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A Fórmula de Barrow
Neste vídeo, aprenderemos como aplicar a fórmula de Barrow e o que esta
nos diz sobre o valor dos integrais.
A fórmula de Barrow diz-nos que o integral de uma taxa de variação é
igual a uma diferença. Mas o que é que isso realmente significa? Matematicamente, podemos escrever isso da seguinte maneira. O integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐹 linha de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝐹 de
𝑏 menos 𝐹 de 𝑎. Vamos examinar cada um dos nossos termos. 𝐹 de 𝑥 é uma função. Isso significa que 𝐹 linha de 𝑥, que é a primeira derivada de 𝐹 de 𝑥,
pode ser pensada como a taxa de variação de 𝐹 de 𝑥.
Quando a integramos entre os limites 𝑎 e 𝑏, obtemos a nossa função
original calculada em 𝑏 menos a nossa função original calculada em
𝑎. Se pensarmos em 𝐹 𝑎 como o nosso valor inicial de 𝐹 e 𝐹 𝑏 como nosso
valor final de 𝐹, então começaremos a entender melhor que estamos a
observar a variação ou a diferença entre dois valores da nossa
função original. Se o nosso valor final 𝐹 𝑏 for maior que o nosso valor inicial 𝐹 𝑎,
veremos uma diferença positiva. E o contrário é verdadeiro se 𝐹 𝑏 for menor que 𝐹 𝑎.
Aqui fazemos uma rápida menção de que a fórmula de Barrow está
intimamente relacionada à segunda parte do teorema fundamental do
cálculo. Neste vídeo, podemos entrar em muitos detalhes, mas já deve estar
familiarizado com alguns dos conceitos envolvidos. Vejamos um exemplo para ter uma ideia da nossa fórmula.
Suponha que 𝐹 de 𝑡 seja igual a 𝑡 ao quadrado. Calcule o integral entre um e três de 𝐹 linha de 𝑡 em ordem a 𝑡
utilizando a fórmula de Barrow.
Nesta e em muitas outras questões, é sempre útil escrever o teorema que
utilizará. Aqui, temos a fórmula de Barrow. Embora a variável na nossa questão seja 𝑡 e a variável no teorema que
escrevemos seja 𝑥, as coisas aplicam-se exatamente da mesma
maneira. Tomamos o limite inferior de integração, ou 𝑎, como um e o limite
superior de integração, ou 𝑏, como três. Utilizando a nossa fórmula, podemos dizer que o integral entre um e três
de 𝐹 linha de 𝑡 em ordem a 𝑡 é igual a 𝐹 de três menos 𝐹 de
um.
Novamente, aqui estão os limites de integração que utilizámos. Observe que somos capazes de aplicar a nossa fórmula porque temos um
integral definido de uma derivada 𝐹 linha de 𝑡. E esta pode ser pensada como a taxa de variação de 𝐹 de 𝑡. Agora, a própria função 𝐹 de 𝑡 foi dada na questão. E é simplesmente 𝑡 quadrado. Podemos, portanto, calcular o segundo membro da nossa função como três ao
quadrado menos um ao quadrado. Claro, isto é nove menos um, que é simplesmente igual a oito. Após esta simplificação, respondemos à nossa questão. Utilizamos a fórmula de Barrow para calcular que o integral dado é igual
a oito.
Ok, agora que vimos um exemplo, voltemos à nossa fórmula para entender
melhor o que está a acontecer. Aqui, temos um gráfico de uma função 𝐹 de 𝑥. E em baixo, temos o gráfico correspondente de 𝐹 linha de 𝑥. Considerando o primeiro membro da fórmula de Barrow, o integral entre 𝑎
e 𝑏 de 𝐹 linha de 𝑥 em ordem a 𝑥 dá-nos a área sob esta
linha. A fórmula de Barrow diz-nos que isto nos dá a diferença entre o valor 𝐹
de 𝑏 e o valor 𝐹 de 𝑎.
Aqui, vemos que 𝐹 de 𝑏 é maior que 𝐹 de 𝑎. Portanto, esperamos que este seja um número positivo. E, é claro, sabemos que, ao observar os integrais, se vemos uma área
acima do eixo O𝑥, este é calculado como um número positivo, o que
concorda com o que vemos no gráfico correspondente. Juntar estas duas coisas dá-nos uma compreensão visual da fórmula de
Barrow.
Outro ponto interessante a ser observado é que a nossa quantidade 𝐹 pode
mudar nas duas direções entre 𝑎 e 𝑏. Aqui, vemos que, conforme avançamos do ponto 𝑎 para 𝑏, 𝐹 de 𝑥
primeiro decresce e depois cresce. O gráfico correspondente de 𝐹 linha pode ser parecido com isto. Novamente, realizando a nossa integração, vemos que temos uma pequena
área abaixo do eixo O𝑥, que seria calculada como negativa, e uma
área muito maior acima do eixo O𝑥, que seria calculada como
positiva. Novamente, isto corresponde às nossas expetativas observadas. Como 𝐹 de 𝑏 é maior que 𝐹 de 𝑎, esperamos que a nossa diferença seja
um número positivo.
Antes de prosseguirmos, vale a pena destacar alguns erros comuns
utilizando este exemplo gráfico. A fórmula de Barrow dá-nos apenas a diferença entre o valor 𝐹 de 𝑏 e o
valor 𝐹 de 𝑎. Não devemos confundir-nos e pensar que isso está apenas a dar-nos o valor
𝐹 de 𝑏, nem devemos tirar conclusões quanto ao comportamento da
nossa função entre os valores de 𝑎 e 𝑏. Por exemplo, uma diferença positiva não significa necessariamente que a
nossa função crescerá apenas entre 𝑎 e 𝑏. Vejamos outro exemplo que ilustra um possível erro.
Verdadeiro ou falso? Se ℎ de 𝑡 representa a taxa de variação da altura de um bebé em
centímetros por mês, quando tiver 𝑡 meses, o integral entre zero e
seis de ℎ de 𝑡 em ordem a 𝑡 é igual à altura do bebé quando tiver
seis meses.
Para esta pergunta, primeiro reconhecemos que recebemos uma função que
representa uma taxa de variação. Fomos então questionados sobre um integral definido que envolve esta taxa
de variação. Ao calcular integrais definidos de taxas de variação, a ferramenta que
utilizamos é a fórmula de Barrow. Agora, podemos estar acostumados a ver esta notação com linha no nosso
integral para nos dizer que esta é uma taxa de variação ou uma
derivada. Mas aqui, a questão diz-nos que a função ℎ de 𝑡 já é uma taxa de
variação de uma quantidade. Portanto, podemos definir 𝐻 maiúsculo de 𝑡 como a quantidade em si, a
altura do bebé aos 𝑡 meses de idade. Por outras palavras, é a primitiva de ℎ minúsculo de 𝑡.
Como a fórmula de Barrow utiliza a primitiva da taxa que estamos a
integrar, agora estamos em posição de formar uma equação. O integral apresentado na nossa questão é igual a 𝐻 maiúsculo de seis, a
altura do bebé aos seis meses de idade, menos 𝐻 maiúsculo de zero,
a altura do bebé aos zero meses de idade. Nesta altura, podemos reconhecer uma potencial armadilha na nossa
questão.
Ao ler a nossa questão pela primeira vez, podemos notar que nossa
integral tem um limite inferior a zero e um limite superior a
seis. Isto pode levar-nos a concluir que o nosso limite inferior pode ser
ignorado, pois é igual a zero. Concluiríamos, portanto, que o integral é realmente igual a 𝐻 de seis, a
altura do bebé aos seis meses de idade. E podemos pensar que a afirmação na questão é verdadeira.
Isso seria um erro. O nosso limite inferior não pode ser ignorado, pois 𝐻 de zero não é
igual a zero. 𝐻 de zero é na verdade a altura do bebé aos zero meses de idade, que é o
seu nascimento. Sabemos que, quando nasce, um bebé é muito pequeno, mas não tem altura
zero. De facto, o que o nosso integral nos dá é a diferença entre a altura do
bebé aos zero meses e a altura aos seis meses. Como acabámos de raciocinar que 𝐻 de zero não é igual a zero, esta
diferença não é a mesma que 𝐻 de seis. Isto significa que acabámos de provar que a resposta à nossa questão é
falsa.
O exemplo que acabamos de ver ilustra que a fórmula de Barrow pode ser
aplicada a muitos processos físicos. Um exemplo comum é a relação entre posição, velocidade e aceleração. Vamos imaginar um objeto que se move numa dimensão, digamos, ao longo do
eixo O𝑥. Podemos representar a sua posição num dado instante 𝑡 como a função 𝑥
de 𝑡. A sua velocidade é então a taxa de variação da sua posição em ordem ao
tempo. Por outras palavras, a velocidade é a derivada da posição em ordem ao
tempo. Da mesma forma, a aceleração é a taxa de variação de velocidade em ordem
ao tempo. Novamente, é uma derivada em ordem ao tempo.
Dadas estas relações, devemos, portanto, entender que a velocidade é a
primitiva da aceleração e a posição é a primitiva da velocidade. Como a fórmula de Barrow envolve uma função, que é uma taxa de variação e
a sua função primitiva, podemos, portanto, utilizá-la para calcular
integrais definidos que envolvem velocidade, dando-nos a diferença
entre as duas posições e integrais definidos que envolvem
aceleração, dando-nos a diferença entre duas velocidades. Vamos ver um exemplo disto.
Uma partícula está se move ao longo do eixo O𝑥. A sua velocidade em metros por segundo em função do tempo é 𝑣 de 𝑡
igual a seis 𝑡 ao quadrado menos oito 𝑡. Determine o deslocamento da partícula entre 𝑡 igual a um e 𝑡 igual a
cinco.
Para esta questão, a primeira coisa que podemos fazer é prestar atenção a
esta palavra, deslocamento. O deslocamento de uma partícula é a distância entre a sua posição final e
a sua posição inicial. Aqui, a nossa partícula está na sua posição inicial quando 𝑡 é igual a
um e na sua posição final quando 𝑡 é igual a cinco. Dado que a velocidade da partícula é definida como 𝑣 de 𝑡, vamos
definir a sua posição ao longo do eixo O𝑥 como 𝑥 de 𝑡. O deslocamento que estamos a tentar determinar é, portanto, 𝑥 de cinco,
a sua posição final, menos 𝑥 de um, a sua posição inicial.
Ok, agora, vamos relembrar a relação entre velocidade e posição. Se diferenciarmos a posição em relação ao tempo, obtemos velocidade. Poderíamos, de facto, representar a velocidade como 𝑥 linha de 𝑡. Fazer isso pode ajudar-nos a reconhecer que podemos determinar o nosso
deslocamento utilizando a fórmula de Barrow. Como a velocidade é a derivada da posição em ordem ao tempo, a fórmula de
Barrow permite-nos formar a seguinte equação.
O integral entre um e cinco de 𝑥 linha de 𝑡 em ordem a 𝑡 é igual a 𝑥
de cinco menos 𝑥 de um. E perceberemos que o segundo membro desta equação é exatamente o
deslocamento que precisamos. Obviamente, 𝑥 linha de 𝑡, que é a taxa de variação da posição em ordem
ao tempo, é a velocidade.
Agora, a questão deu-nos a função de velocidade, que é seis 𝑡 ao
quadrado menos oito 𝑡. Utilizando regras de integração, aumentamos cada um dos nossos expoentes
de 𝑡 uma unidade e dividimos pelo valor do novo expoente. Podemos então simplificar um pouco. Seis sobre três é dois. E oito sobre dois é quatro. Agora trabalhamos nos limites do nosso integral definido. Ao inserir estes limites, resta o seguinte.
E depois de algumas etapas de trabalho, resta a nossa resposta, que é de
152 metros. Finalmente, lembramos que o integral que acabámos de calcular é igual ao
deslocamento da partícula em metros entre 𝑡 igual a um e 𝑡 igual a
cinco. Isto significa que respondemos à nossa questão. E o deslocamento que estávamos à procura é de 152 metros.
Outra aplicação útil da fórmula de Barrow é determinar o valor de uma
função num determinado ponto quando certas informações estão
disponíveis. Podemos ver como isso funciona reorganizando a forma familiar da fórmula
de Barrow. Adicionando 𝐹 de 𝑎 a ambos os membros da equação, ficamos com 𝐹 de 𝑎
mais o nosso integral igual a 𝐹 de 𝑏. Esta forma da fórmula de Barrow pode ser utilizada quando tivermos o
valor de 𝐹 em 𝑥 igual a 𝑎 e temos a função 𝐹 linha de 𝑥, que é
a taxa de variação de 𝐹. Podemos utilizar estas duas informações para determinar o valor de 𝐹 em
𝑥 igual a 𝑏. E aqui, vale a pena notar que podemos escolher 𝑏 ser o que
quisermos.
Uma maneira de pensar sobre isto é: começamos com o valor de 𝐹 de 𝑎,
adicionamos a diferença de 𝐹 entre 𝑎 e 𝑏 e ficamos com 𝐹 de
𝑏. Uma frase logicamente equivalente à nossa primeira reorganização é a
seguinte. 𝐹 de 𝑏 menos o nosso integral é igual a 𝐹 de 𝑎. E, claro, isso faz sentido. 𝐹 de 𝑏 subtraído da diferença de 𝐹 entre 𝑎 e 𝑏 é igual a 𝐹 de
𝑎. Como mencionado, ambas são instruções equivalentes e podem ser utilizadas
para resolver os mesmos tipos de problemas.
No entanto, aqui sempre tratámos 𝐹 de 𝑎 como nosso valor inicial de 𝐹
e 𝐹 de 𝑏 como nosso valor final de 𝐹. Lembre-se de prestar atenção a isto, pois ditará o caminho que os limites
do seu integral seguirão. Vejamos um exemplo final que utiliza este rearranjo.
Um barril é enchido com água a uma taxa de 𝑏𝑡 igual a três 𝑡 ao
quadrado sobre quatro mais meio litro por dia, onde 𝑡 é o número de
dias. Dado que o barril contém 10 litros de água quando 𝑡 é igual a dois,
determine o volume de água no barril quando 𝑡 é igual a seis.
Para esta questão, somos informados de que um barril está cheio de água a
uma certa velocidade, 𝑏𝑡. Por outras palavras, 𝑏𝑡 é a taxa de variação da água no barril. Para avançar, vamos definir o volume de água no barril como 𝐵 maiúsculo
𝑡. Observe que o 𝐵 maiúsculo 𝑡 é a primitiva da nossa taxa de variação, 𝑏
minúsculo 𝑡. Agora, juntamente com a taxa de variação do volume de água num barril, a
questão deu-nos o próprio volume num instante de tempo conhecido,
neste caso quando 𝑡 é igual a dois. Foi-nos pedido que determinássemos o volume de água noutro instante de
tempo quando 𝑡 fosse igual a seis.
Com as informações que recebemos, podemos utilizar uma reorganização da
fórmula de Barrow. Vamos escrever as informações fornecidas na nossa questão desta
forma. A fórmula de Barrow nos diz que o integral entre dois e seis da taxa de
variação do volume de água no barril em ordem ao tempo é igual ao
volume de água no barril quando 𝑡 igual a seis subtraindo o volume
de água no barril quando 𝑡 é igual a dois.
Dada a relação entre 𝑏 minúsculo de 𝑡 e 𝐵 maiúsculo de 𝑡, podemos
escrever 𝑏 minúsculo de 𝑡 da seguinte maneira. Claro, é apenas a derivada de 𝑏 de 𝑡. Se substituirmos isto na nossa equação, veremos que temos duas
informações conhecidas e uma desconhecida. Vamos reorganizar esta equação para isolar o que estamos a tentar
determinar, 𝐵 maiúsculo de seis, num membro.
Adicionando 𝐵 maiúsculo de dois a ambos os membros, resta o
seguinte. Sabemos 𝐵 maiúsculo de dois. A quantidade de água no barril quando 𝑡 é igual a dois é de 10
litros. Também temos a função 𝑏 minúsculo de 𝑡. Então, vamos substituí-los na equação. Vamos parar e aproveitar este momento para entender a nossa equação. Se tomarmos a quantidade de água no barril quando 𝑡 igual a dois e
adicionarmos a quantidade de água que entra no barril entre 𝑡 igual
a dois e 𝑡 igual a seis, ficaremos com a quantidade de água no
barril quando 𝑡 é igual seis. Logicamente, isto deve fazer muito sentido para nós. Então, vamos continuar com os nossos cálculos.
Utilizando as regras de integração, aumentamos o expoente de 𝑡 uma
unidade e dividimos pelo valor novo expoente. Em seguida, inserimos os limites do nosso integral e continuamos a
simplificar. Com mais algumas etapas de simplificação, chegamos a uma resposta, que é
que 𝐵 maiúsculo de seis é igual a 64 litros. Obviamente, 𝐵 maiúsculo de seis é o volume de água no barril quando 𝑡 é
igual a seis. Então, ao chegar a esta linha, respondemos à nossa questão. Chegámos a essa resposta utilizando uma reorganização da fórmula de
Barrow e inserindo a taxa de variação e o valor conhecido dado na
questão.
Seguindo este exemplo final, vamos analisar alguns pontos-chave. Considerar um integral definido de uma taxa de variação dá-nos uma
diferença. E esta é expressa matematicamente pela fórmula de Barrow apresentada
aqui. A fórmula fornece-nos uma fórmula para calcular a variação que ocorre
entre algo que podemos interpretar como o valor inicial de 𝐹, 𝐹 de
𝑎 e algo que interpretamos como o valor final de 𝐹, 𝐹 de 𝑏. Fazemos isto utilizando a taxa de variação de 𝐹 em ordem a 𝑥, que é 𝐹
linha de 𝑥.
A fórmula de Barrow fornece-nos uma ferramenta útil para calcular muitos
sistemas físicos, como os que envolvem posição, velocidade e
aceleração, volume de um líquido e taxa de fluxo, ou talvez até
população e taxa de crescimento populacional. Finalmente, a fórmula de Barrow pode ser utilizada para determinar um
valor desconhecido de 𝐹. Isto pode ser feito quando tem o chamado valor inicial ou final de 𝐹 e
uma função para a taxa de variação de 𝐹 em ordem a 𝑥.
