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Vídeo da aula: Gráficos de Funções por Partes Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como representar graficamente e analisar uma função definida por partes e estudar suas diferentes características.

16:27

Transcrição do vídeo

Nesta aula, aprenderemos como representar graficamente e analisar uma função definida por partes e estudar suas diferentes características.

Às vezes, nos deparamos com uma função que requer mais de uma função para obter a saída dada. Chamamos isso de função por partes. E essas são funções em que mais de uma função é usada para definir a saída em diferentes partes do domínio. Cada subfunção é então definida individualmente em seu próprio domínio.

Por exemplo, vamos pegar 𝑓 de 𝑥, que é uma função definida por partes. E é dada por dois 𝑥 mais um se 𝑥 for menor que menos um e três 𝑥 se 𝑥 for maior ou igual a menos um. Vemos que para valores de 𝑥 estritamente menores que menos um, usamos a função 𝑓 de 𝑥 igual a dois 𝑥 mais um. Por exemplo, 𝑓 de menos dois seria calculado como duas vezes menos dois mais um, que é menos três. Mas então, com valores de 𝑥 maiores ou iguais a menos um, usamos a função 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥. Então, por exemplo, 𝑓 de zero seria três vezes zero, que é simplesmente zero.

Precisamos ter certeza de que podemos identificar os gráficos dessas funções, bem como esboçá-los e definir a função quando dado um gráfico. Então, vamos ver como ficaria com um exemplo.

Que tipo de função está representada no gráfico? É (A) uma função par, (B) uma função logarítmica, (C) uma função por partes ou (D) uma função polinomial?

Vamos começar fornecendo uma definição para cada um desses termos. Se uma função 𝑓 de 𝑥 satisfaz o critério 𝑓 de menos 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑥 para todo 𝑥 dentro do domínio da função, então ela é dita par. Também sabemos que essas funções têm simetria reflexiva sobre o eixo 𝑦 ou a reta 𝑥 igual a zero. Em seguida, analisamos as funções logarítmicas. Estas são da forma log de base 𝑎 de 𝑥. Elas são o inverso das funções exponenciais. É importante notar também que o domínio de uma função logarítmica é o conjunto de números reais positivos e, em seguida, a imagem é o conjunto de todos os números reais.

Então temos funções por partes. E essas são funções em que mais de uma subfunção é usada para definir a saída em diferentes partes do domínio. Cada subfunção é então definida individualmente em seu próprio domínio. Finalmente, temos funções polinomiais. Agora, essas são aquelas compostas pela soma ou diferença de termos constantes, variáveis e expoentes inteiros positivos, como dois 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥. O domínio de uma função polinomial é o conjunto de todos os números reais. E sabemos que seus gráficos são contínuos e suaves. Em outras palavras, não há lacunas no gráfico, o que podemos chamar de descontinuidade, e não há cantos agudos no gráfico. Então, vamos olhar para o nosso gráfico e comparar essas definições com ele.

Em primeiro lugar, notamos que não há simetria sobre a reta 𝑥 igual a zero. E assim vemos que a função não pode ser uma função par. Também vemos que nosso gráfico certamente está definido para valores 𝑥 maiores ou iguais a menos 10 e menores ou iguais a oito. Pode até ser definido fora desse intervalo, mas não podemos ter certeza neste estágio. O que isso nos diz é que o domínio é diferente daquele de uma função logarítmica, que são simplesmente números reais positivos. E assim nosso gráfico não pode ser o gráfico de uma função logarítmica.

E, portanto, estamos limitados a funções por partes e funções polinomiais. Agora, de fato, dissemos que o gráfico de uma função polinomial é suave; não há cantos agudos. E isso significa que é diferenciável em todos os pontos. Podemos ver claramente que nosso gráfico tem dois cantos agudos. E por isso não é bom. Nosso gráfico não pode, portanto, ser uma função polinomial. E assim ficamos com (C) uma função por partes. Na verdade, se olharmos com cuidado, veremos que existem três partes nessa função por partes. A primeira parte é para valores de 𝑥 menores que menos três. Temos então valores de 𝑥 entre menos três e zero. E, finalmente, nossa terceira subfunção são valores de 𝑥 maiores que zero e certamente, pelo que podemos ver, até oito.

Então, vimos como pode ser o gráfico de uma função definida por partes. Agora vamos ver como podemos determinar o domínio de uma função definida por partes, dado seu gráfico.

Determine o domínio da função representada pelo gráfico dado.

Vamos começar lembrando o que queremos dizer com a palavra “domínio”. O domínio de uma função é o conjunto de entradas possíveis que produzirão saídas reais. Em outras palavras, é o conjunto de valores 𝑥 que podemos substituir na função. Agora, quando olhamos para o gráfico de uma função, podemos estabelecer seu domínio considerando a dispersão de valores na direção 𝑥. Precisamos ter um pouco de cuidado porque se olharmos para o gráfico de nossa função, perceberemos que temos esses círculos vazios. Às vezes chamado de círculo aberto, ele nos diz que a função não pode ser definida por essa parte da reta neste ponto. Como temos uma função definida por partes, ou seja, uma função definida por mais de uma subfunção, encontraremos primeiro o domínio de cada subfunção.

Vemos que temos uma subfunção que assume valores menores que menos quatro. Então temos outra subfunção que assume valores maiores que menos quatro. Como o ponto inicial ou inicial de cada reta de nossa subfunção é representado por esse círculo aberto, vemos que 𝑥 igual a menos quatro não está definido dentro do domínio de nossa função. E assim, o domínio será o conjunto de números reais que não incluem esse número. Uma maneira de representar isso seria usar a notação de inequação e escrever 𝑥 pode ser menor que menos quatro e 𝑥 pode ser maior que menos quatro.

Alternativamente, podemos usar notações de conjunto, onde este ℝ de aparência engraçada representa o conjunto de números reais e esses colchetes ou chaves nos dizem que o conjunto contém um único elemento, e isso é menos quatro. E assim o domínio dessa função é o conjunto de números reais não incluindo o conjunto contendo o elemento menos quatro.

Agora que estabelecemos que a dispersão de valores na direção 𝑥 nos diz o domínio da função, vamos ver como encontrar a imagem de uma função definida por partes.

Encontre o intervalo da função.

Vamos começar lembrando o que queremos dizer com a imagem de uma função. Assim como o domínio é o conjunto de entradas possíveis para nossa função, a imagem é o conjunto de saídas possíveis. Em outras palavras, é o conjunto de valores de 𝑦 que alcançamos quando o domínio de valores de 𝑥 foi substituído na função. Isso significa que graficamente estamos olhando para a dispersão de valores na direção 𝑦 para nos ajudar a calcular a imagem da função.

Olhando para o gráfico, vemos que os valores de 𝑦 começam em menos um. E é quando inserimos valores de 𝑥 menores ou iguais a quatro. Então, em 𝑥 é igual a quatro, os valores de 𝑦 aumentam constantemente, e esta seta aqui nos diz que o aumento para ∞. Podemos, portanto, dizer que a imagem, o conjunto de saídas possíveis, são todos os valores de 𝑦 maiores ou iguais a menos um. Para usar a notação de conjunto para definir o mesmo intervalo, usamos o intervalo fechado à esquerdo e aberto à direita de menos um a ∞. Observe que os parênteses nos dizem que ∞ não é realmente um número definido. E assim, o intervalo dessa função, que é o conjunto de possíveis valores de 𝑦, é o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de menos um a ∞.

Até esse estágio, consideramos o que significa uma função ser definida por partes e como determinar seu domínio e imagem a partir de seu gráfico. Veremos agora como definir toda a função por partes, dado o gráfico dessa função.

Dê a definição por partes da função ℎ cujo gráfico é mostrado.

Disseram-nos que o gráfico que recebemos é uma função definida por partes. E sabemos que uma função definida por partes é composta de várias subfunções. Na verdade, olhando para o gráfico dessa função, podemos notar que haverá duas subfunções. Eles também serão lineares, pois o gráfico de cada subfunção é uma linha reta. E isso significa que se pudermos calcular a inclinação 𝑚 e encontrar um ponto pelo qual cada reta passa, podemos usar a equação 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 um para encontrar a equação de cada reta.

Vamos começar com a primeira parte dessa subfunção. Percebemos que essa subfunção é definida até e incluindo valores de 𝑥 de dois. Então isso nos dará uma dica de qual é o seu domínio. Então, poderíamos usar a fórmula para a inclinação 𝑚 igual a 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um para encontrar a inclinação dessa reta. Alternativamente, podemos usar o método do triângulo. Escolhendo um ponto na reta, neste caso, a interceptação 𝑦, e movendo exatamente uma unidade para a direita, vemos que temos que mover uma unidade para baixo para voltar ao nosso ponto na reta. Isso significa que a inclinação dessa reta deve ser menos um. Também passa pelo ponto zero, três. Lembre-se, essa é a interceptação 𝑦 da reta.

E assim, substituindo tudo o que sabemos sobre essa primeira função em nossa equação por uma linha reta, obtemos 𝑦 menos três é igual a menos um vezes 𝑥 menos zero. Distribuindo os parênteses do lado direito, obtemos menos 𝑥. E então isolaremos 𝑦 adicionando três a ambos os lados. Lembre -se, 𝑦 é a saída. Então será ℎ de 𝑥 essencialmente. E assim a primeira reta é definida pela equação 𝑦 é igual a três menos 𝑥.

Vamos repetir esse processo com a segunda reta. Agora, precisamos sempre ter um pouco de cuidado ao usar o método do triângulo para valores de inclinação fracionária. Neste caso, quando escolhemos um ponto na reta, movemos uma unidade para a direita, temos que mover meia unidade para cima para voltar ao nosso ponto na reta, o que significa que a inclinação da nossa segunda reta é um meio. Para nos convencer de que isso é verdade, poderíamos escolher os dois pontos dados na reta, que têm coordenadas quatro, dois e seis, três, respectivamente. Então 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um, que é a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥, é três menos dois sobre seis menos quatro, que é um meio como vimos.

Então vamos escolher este ponto. Sabemos que nossa reta passa pelo ponto com coordenadas dois, um. E assim a equação da nossa reta é 𝑦 menos um é igual a um meio vezes 𝑥 menos dois. Então, quando distribuímos os parênteses no lado direito, obtemos que um meio vezes 𝑥 menos dois é o mesmo que um meio 𝑥 ou 𝑥 sobre dois menos um. Podemos finalmente adicionar um a ambos os lados, eliminando o menos um. E assim a segunda reta tem a equação 𝑦 igual a 𝑥 sobre dois. Agora que temos as equações que representam nossas subfunções, vamos agrupar novamente usando a definição por partes.

ℎ é dado por três menos 𝑥 para valores de 𝑥 menores que dois. E 𝑥 sobre dois de 𝑥 é maior ou igual a dois, o que obviamente é o mesmo que escrever dois é menor que ou igual a 𝑥. Observe, é claro, que a função poderia ter sido definida no ponto 𝑥 igual a dois por qualquer uma das subfunções. Geralmente, escolhemos a segunda função para definir esse ponto, embora também fosse correto escrever três menos 𝑥 se 𝑥 for menor ou igual a dois e 𝑥 sobre dois se 𝑥 for maior que dois. A definição por partes de ℎ é três menos 𝑥 se 𝑥 for menor que dois e 𝑥 sobre dois se dois for menor ou igual a 𝑥.

Em nosso exemplo final, veremos como definir uma função por partes, dado um gráfico que também inclui uma descontinuidade.

Dê a definição por partes da função 𝑓 cujo gráfico é mostrado.

Somos informados de que este gráfico representa o gráfico de uma função definida por partes. E isso faz muito sentido. Vemos que é composto de três partes diferentes. Temos uma função linear aqui dada por uma única linha reta e uma outra função linear aqui dada por outra linha reta. Mas então temos algo realmente estranho aqui. Temos um único ponto neste ponto. E vamos considerar o que isso significa para a nossa definição por partes em um momento.

Por enquanto, vamos começar encontrando a equação de nossas duas retas. Usamos a fórmula 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 um, onde 𝑚 é a inclinação do gráfico e 𝑥 um, 𝑦 um é um único ponto pelo qual ele passa. Então a inclinação é dada pela variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥, que é 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. E então vamos começar encontrando a inclinação de nossa primeira reta, podemos escolher quaisquer dois pontos nesta reta. Vamos escolher os pontos com coordenadas menos três, seis e um, dois. Então a variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥 é seis menos dois sobre menos três menos um. Claro, poderíamos escrever dois menos seis sobre um menos menos três e obter o mesmo resultado.

Isso nos dá quatro dividido por menos quatro, que é menos um. Em seguida, substituindo tudo o que sabemos sobre a nossa primeira linha reta na fórmula por uma linha reta, obtemos 𝑦 menos seis é igual a menos um vezes 𝑥 menos menos três. Distribuindo os parênteses no lado direito, isso simplifica para menos 𝑥 menos três. Finalmente, adicionamos seis a ambos os lados e descobrimos que 𝑦 é igual a menos 𝑥 mais três ou três menos 𝑥. E assim, para valores de 𝑥 estritamente menores que dois, podemos usar a equação 𝑦 igual a três menos 𝑥 para desenhar seu gráfico.

Em seguida, escolhemos dois pontos em nossa segunda reta. Vamos escolher os pontos com coordenadas quatro, quatro e seis, cinco. A variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥 aqui é cinco menos quatro sobre seis menos quatro, o que equivale a um meio. Então a inclinação da nossa segunda reta é um meio. Substituindo então 𝑚 é igual a um meio e 𝑥 um, 𝑦 um é igual a quatro, quatro em nossa fórmula para uma linha reta e obtemos 𝑦 menos quatro é igual a um meio vezes 𝑥 menos quatro. E o lado direito simplifica para 𝑥 sobre dois menos dois. Em seguida, adicionamos quatro a ambos os lados. E vemos que nossa segunda reta tem a equação 𝑦 igual a 𝑥 sobre dois mais dois. Agora, desta vez, isso é para valores de 𝑥 estritamente maiores que dois. Então agora temos as equações de nossas duas retas. Estas são três menos 𝑥 se 𝑥 for menor que dois e 𝑥 sobre dois mais dois se 𝑥 for maior que dois.

Nós não terminamos; havia uma terceira subfunção em que estamos interessados. E essa subfunção é representada graficamente por um único ponto. Este ponto tem coordenadas dois, dois. Em outras palavras, se 𝑥 é exatamente igual a dois, a função produz uma saída de dois. E essa é a nossa terceira subfunção. Observando que podemos escrever alternativamente o domínio em nossa terceira reta como dois é menor que 𝑥, agora temos a definição por partes de nossa função. É 𝑓 de 𝑥 é igual a três menos 𝑥 se 𝑥 for menor que dois, dois de 𝑥 é igual a dois e 𝑥 sobre dois mais dois se dois for menor que 𝑥.

Vamos agora recapitular alguns dos pontos principais de nossa aula. Nesta aula, aprendemos que uma função definida por partes é uma função definida por várias subfunções. Vimos então como cada uma dessas subfunções é definida ao longo de um determinado intervalo do domínio das funções principais. Podemos chamar isso de subdomínio. E vimos como, considerando cuidadosamente sua definição, podemos identificar o domínio e a imagem de uma função e de seu gráfico.

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