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Neste vídeo, aprenderemos como determinar a condição para a qual a série 𝑝
converge. E provaremos a divergência da série harmónica utilizando o teste do integral. Veremos alguns exemplos da aplicação da condição para a série 𝑝 o para determinar se
uma série converge ou diverge.
Vamos primeiro lembrar-nos da diferença entre uma série convergente e uma série
divergente. Se estamos a tentar determinar se uma série é convergente, estamos a tentar descobrir
se a soma dos termos se aproxima cada vez mais de um valor específico à medida que
aumenta o número de termos. Caso contrário, temos uma série divergente, o que significa que a série não tem um
limite finito. Portanto, esta pode ser uma série que tende a mais ou menos ∞ quando adiciona um
número infinito de termos.
Existe uma série realmente importante chamada série harmónica, que é uma série
infinita da forma a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 que nos dá um mais um
sobre dois mais um sobre três mais um sobre quatro, e assim em diante. E esta série realmente recebeu este nome pela sua conexão com a música. Uma corda vibratória produz comprimentos de onda na proporção de um, um sobre dois,
um sobre três, um sobre quatro, e assim por diante, do comprimento de onda
fundamental das cordas. Mas o que vamos ver é se a série harmónica é convergente ou divergente. E vamos provar isso utilizando o teste do integral.
Lembre-se, o teste do integral diz que, se definirmos uma função 𝑓 a partir de uma
série, que é uma função positiva e decrescente contínua no intervalo entre um e ∞,
se o integral impróprio da função for convergente, a série será convergente. Se o integral impróprio for divergente, a série será divergente. Quando o limite deste integral impróprio existem, o integral é convergente. E quando o limite do integral impróprio não existe ou é infinito, a integral é
divergente. Então, agora vamos aplicar o teste integral na nossa série.
Se começarmos por definir 𝑓 de 𝑥 como sendo um sobre 𝑥, o integral que vamos
calcular é o integral entre um e ∞ de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥. Este é um integral impróprio porque temos um limite infinito. E lidamos com integrais impróprios substituindo o limite infinito por uma variável e
assumindo os limites do integral à medida que esta variável tende para ∞. E assim podemos reescrever este integral como o limite quando 𝑡 tende para ∞ do
integral entre um e 𝑡 de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥. Conhecemos um resultado geral que nos diz que o integral de um sobre 𝑥 em ordem a 𝑥
é o logaritmo natural do módulo de 𝑥 numa constante de integração.
E, é claro, ao calcular um integral definido de um a 𝑡, a constante será subtraída
de si mesma. Portanto, obtemos o limite quando 𝑡 tende para ∞ do logaritmo natural do módulo de
𝑥. Isso dá-nos o limite quando 𝑡 tende para ∞ do logaritmo natural do módulo de 𝑡
menos o logaritmo natural do módulo de um. Mas o logaritmo natural de um é zero. Portanto, precisamos apenas de calcular o limite quando 𝑡 tende para ∞ do logaritmo
natural do módulo de 𝑡. E sabemos que este limite é ∞. E, portanto, este integral impróprio é divergente. Portanto, pelo teste do integral, esta série é divergente. Portanto, mesmo adicionando um número cada vez menor, as somas parciais ainda
aumentam sem limites.
A série harmónica é na verdade um caso específico de uma série mais geral chamada
série 𝑝. Uma série 𝑝 é uma série da forma em que a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛
elevado a 𝑝, como uma série em que a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 ao
quadrado. E, na verdade, a série harmónica é apenas uma série 𝑝 com 𝑝 igual a um. Vamos dar uma olhadela em como podemos saber se uma série 𝑝 converge ou diverge. Podemos fazer isso utilizando o teste da divergência e o teste do integral. Vamos dividir em valores diferentes para diferentes casos de 𝑝. Começarei por escrever o teste da divergência.
Lembre-se de que, quando sabemos que 𝑝 é igual a um, temos a série harmónica que é
divergente. Em primeiro lugar, consideraremos o caso em que 𝑝 é igual a zero. Então o limite quando 𝑛 tende para ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝 será apenas um. Como isto não é igual a zero, pelo teste da divergência quando 𝑝 é igual a zero, a
série é divergente. E o caso em que 𝑝 é estritamente menor que zero? Bem, assumir o limite quando 𝑛 tende para ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝 é o mesmo
que tomar o limite quando 𝑛 tende para ∞ de 𝑛 elevado a menos 𝑝.
Lembre-se aqui que se 𝑝 for menor que zero negativo 𝑝 é maior que zero. E porque 𝑛 representa os números contados para os termos da série, 𝑛 será um número
inteiro e, portanto, 𝑛 elevado a menos 𝑝 será cada vez maior. Então, quando 𝑛 tende para ∞, este limite tende para ∞. E assim, pelo teste da divergência, quando 𝑝 é menor que zero, essa série é
divergente. Vamos agora ver o caso em que 𝑝 é estritamente maior que zero. Para fazer isso, aplicaremos o teste do integral. E aqui estamos a assumir que 𝑝 não é igual a um, porque isto torná-la-ia uma série
harmónica. E já sabemos que esta diverge. Portanto, se definirmos uma função de um sobre 𝑥 elevado a 𝑝, calcularemos o
integral impróprio de um a ∞ de um sobre 𝑥 elevado a 𝑝 em ordem a 𝑥.
E vamos, primeiramente, reescrever isto como um expoente negativo de 𝑥 elevado a
menos 𝑝. E adotamos a nossa abordagem habitual para calcular integrais impróprios,
determinamos o limite quando 𝑡 tende para ∞ do integral entre um e 𝑡 de 𝑥 elevado
a menos 𝑝 em ordem a 𝑥. E utilizando a regra geral de que o integral de 𝑥 elevado a 𝑛 em ordem a 𝑥 é 𝑥
elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais uma constante de integração. Portanto, determinámos que o nossa integral é o limite quando 𝑡 tende para ∞ de 𝑥
elevado a 𝑝 mais um elevado a menos 𝑝 mais um. E lembre-se, está tubo bem com isto porque estamos a assumir que 𝑝 não é igual a
um. E, em seguida, substituímos os nossos limites de integração e, em seguida, eliminamos
um sobre um menos 𝑝 como fator.
A partir daqui, sabemos que um elevado a menos 𝑝 mais um dar-nos-á um. E também podemos escrever 𝑡 elevado a menos 𝑝 mais um e a sua forma de fração como
um sobre 𝑡 elevado a menos 𝑝 menos um. E agora há dois casos que precisamos de considerar aqui, se 𝑝 for maior que um e se
𝑝 for menor que um. Bem, se 𝑝 é maior que um, então 𝑝 menos um será positivo. Assim, quando 𝑡 tende para ∞, 𝑡 elevado a 𝑝 menos um tende para ∞. Então, um sobre 𝑡 elevado a 𝑝 tende para zero. Portanto, se este termo aqui tende para zero, o que nos resta é um sobre um menos 𝑝
multiplicado por menos um, que é menos um sobre um menos 𝑝 que é o mesmo que um
sobre 𝑝 menos um. E como este limite existe, o integral impróprio é convergente. E assim, pelo teste do integral, a série é convergente para 𝑝 maior que um.
E agora, examinamos o caso em que 𝑝 é menor que um. Se 𝑝 for menor que um, então 𝑝 menos um será menor que zero, portanto, um sobre 𝑡
elevado a 𝑝 menos um, que é o mesmo que 𝑡 elevado a menos 𝑝 menos um na forma de
expoente negativo. Note que, porque 𝑝 menos um é negativo, então menos 𝑝 menos um é positivo. E assim 𝑡 elevado a menos 𝑝 menos um deve tender para ∞ quando 𝑡 tende para ∞. Como este é um limite infinito, o integral impróprio, o integral de um a ∞ de 𝑥
elevado a menos 𝑝 em ordem a 𝑥, deve divergir quando 𝑝 é menor que um. E assim, pelo teste do integral, esta série é divergente para 𝑝 menos de um.
Portanto, descobrimos que esta série converge apenas quando 𝑝 é maior que um. Então, vou abrir espaço para escrever a nossa conclusão. Portanto, concluímos que a série 𝑝 que é a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛
elevado a 𝑝 é convergente se 𝑝 for maior que um e divergente se 𝑝 for menor ou
igual a um. Observe que isto é menor ou igual porque, lembre-se, já determinámos as séries
harmónicas quando 𝑝 é igual a um como divergente. Vamos agora dar uma olhadela a alguns exemplos de como podemos aplicar esta condição
nalgumas séries 𝑝.
Determine se a série cuja soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a quatro
converge ou diverge.
Bem, reconhecemos que esta soma é a forma de uma série 𝑝. Então, podemos começar por escrever a condição para a convergência de uma série
𝑝. A série 𝑝 cuja soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝 é convergente
se 𝑝 for maior que um e divergente se 𝑝 for menor ou igual a um. Portanto, para esta série, 𝑝 é igual a quatro, que é maior que um. Portanto, podemos concluir que esta série converge.
Determine se a série da soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a dois
quintos converge ou diverge.
Começamos por reconhecer que esta soma está na forma de uma série 𝑝, que é uma série
da forma a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Então, vamos escrever a condição de convergência para uma série 𝑝. Esta é a série 𝑝 na qual a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝 é
convergente se 𝑝 for maior que um e divergente se 𝑝 for menor ou igual a um. E assim, para esta série, 𝑝 é igual a dois quintos, que é menor que um. Então, podemos dizer que esta série diverge.
Determine se a série cuja soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre a raiz quadrada de 𝑛
ao cubo converge ou diverge.
Se começarmos a reescrever esta soma, utilizando o facto de que podemos escrever a
raiz quadrada de 𝑎 como 𝑎 elevado a um meio, podemos dizer que esta soma é
equivalente à soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 ao cubo elevado a um
meio. Podemos então utilizar o facto de que 𝑎 elevado a 𝑥, depois elevado a 𝑦, é igual a
𝑎 elevado a 𝑥 multiplicado pela potência de 𝑦. Portanto, podemos escrever a nossa soma como a soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre
𝑛 elevado a três sobre dois. E a seguir, podemos reconhecer que esta é uma série 𝑝, que é uma série da forma a
soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝.
Então, vamos escrever as condições de convergência para uma série 𝑝. A série 𝑝 da soma de 𝑛 igual a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝 é convergente se
𝑝 for maior que um e divergente se 𝑝 for menor ou igual a um. Portanto, para esta série, 𝑝 é igual a três sobre dois; que é o mesmo que 1.5, que é
maior que um. Portanto, esta série converge.
Então, vamos resumir os pontos principais. Uma série 𝑝 é uma série da forma a soma
de 𝑛 equivale a um a ∞ de um sobre 𝑛 elevado a 𝑝. E é convergente se 𝑝 for maior que um e divergente se 𝑝 for menor ou igual a
um. Para 𝑝 igual a um, esta série é designada por série harmónica. E esta série é divergente.
