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O Teorema Fundamental do Cálculo: Funções Definidas por Integrais
Nesta lição, aprenderemos como aplicar o teorema fundamental do cálculo para
determinar a derivada de uma função definida por um integral. O teorema fundamental do cálculo tem um nome tão grande e importante porque relaciona
os dois ramos do cálculo. Nesta altura, devemos estar familiarizados com o facto de o cálculo diferencial nos
dar uma maneira de calcular o declive da tangente a uma curva num ponto. E o cálculo integral dá-nos uma maneira de calcular a área sob uma curva entre
limites. No entanto, nos anos 1600, Isaac Barrow, professor de Isaac Newton, percebeu que a
diferenciação e a integração, dois processos aparentemente não relacionados, eram de
facto o inverso um do outro. Logo depois disso, o próprio Newton, de forma semelhante, iria completar o
desenvolvimento da teoria e formalizar grande parte da notação com a qual estamos
hoje familiarizados.
Ok, então a primeira parte do teorema fundamental do cálculo, que abreviaremos para a
TFC para economizar espaço, é a seguinte. Se a função 𝑓 minúsculo for contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e a função
𝐹 maiúsculo de 𝑥 for igual ao integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡, o
seguinte será verdadeiro. 𝐹 maiúsculo é contínuo no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏. Também é diferenciável no intervalo aberto entre 𝑎 e 𝑏. E, crucialmente, 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 é igual a 𝑓 minúsculo de 𝑥 para todos os
valores de 𝑥 no intervalo aberto entre 𝑎 e 𝑏. Algumas observações sobre a notação aqui, pode parecer um pouco estranho ao
princípio, mas temos que determinar a nossa função 𝐹 maiúsculo de 𝑥, utilizando o
integral definido de outra função 𝑓 de 𝑡. E os limites de integração são 𝑎 e 𝑥.
Vale ressaltar que aqui 𝑎 representa uma constante que depende de 𝑥. Agora, uma das implicações deste teorema é que qualquer função contínua, aqui 𝑓
minúsculo de 𝑥, tem uma primitiva, 𝐹 maiúsculo de 𝑥. E, é claro, a regra importante que dissemos anteriormente, este teorema dá-nos a
ligação entre a diferenciação e a integração. Talvez possamos ver esta ligação mais claramente representando a parte derivada da
seguinte maneira. É claro que definimos 𝐹 maiúsculo de 𝑥 da seguinte maneira, tomando 𝐹 maiúsculo
linha de 𝑥 ao diferenciar em ordem a 𝑥. E, claro, isto é igual a 𝑓 minúsculo de 𝑥 conforme a linha anterior. Agora que vemos o resultado de um operador diferencial a agir sobre um integral,
podemos começar a sentir que estes são processos inversos. Voltaremos à nossa teoria mais tarde para tentar desenvolver um entendimento
intuitivo. Mas, por enquanto, vejamos um exemplo.
Utilize o teorema fundamental do cálculo para determinar a derivada da função 𝑔 de
𝑥, que é igual ao integral entre três e 𝑥 do logaritmo natural de um mais 𝑡
elevado a cinco em ordem a 𝑡.
Para esta questão, sabe que recebemos uma função 𝑔 de 𝑥, definida como um
integral. Foi-nos pedido que determinássemos a derivada desta função. Agora, o nosso primeiro pensamento pode ser tentar diferenciar o integral com
técnicas padrão e depois diferenciar em ordem a 𝑥. Aqui, isso seria um erro, já que o integral que nos foi dado provavelmente seria
confuso e difícil de resolver. Em vez disso, a questão dá-nos uma dica de que deveríamos utilizar o teorema
fundamental do cálculo, que abreviaremos para a TFC. Mais especificamente, a primeira parte do teorema diz-nos que se 𝑓 é uma função
contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é definido pelo
integral entre 𝑎 e 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡. Então 𝐹 linha de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑥 para todos os valores de 𝑥 no intervalo
aberto entre 𝑎 e 𝑏.
Este é um teorema incrivelmente poderoso e podemos entender o seu significado
aplicando-o na nossa questão. De facto, sabemos que a função que temos na questão corresponde à forma do teorema
fundamental do cálculo com 𝑔 de 𝑥 a representar 𝐹 maiúsculo de 𝑥, o logaritmo
natural de um mais 𝑡 elevado a cinco a representar 𝑓 minúsculo de 𝑡, o limite
inferior da nossa integração três é a constante 𝑎 e, é claro, o limite superior é
𝑥. Dada a correspondência das formas, podemos utilizar diretamente o teorema fundamental
do cálculo para alcançar um resultado para 𝑔 linha de 𝑥, que aqui representa 𝐹
maiúsculo linha de 𝑥. Conhecemos a função 𝑓 minúsculo de 𝑡 e, para determinar 𝑓 minúsculo de 𝑥,
substituímos simplesmente os 𝑡 por 𝑥. Isso significa que 𝑓 minúsculo de 𝑥 é igual ao logaritmo natural de um mais 𝑥
elevado o cinco. E, de facto, já alcançamos a nossa resposta para o 𝑔 linha de 𝑥.
Agora, o principal insight que nos ajudou a resolver esta questão foi que não
precisámos de nos preocupar em integrar o log natural de um mais 𝑡 elevado a
cinco. Isso levaria a alguns cálculos demorados. Mas, em vez disso, o teorema fundamental do cálculo permitiu-nos alcançar um
resultado muito mais rapidamente. Lembre-se de tomar atenção a questões com truques desta forma, onde precisa de
determinar a derivada de um integral. E a função dentro do integral parece praticamente difícil de calcular. A primeira parte do teorema fundamental do cálculo fornecerá uma rota alternativa
útil.
Ok, vamos voltar à nossa teoria e dar uma olhadela numa representação visual para
aumentar o nosso entendimento. Temos uma função 𝑓 minúsculo que é contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏. Agora, o integral entre 𝑎 e 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡 pode ser considerado como a
área sob a curva entre os limites de integração 𝑎 e 𝑥. Podemos definir uma função 𝐹 maiúsculo como esta área. Portanto, 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é igual ao integral entre 𝑎 e 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a
𝑡. Agora, vale a pena notar que 𝑥 é uma variável e pode assumir qualquer valor dentro
do intervalo entre 𝑎 e 𝑏, no qual sabemos ser contínua.
Para mostrar o que queremos dizer com isto, vamos adicionar algumas
identificações. No nosso primeiro diagrama, temos 𝑥 um. E no nosso segundo diagrama, temos 𝑥 dois. Para o nosso primeiro diagrama, a área é, portanto, expressa pelo 𝐹 maiúsculo de 𝑥
um. E para o nosso segundo diagrama, a área é expressa pelo 𝐹 maiúsculo de 𝑥 dois. Neste exemplo, a área, 𝐹 de 𝑥 dois, é claramente maior que 𝐹 de 𝑥 um. Tudo bem, mas o teorema fundamental do cálculo diz respeito à derivada 𝑓 linha de
𝑥. Certamente, este é o 𝐹 maiúsculo de 𝑥 diferenciado em ordem a 𝑥, então d sobre d𝑥
deste integral.
Ok, mas o que é que isto realmente significa? Bem, se pensarmos no nosso integral como a área sob uma curva e pensarmos numa
derivada como a taxa de variação, então 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥, a derivada do
nosso integral, é a taxa de variação desta área em ordem a 𝑥. Por outras palavras, qual é a taxa na qual a área desta forma geométrica muda devido
a uma alteração em 𝑥? Não iremos tão longe com dízimas infinitas ou limites aqui. Mas podemos obter um entendimento visual novamente com os nossos gráficos. O teorema fundamental do cálculo diz-nos que 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 é igual a 𝑓
minúsculo de 𝑥. Portanto, a taxa de variação da área é a altura da curva neste ponto. A taxa de variação desta área é a função 𝑓 minúsculo calculada em 𝑥 um. E a taxa de variação desta área é a função 𝑓 minúsculo calculada em 𝑥 dois.
Visualmente, deve fazer sentido que, se o lado direito da nossa forma geométrica
tiver uma altura maior, a sua área mudará numa quantidade maior à medida que 𝑥
varia. No nosso exemplo, vemos isso representado no facto de que 𝑓 de 𝑥 dois é maior que
𝑓 de 𝑥 um. Um ponto final para fechar este exemplo visual, não se confunda ao pensar que a taxa
de variação da área é o declive da curva. Lembre-se, é a altura. Novamente, não mergulhamos muito nos detalhes das dízimas infinitas aqui, mas espero
que isto fortaleça a nossa intuição quando se trata dos princípios subjacentes ao
teorema fundamental do cálculo.
Vamos agora dar uma olhadela noutro exemplo para praticar a aplicação disto.
Utilize o teorema fundamental do cálculo para determinar que a derivada da função 𝑅
de 𝑦 é igual ao integral entre 𝑦 e cinco de três 𝑡 quadrado sen dois 𝑡 em ordem
a 𝑡.
Para esta questão, primeiro reconhecemos que recebemos uma função definida por um
integral 𝑅 maiúsculo de 𝑦. E fomos solicitados a determinar a derivada desta, o 𝑅 maiúsculo linha de 𝑦. Uma ferramenta que podemos utilizar para resolver este problema, como a questão nos
diz, é o teorema fundamental do cálculo. A primeira parte deste diz-nos que se 𝑓 minúsculo é uma função contínua no intervalo
fechado entre 𝑎 e 𝑏 e a função 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é definido pelo integral entre
𝑎 e 𝑥 de 𝑓 minúsculo de 𝑡 em ordem a 𝑡. Então 𝐹 linha de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑥 para todos os valores de 𝑥 no intervalo
aberto entre 𝑎 e 𝑏. Agora, a equação dada na nossa questão não tem um 𝐹 maiúsculo de 𝑥, mas sim um 𝑅
maiúsculo de 𝑦.
Antes de começarmos a pensar em 𝑅 linha de 𝑦, vamos voltar a 𝑅 de 𝑦 para ver se
temos a forma correta de equação para aplicar o teorema fundamental do cálculo. De facto, temos uma função definida por uma função integral e contínua como o nosso
integrando. No entanto, a variável em que estamos a trabalhar 𝑦 aparece como o limite inferior
de integração e temos uma constante como o limite superior. Isto é o contrário do teorema fundamental do cálculo, onde a variável é o limite
superior e a constante é o limite inferior. Isso significa que as posições dos nossos limites estão invertidas. Felizmente, uma das propriedades dos integrais é que trocar as posições dos limites e
multiplicar por menos um é igual ao Integral original. Podemos fazer isso com o integral, que define 𝑅 de 𝑦. E, claro, não importa se este fator menos um está dentro ou fora do nosso
integral.
Agora que a nossa equação está na forma correta, com uma variável a aparecer como o
limite superior e a constante a aparecer como o limite inferior, podemos utilizar o
teorema fundamental do cálculo. Isso permite-nos dizer que 𝑅 maiúsculo linha de 𝑦 é igual a 𝑓 de 𝑦. E lembre-se de que a variável é 𝑦 não 𝑥. Olhando para o nosso integral, temos que determinar 𝑓 minúsculo de 𝑡 sendo menos
três 𝑡 ao quadrado sen dois 𝑡. Isto significa que, em 𝑓 minúsculo de 𝑦, substituiremos todos os nossos 𝑡 por
𝑦. Portanto, descobrimos que 𝑅 maiúsculo linha de 𝑦 é igual a menos três 𝑦 ao
quadrado sen dois 𝑦. E, portanto, respondemos à nossa questão. Descobrimos a derivada 𝑅 maiúsculo linha de 𝑦 utilizando o teorema fundamental do
cálculo. E isso permitiu-nos evitar calcular o integral definido dado na questão que poderia
ter levado a cálculos confusos ou demorados.
Ok, nos exemplos que vimos até agora, os limites do nosso integral envolveram uma
constante 𝑎 e a variável na qual a nossa função 𝐹 maiúsculo está a operar que é,
claro, 𝑥. E se, em vez disso, este limite não fosse 𝑥 mas 𝑥 ao quadrado. Ou, de facto, o limite era outra função de 𝑥. Digamos 𝑢 de 𝑥. Pode determinar várias equações desta forma e veremos como lidar com elas no exemplo
a seguir.
Utilize o teorema fundamental do cálculo para determinar a derivada da função 𝑦 de
𝑥 igual ao integral entre dois e 𝑥 elevado a quatro de cinco cos ao quadrado de
cinco 𝜃 em ordem a 𝜃.
Aqui, temos uma função 𝑦 de 𝑥, que é definida por um integral. Para determinar esta derivada, em vez de calcular o integral diretamente,
utilizaremos o teorema fundamental do cálculo. A primeira parte do teorema diz-nos que se 𝑓 minúsculo é uma função contínua no
intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e temos outra função 𝐹 maiúsculo de 𝑥, que é
definida pelo integral entre 𝑎 e 𝑥 da 𝑓 minúsculo de 𝑡 com ordem a 𝑡. Então 𝐹 linha de 𝑥 é igual a 𝑓 minúsculo de 𝑥 para todos 𝑥 no intervalo aberto
entre 𝑎 e 𝑏. Vamos agora verificar se temos a formula correta para utilizar.
A função definida pelo integral é 𝑦 de 𝑥 em vez de 𝐹 maiúsculo de 𝑥. O nosso integrando é uma função que é de facto contínua ao longo de todo o conjunto
de números reais. E isso é 𝑓 minúsculo de 𝜃 em vez de 𝑓 minúsculo de 𝑡. O limite inferior do nosso integral é dois, que é uma constante. No entanto, aqui deparamo-nos com um problema e é que o limite superior não é 𝑥, mas
sim 𝑥 elevado a quatro. E isso é uma função de 𝑥. Para utilizar o teorema fundamental do cálculo, precisamos, portanto, de fazer uma
modificação. Primeiro, escrevemos 𝑦 de 𝑥 de uma forma um pouco mais organizada. Em seguida, definiremos o nosso limite superior problemático como outra coisa, por
exemplo, a variável 𝑢. Temos então que 𝑦 de 𝑥 é igual ao integral entre dois e 𝑢 de 𝑓 de 𝜃 d𝜃.
Agora, precisamos de determinar 𝑦 linha de 𝑥, que é 𝑦 de 𝑥 diferenciado em ordem
a 𝑥. Podemos escrever isso como d sobre d𝑥 do integral que formámos aqui. Esta é a etapa em que o problema ocorrerá. Ainda não podemos utilizar diretamente o teorema fundamental do cálculo para
calcular, pois nosso limite superior não corresponde à variável 𝑥. Uma ferramenta que podemos utilizar para avançar é a regra em cadeia que nos diz que
d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Claro, aqui temos um d𝑦 sobre d𝑥. Nesta etapa crucial, a regra em cadeia permite-nos escrever isto como d𝑦 sobre d𝑢
vezes d𝑢 sobre d𝑥. Olhando para esta parte da equação, agora vemos que pode ser calculada utilizando o
teorema fundamental do cálculo, pois estamos a utilizar uma derivada em ordem a 𝑢 e
nosso limite superior é 𝑢.
Pode ver isso mais claramente observando que a forma agora corresponde como
apresentada aqui. Utilizando o teorema, podemos dizer que isto é igual a 𝑓 de 𝑢. E, portanto, 𝑦 linha de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑢 d sobre d𝑥. De facto, é uma generalização extremamente útil que podemos utilizar quando os
limites do nosso integral envolvem uma função de 𝑥 em vez de 𝑥 em si. Para avançar com a nossa questão, agora podemos substituir novamente a equação
utilizando a nossa definição, que é que 𝑢 é igual a 𝑥 elevado a quatro. Lembramos agora que 𝑓 de 𝜃 é igual a cinco cos ao quadrado de cinco 𝜃. Substituindo o nosso 𝜃 por 𝑥 elevado a quatro, obtemos que 𝑓 de 𝑥 elevado a
quatro é igual a cinco cos ao quadrado de cinco 𝑥 elevado a quatro.
Em seguida, precisamos derivar 𝑥 elevado a quatro em ordem a 𝑥. E, claro, isso é quatro 𝑥 ao cubo. Multiplicando estas duas coisas, ficamos com 20𝑥 ao cubo vezes cos ao quadrado de
cinco 𝑥 elevado a quatro. E, finalmente, chegámos à resposta para a nossa questão, já que isto é 𝑦 linha de
𝑥.
Este exemplo ilustra uma modificação muito útil no teorema fundamental do
cálculo. O método pode ser generalizado para lidar com integrais, que têm limites para outras
funções de 𝑥. Vamos agora dar uma olhadela num último exemplo.
Determine a derivada da função 𝑔 de 𝑥 igual ao integral entre um menos dois 𝑥 e um
mais 𝑥 de cinco 𝑡 sen 𝑡 em ordem a 𝑡.
Nesta questão, temos uma função definida por um integral 𝑔 de 𝑥. E precisamos de determinar a sua derivada 𝑔 linha de 𝑥. Para o fazer, utilizaremos a primeira parte do teorema fundamental do cálculo, que
indica se temos uma equação nesta forma, podemos determinar diretamente a sua
derivada utilizando as regras a seguir. Aqui, reescrevemos a nossa equação. Definindo 𝑓 de 𝑡 igual a cinco 𝑡 sen 𝑡. Agora, a primeira coisa que notamos ao observar o nosso integral é que não tem apenas
os limites superior e inferior como funções de 𝑥 em vez de 𝑥 em si. Mas um deles é uma constante, a qual precisamos utilizar no nosso teorema.
Nesta altura, podemos lembrar-nos que um integral pode ser dividido da seguinte
maneira. Para conceptualizar isso, pode ser útil interpretar um integral definido como a área
sob uma curva, como apresentado. Utilizando este método, podemos introduzir artificialmente uma constante que
chamaremos 𝑎 nos integrais que agora formam a nossa soma. Em seguida, percebemos que o nosso primeiro integral tem essa constante como o seu
limite superior em vez do seu limite inferior. E precisamos de mudar tudo para utilizar o teorema fundamental do cálculo. Felizmente, ao trocar os limites de um integral e ao multiplicar por menos um
calculamos o mesmo resultado. E assim podemos fazer isto.
Ok, estamos um pouco mais próximos da forma que precisamos agora. No entanto, lembre-se, o limite superior destes dois integrais, em vez de ser 𝑥, é
uma função de 𝑥. Para avançar, podemos utilizar a seguinte forma modificada do teorema fundamental do
cálculo. Se 𝑓 minúsculo for uma função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e 𝐹
maiúsculo de 𝑥 for definida pelo integral entre 𝑎 e uma função de 𝑥, que
chamaremos 𝑢 de 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡. Então 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 é igual a 𝑓 minúsculo de 𝑢 de 𝑥 multiplicada por d
sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥, onde 𝑢 de 𝑥 está no intervalo aberto entre 𝑎 e 𝑏. Ok, então, olhando para 𝑔 de 𝑥, agora está escrito como a soma de dois integrais
separados.
Dadas as regras de diferenciação, confinamos 𝑔 linha de 𝑥 simplesmente
diferenciando cada um destes termos individualmente. E, portanto, o nosso teorema modificado também pode ser aplicado individualmente a
ambos os termos. Para o primeiro termo, o nosso limite superior é a função um menos dois 𝑥. O nosso teorema modificado diz-nos que, portanto, é igual a menos 𝑓 de um menos dois
𝑥 vezes d sobre d𝑥 de um menos dois 𝑥. O nosso segundo termo assume a mesma forma, mas utilizando o limite superior de um
mais 𝑥. Lembramos agora que 𝑓 de 𝑡 é igual a cinco 𝑡 sen 𝑡. Para 𝑓 de um menos dois 𝑥, substituiremos todos os termos com 𝑡 nesta equação por
um menos dois 𝑥. Devemos então multiplicar isto pela derivada de um menos dois 𝑥.
No nosso segundo termo, seguimos exatamente o mesmo padrão, substituindo primeiro por
𝑓 minúsculo e, em seguida, determinamos a derivada de um mais 𝑥 e
multiplicamos. Após um pouco de simplificação, resta o seguinte resultado. Agora concluímos a nossa questão e determinámos a derivada 𝑔 linha de 𝑥. Este exemplo ilustra que podemos utilizar a versão modificada do teorema fundamental
do cálculo, mesmo quando a função que temos é definida por um integral que envolve
duas funções diferentes de 𝑥 nos limites superior e inferior.
Ótimo para finalizar, vamos ver alguns pontos-chave. A primeira parte do teorema fundamental do cálculo diz-nos que, se 𝑓 minúsculo é uma
função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, e a função 𝐹 maiúsculo de 𝑥 é
definida pelo integral entre 𝑎 e 𝑥 da 𝑓 minúsculo de 𝑡 em ordem a 𝑡. Então 𝐹 maiúsculo é contínuo no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, é diferenciável no
intervalo aberto entre 𝑎 e 𝑏, e 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 é igual a 𝑓 minúsculo de
𝑥 para todos os valores de 𝑥 no intervalo aberto entre 𝑎 e 𝑏. Se a variável aparecer como o limite inferior de integração em vez do superior,
poderá trocar os limites e multiplicar por menos um, que é igual ao Integral
original.
A primeira parte do teorema fundamental do cálculo pode ser modificada quando os
limites envolvem funções de 𝑥 em vez de 𝑥 em si. E aqui esta função chamamos 𝑢 de 𝑥. Quando uma função é definida por um integral no qual ambos os limites têm uma
dependência de 𝑥, o intervalo pode ser dividido para incluir artificialmente
constantes nos limites. Pode trocar os limites como apresentado anteriormente e multiplicá-los por menos
um. A questão pode ser resolvida utilizando o teorema fundamental do cálculo modificado
em cada um desses integrais individualmente.
