Vídeo da aula: Resolvendo Inequações Lineares com Módulo Matemática

Uma abordagem detalhada e cuidadosa de inequações lineares que envolvem módulos. Damos instruções passo a passo de como é o gráfico uma função linear com módulo construída e como aplicar este conhecimento para nos ajudar a resolver inequações.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como resolver as inequações lineares com módulo; estas envolvem expressões que calculamos e aplicamos o módulo. Portanto, se o resultado for negativo, utilizamos apenas o positivo desse número. Veremos um problema gráfico e um problema algébrico e falaremos sobre como abordar os dois. Também forneceremos algumas respostas em diferentes formas, como a forma de inequação e também utilizando a notação de intervalo. Ok, vamos avançar e ver o nosso primeiro problema. Portanto, nesta questão, temos um gráfico que mostra duas funções: temos 𝑓 de 𝑥 que é o valor absoluto ou o módulo de 𝑥 mais dois e outra reta, uma reta horizontal, uma função 𝑔 de 𝑥, que é igual a cinco. E temos que determinar os valores de 𝑥 que satisfazem a inequação de 𝑓 de 𝑥 é menor que 𝑔 de 𝑥. Então, esta é uma desigualdade estrita. Então, estamos à procura de coordenadas em 𝑥, onde a coordenada em 𝑦 correspondente na função 𝑓 é menor que a função 𝑔. Então, estamos à procura de que áreas do gráfico está a reta verde abaixo da reta preta. E quando temos um gráfico como este, é apenas uma questão de realçar um pouco o gráfico e ler alguns valores do gráfico. E, portanto, faremos isso, mas também iremos um passo adiante e faremos algo que a questão não nos pede para fazer que é resolver algebricamente. Além disso, esperamos que isso forneça uma forma de entender como a solução algébrica funciona.

Portanto, ao tentar entender onde os valores de 𝑓 de 𝑥 gerados, as coordenadas em 𝑦, são menores que os valores de 𝑔 de 𝑥 criados, portanto, as coordenadas em 𝑦 para essa função, precisamos mesmo de começar a pensar: “Bem, onde são iguais?” E depois pensamos — vamos para a esquerda ou para a direita em cada caso. Portanto, podemos ver que as retas se intersetam aqui e aqui: então 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 é menos sete e 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 quando 𝑥 é igual a três. Então, 𝑓 de 𝑥 é menor que 𝑔 de 𝑥, como dissemos quando a reta verde é menor que a reta preta aqui, e isso é todos os pontos entre 𝑥 igual a menos sete e 𝑥 igual a três. E menos sete não está incluído, três não está incluído porque as funções são iguais. Mas tudo entre os dois, a reta verde está abaixo da reta preta. Então, escrevendo na forma de inequação, dizemos que menos sete está do lado esquerdo. E isso é sempre menor que 𝑥 porque se 𝑥 for igual a menos sete, as duas funções serão iguais. E 𝑥 é sempre menor que três porque se 𝑥 for três ou maior, então os valores de 𝑓 de 𝑥 gerados serão maiores que os valores de 𝑔 de 𝑥.

Então, esta é a nossa resposta. Ou poderíamos escrever na forma de intervalo. Agora, os valores críticos são menos sete e três nas extremidades do intervalo. Ora, menos sete não está incluído e, portanto, utilizamos o parênteses redondo, e três não está incluído; portanto, utilizamos o parênteses redondo novamente. Assim, esta seria outra forma de apresentar esta solução. De facto, podemos fazê-lo a notação de conjunto como aqui. Portanto, temos o conjunto dos 𝑥 tais que 𝑥 é um número real em que menos sete é menor que 𝑥 que é menor que três, e tem três formas diferentes de apresentar a sua resposta.

Ok, isto foi bem direto. No entanto, o que faremos é apenas dar uma nova olhadela, procurando resolver algebricamente, mas ainda olhando o gráfico enquanto o fazemos. Então 𝑓 de 𝑥 é o módulo de 𝑥 mais dois. Mas antes de pensarmos, vamos considerar o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 mais dois, ignorando o módulo. Agora 𝑥 mais dois será basicamente uma reta que tem um declive positivo e interseta o eixo O𝑦 em dois positivos. E esta é basicamente esta reta aqui, mas é claro que continuaria a descer aqui para sempre. Então, como dissemos, esta interseta o eixo O𝑦 em dois, e o declive de um significa que sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 correspondente também aumenta uma unidade. Então, considerei dois pontos na reta aqui, para ir daqui para o próximo ponto, minha coordenada em 𝑥 aumenta uma unidade e a coordenada em 𝑦 correspondente também aumenta uma unidade. E é o mesmo onde quer que esteja nesta reta. Então, está tudo muito bem; isto é 𝑦 igual a 𝑥 mais dois. Mas a função que estamos a ver é representada por 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais dois. Agora, todas as coordenadas em 𝑦 que geramos, se forem negativas, precisamos de transformá-las em positivas. Portanto, isso realmente não se aplica à direita desta reta.

Portanto, aqui, para todas estas coordenadas em 𝑥, pensando apenas em 𝑦 igual a 𝑥 mais dois gerará sempre zero ou uma coordenada em 𝑦 positiva de qualquer forma. Portanto, se limitássemos as coordenadas em 𝑥 que poderíamos utilizar a menos dois ou mais, basta utilizar a função representada por 𝑦 igual a 𝑥 mais dois seria bom. Mas à esquerda desta reta, quando temos coordenadas 𝑥 menor que menos dois, sempre que geramos estas coordenadas em 𝑦 negativas, o que estamos a fazer é refleti-las no eixo O𝑥 e tomar a versão positiva. Então, o que efetivamente estávamos a fazer é tomar um valor negativo e depois tomar o simétrico desse valor negativo, o que nos dá o valor positivo. Portanto, à esquerda de menos dois, o valor de 𝑦 é sempre o simétrico de 𝑥 mais dois, o simétrico da função.

Portanto, embora 𝑓 seja igual ao módulo de 𝑥 mais dois, a maneira prática de interpretar isto é se a coordenada em 𝑥 for menos dois ou maior, então utilizaremos esta equação para calcular nossas as coordenadas em 𝑦; mas se a coordenada em 𝑥 for menor que menos dois, utilizaremos esta equação para calcular nossas coordenadas em 𝑦.

Portanto, se não tivéssemos o gráfico, mas tivéssemos as funções módulo de 𝑥 mais dois e cinco, poderíamos agora esboçar o gráfico. E se o tivéssemos feito, teríamos um gráfico parecido com este. Então, agora, o processo será semelhante ao que fizemos antes; ainda estaremos interessados em onde estas duas retas se intersetam e, em seguida, procuraremos onde está a reta de 𝑓 de 𝑥 mais abaixo no gráfico que a reta de 𝑔 de 𝑥. E isso é obviamente entre estes dois pontos. Portanto, estamos bastante interessados em descobrir quanto é esta coordenada em 𝑥 e estamos a tentar — estamos bastante interessados em descobrir quanto é esta coordenada em 𝑥.

Bem, 𝑔 de 𝑥 é sempre cinco. Então, vejamos que o ponto à esquerda 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥. Bem naquela região, 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 𝑥 menos dois; e nessa região, 𝑔 de 𝑥 é igual a cinco. Bem, em toda região 𝑔 de 𝑥 é igual a menos cinco. Então, basta adicionar 𝑥 a ambos os membros e subtrair cinco de ambos os membros. E vemos que a coordenada em 𝑥 é menos sete. Podemos fazer o mesmo para o lado direito. E nessa região, a equação da função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais dois. Então, 𝑓 de 𝑥 é 𝑥 mais dois e 𝑔 de 𝑥 é cinco.

Agora, subtraímos apenas dois de cada membro indica-nos que a coordenada em 𝑥 é três. Agora temos exatamente as mesmas informações que temos imediatamente no gráfico da última vez. Podemos dizer: “Mas quando está a reta azul abaixo da reta preta?” Bem, não quando 𝑥 é menos sete, não quando 𝑥 é três, mas todos os pontos no meio. Então, novamente, podemos escrever a nossa resposta em qualquer uma destas três formas.

Ok, vamos dar uma olhadela numa questão puramente algébrica do zero.

Determine os valores de 𝑥 que satisfazem a inequação o módulo de seis menos 𝑥 maior ou igual a dez. Portanto, não é uma desigualdade estrita; pode ser igual a dez. Então, para começar, vamos pensar no primeiro membro. Portanto, consideraremos 𝑦 igual a seis menos 𝑥 e ignoraremos a função módulo por enquanto. Resolveremos isto daqui a pouco. Então esta é uma função linear. E porque o coeficiente de 𝑥 é negativo, isso significa que o declive é menos um; sempre que a minha coordenada em 𝑥 aumenta uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 correspondente diminui uma unidade. O 𝐶, a interseção, o termo constante é seis, então isso significa que interseta o eixo O𝑦 em seis. Agora, só precisamos de pensar sobre onde intersetaria o eixo O𝑥. Bem, esta intersetará o eixo O𝑥 quando 𝑦 for zero. E colocar 𝑦 igual a zero dá-nos zero igual a seis menos 𝑥. Então, se adicionar 𝑥 a ambos os membros, obtenho 𝑥 será igual a seis. Então, vamos esboçar isto nos eixos. É assim ao que 𝑦 igual a seis menos 𝑥 se parece. Mas é claro, lembre-se, queríamos o módulo de 𝑦 igual a seis menos 𝑥. Portanto, em qualquer sítio onde esta reta mergulhe abaixo do eixo O𝑥 e nos dê coordenadas em 𝑦 negativas, utilizaremos apenas a versão positiva de 𝑦 correspondente. Portanto, esta reta é positiva até 𝑥 igual a seis e depois deste fica abaixo do eixo O𝑥. Então, teremos que refletir todos estes pontos no eixo O𝑥 até aqui, tomar as versões positivas correspondentes destas coordenadas em 𝑦. Portanto, para o módulo de seis menos 𝑥, ignoramos a reta azul abaixo do eixo lá e refletimo-la no eixo O𝑥 aqui para cima, então o que estamos a fazer é tomar o simétrico de todas as coordenadas em 𝑦, isto é, o simétrico desta função 𝑦 igual a seis menos 𝑥. Assim, à esquerda de 𝑥 igual a seis, estamos apenas a utilizar a reta 𝑦 igual a seis menos 𝑥, mas à direita temos 𝑦 igual a 𝑥 menos seis, o simétrico da outra.

Então agora sabemos como é o módulo de seis menos 𝑥. Vamos esboçar no nosso gráfico 𝑦 igual a dez, e queremos saber quando esta está acima desta. Então, novamente, vamos olhar para os pontos críticos onde se intersetam. Portanto, olhando para a esquerda destes dois primeiros, os módulos de seis menos 𝑥 estão representados apenas por 𝑦 igual a seis menos 𝑥 naquela região, então precisamos de colocar isto igual a dez.

E depois adicionarei 𝑥 a ambos os membros e depois subtrairei dez. Portanto, a coordenada em 𝑥 onde se intersetam é menos quatro. E no lado direito nesta região, 𝑦 é igual a 𝑥 menos seis informa-nos sobre esta reta e precisamos de a colocar igual a dez. Então, adicionarei seis aos dois membros para descobrir quanto é 𝑥. E 𝑥 é igual a dezasseis nesse caso, pelo que posso escrever dezasseis no meu gráfico, nos meus eixos.

Então, sabemos onde estas duas coisas são iguais; agora precisamos de olhar para a questão que está perguntar quando o módulo de seis menos 𝑥 é maior que dez. Portanto, este gráfico deve estar acima deste gráfico nos nossos eixos. Então, no ponto à esquerda aqui onde se intersetam, são iguais; e em qualquer parte à esquerda disto, o módulo de seis menos 𝑥 está acima de 𝑦 é igual a dez. E do lado direito, aqui é onde são iguais, e qualquer coisa à direita é onde o módulo ou o valor absoluto de seis menos 𝑥 é maior que 𝑦 igual a dez.

Então, pensando nos valores de 𝑥 que correspondem a estas regiões do gráfico, quando 𝑥 é menos quatro, isso é ótimo; as duas coisas são iguais. E em qualquer parte à esquerda disto, como ilustramos aqui, há uma boa região; é aí que nossa inequação é satisfeita. E depois, no lado direito, quando 𝑥 é dezasseis, esta é a região que procuramos; a inequação é satisfeita. E em qualquer parte à direita disto também está satisfeita. Então, acabamos com uma região não contínua: em qualquer parte até à inclusão ou à esquerda de menos quatro, em qualquer parte até à inclusão ou à direita de dezasseis. Então, podemos escrever isto como um par de inequações como esta.

E quando se trata de escrever isto na forma de intervalo, precisamos de escrever isto como a união de dois intervalos separados. Então, estamos a ir de menos infinito até o menos quatro e, depois, de dezasseis até infinito positivo. Bem, os infinitos sempre têm um parênteses redondo. E menos quatro está incluído nesta região, então colocamos um parênteses reto. E dezasseis está incluído, então colocamos um parênteses reto. E recordando que estas duas são regiões válidas, vamos uni-las. Então, esta é uma forma de representá-lo.

Agora, outra forma de representar isto é o facto de que, lembre-se de que estamos a pensar no eixo O𝑥 aqui, todos estes são os números reais na reta numérica. Então, podemos dizer que são todos os números reais menos esta região aqui entre menos quatro e dezasseis. Mas lembre-se, não queremos remover menos quatro, porque menos quatro fazem parte da região válida. Então, vou colocar um parênteses redondo para dizer que isto não está incluído no que estamos a tirar. Da mesma forma, para dezasseis, parênteses redondo diz que dezasseis não é o que estamos a tirar. E, novamente, eu poderia utilizar a notação de conjunto: temos o conjunto dos 𝑥, em que 𝑥 é real de modo que 𝑥 seja menor ou igual a menos quatro negativo ou 𝑥 seja maior ou igual a dezasseis.

Portanto, para resolver inequações lineares de módulo, precisa realmente de pensar em como seria a reta sem módulo, depois ajustar o módulo e começar a observar onde as regiões do gráfico se sobrepõem ou estão acima ou abaixo de outras regiões. E depois tem várias formas diferentes de apresentar a sua resposta. Portanto, a dica principal é fazer sempre estes esboços e fazer estes gráficos, porque acho que realmente ajuda no seu pensamento e a comunicar o seu pensamento, além de ajudá-lo a evitar alguns erros tolos. Ok, boa sorte com suas inequações lineares com funções módulo.

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