Vídeo: Encontrando a Corrente em um Circuito RL

Quanto tempo depois de o interruptor 𝑆₁ ser fechado, a corrente no circuito dado atinge a metade do seu valor máximo? Expresse sua resposta em termos da constante de tempo do circuito.

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Transcrição do vídeo

Quanto tempo após o 𝑆 um é lançado, a corrente no circuito dado atinge metade do seu valor máximo? Expresse sua resposta em termos da constante de tempo do circuito.

Neste enunciado do exercício, queremos resolver para um valor de tempo: quanto tempo após a chave ser fechada, a corrente reduziu a metade do seu valor máximo? Nós chamaremos esse tempo 𝑡 índice um meio. Quando olhamos para o circuito, vemos que ele tem uma fonte de alimentação, um resistor 𝑅 e um indutor 𝐿.

Com o interruptor 𝑆 aberto, nenhuma corrente flui pelo circuito. Mas assim que ela se fecha, a corrente começará a fluir e aumentará até seu valor máximo. Ela atingirá instantaneamente seu valor máximo graças ao indutor que faz parte deste circuito.

Se nomearmos este circuito de 𝑅𝐿 por causa das componentes envolvidas, então a corrente que passa pelo circuito é dada como uma função do tempo após a chave ser fechada. Corrente como uma função do tempo no circuito uma vez que o interruptor é fechado, representando o tempo 𝑡 igual a zero, é igual à potência fornecida dividida pela resistência multiplicada por um menos 𝑒 elevado a menos 𝑡 sobre 𝜏, onde 𝜏 é a constante de tempo do circuito.

Quando aplicamos essa relação ao nosso exercício, observe que o fator 𝜀 sobre 𝑅, representando a tensão sobre a resistência, é igual a lei de Ohm à corrente máxima que passa por esse circuito. Vamos chamá-la de 𝐼 máxima. Assim, podemos dizer que a corrente no circuito a qualquer momento 𝑡 é igual à corrente máxima que pode percorrer o circuito multiplicada por este termo entre parênteses.

Em um determinado momento, quando 𝑡 é igual a 𝑡 índice um meio, podemos escrever que 𝐼 máxima sobre dois, metade da corrente máxima, é igual a 𝐼 máxima multiplicada por um menos 𝑒 elevado a menos 𝑡 índice um meio sobre 𝜏.

Podemos ver aqui que a corrente máxima 𝐼 máxima cancela dos dois lados. E descobrimos que um meio é igual a um menos 𝑒 elevado a 𝑡 índice um meio sobre 𝜏. Ou 𝑒 elevado a menos 𝑡 índice um meio sobre 𝜏 é igual a um meio. E se tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados, então podemos reescrever o lado esquerdo dessa equação como menos 𝑡 índice um meio sobre 𝜏.

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por menos 𝜏. 𝑡 índice um meio é menos 𝜏 vezes o log natural de um meio. Quando calculamos o log natural de um meio, descobrimos que, para dois números significativos, é igual a menos 0.69. Assim, o tempo que leva para a corrente no circuito atingir metade do seu valor máximo é igual a 0.69 vezes a constante de tempo do circuito.

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