mover-nos nesta curva da esquerda para a direita. E agora, terminámos. Esboçámos o gráfico da função de valor vetorial 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑡 ao cubo 𝑖 mais 𝑟 de 𝑡 𝑗.

No nosso exemplo final, veremos como podemos esboçar uma curva definida por uma função vetorial tridimensional.

Esboce a curva cuja função vetorial dada por 𝑟 de 𝑡 igual a sen 𝑡 𝑖 mais cos 𝑡 𝑗 mais 𝑡 𝑘.

Vamos começar por configurar algumas equações paramétricas. Desta vez, estamos a trabalhar em três dimensões. Então, definimos como 𝑥, 𝑦 e 𝑧, onde 𝑥 é sen 𝑡, 𝑦 é cos 𝑡 e 𝑧 é 𝑡. Poderíamos substituir alguns valores de 𝑡. Vamos ver como é isto.

Vamos tentar valores de 𝑡 em zero, 𝜋 sobre quatro, 𝜋 sobre dois, três 𝜋 em quatro e 𝜋. Quando 𝑡 é zero, 𝑥 é sen de zero, que é zero, 𝑦 é cos de zero, que é um, e 𝑧 é zero. Então, quando 𝑡 é igual a 𝜋 sobre quatro, sen de 𝑡 e cos de 𝑡 a e, portanto, 𝑥 e 𝑦 são iguais à raiz de dois sobre dois. Arredondado com três algarismos significativos para 0.707, 𝑧 é igual a 𝜋 sobre quatro, que é 0.785. Ao substituir 𝜋 sobre dois, 𝑡 igual a três 𝜋 sobre quatro e 𝑡 igual a 𝜋 em cada uma das nossas equações, obtemos os valores apresentados. Portanto, podemos ver que os valores de 𝑧 aumentam na mesma razão que os valores de 𝑡. É um pouco mais difícil identificar o que está a acontecer no plano O𝑥𝑦, desta vez. Entretanto, sabemos que cos ao quadrado 𝑡 mais sen ao quadrado 𝑡 é igual a um. Portanto, podemos dizer que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado deve ser igual a um. Isto significa que neste plano temos uma circunferência centrada na origem com um raio de uma unidade.

Também podemos observar os valores na nossa tabela. E vemos que esta começa no ponto com coordenadas zero, um e depois se move para o ponto com coordenadas um, zero. Neste plano, esta deve estar a mover-se em sentido horário. De acordo com as nossas coordenadas em 𝑧, esta espirala para cima, quase como se estivesse a mover-se em torno de um cilindro. Podemos então esboçar o gráfico para 𝑟 de 𝑡, como se apresenta.

Neste vídeo, aprendemos a trabalhar com funções vetorial. Estas têm a forma 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑓 de 𝑡 𝑖 mais 𝑔 de 𝑡 𝑗 mais ℎ de 𝑡 𝑘. Vimos que podemos determinar o domínio de uma função vetorial, procurando a interseção dos domínios de cada uma das funções componentes. Também vimos que, especificamente, ao trabalhar em duas dimensões, se formarmos equações paramétricas da forma 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 e 𝑦 a 𝑔 de 𝑡 e, em seguida, eliminar o parâmetro 𝑡, isto pode ajudar-nos a esboçar as curvas destas funções, mas que também devemos representar a direção na qual a curva está sendo esboçada utilizando um conjunto de setas.