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Vídeo da aula: Introdução ao Sistema de Equações Lineares Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como expressar um sistema de equações lineares como uma equação matricial.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como expressar um sistema de equações lineares como uma equação matricial. Primeiro, nos lembraremos de parte da terminologia de que precisaremos, por exemplo, o que significa uma equação ou sistema de equações ser linear. E então veremos como podemos expressar esses sistemas na forma de uma equação matricial com alguns exemplos.

Então, o que queremos dizer quando dizemos que uma equação é linear? A equação 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 é uma equação linear e descreve uma linha reta. O coeficiente angular da reta é a constante 𝑚, que é o gradiente, e a interceptação 𝑦 é a constante 𝑏. É aí que a linha cruza o eixo 𝑦. Portanto, a equação 𝑦 é igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 descreve uma linha reta.

Mas o que torna a própria equação linear? Bem, é que a ordem da equação, que é o maior expoente da variável 𝑥, é um. Não há 𝑥 ao quadrado, 𝑥 ao cubo ou expoentes mais altos de 𝑥. E assim, uma equação linear é uma equação em que o maior expoente da variável ou variáveis é igual a um. Em duas dimensões, isso descreve uma linha reta. Se estendermos essa ideia para dimensões mais altas, digamos três dimensões, teríamos algo da forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐𝑧 é igual a 𝑑, onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são constantes. Esta é uma equação linear que representa um plano em três dimensões.

E, novamente, o que torna essa equação linear é que cada uma das variáveis tem ordem um. Ou seja, sua maior potência na equação é um. Também não há termos onde as variáveis se multiplicam, portanto não há termos que incluam 𝑥 vezes 𝑦 ou 𝑧 vezes 𝑥 ou 𝑦 vezes 𝑧. Podemos dizer então que uma equação linear descreve uma linha plana ou superfície. E um sistema de equações lineares é um conjunto de 𝑚 equações com 𝑛 variáveis, coeficientes constantes 𝑎 𝑖𝑗 onde 𝑖 vai de um para 𝑚 e 𝑗 vai de um para 𝑛 e um conjunto de constantes 𝑏 𝑖. E nosso objetivo aqui é escrever esse sistema de equações em termos de matrizes.

Um sistema de equações lineares pode ou não ter uma ou mais soluções. Então, por exemplo, se nossas variáveis forem 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e tivermos um sistema de três equações nessas três variáveis, a solução para essas três equações é 𝑥 é igual a um, 𝑦 é igual a menos um e 𝑧 é igual a um. E o que isso significa é que esses três valores satisfazem todas as três equações. Então, se substituirmos 𝑥 é igual a um em cada uma dessas equações, 𝑦 é igual a menos um em cada uma dessas equações e 𝑧 é igual a um, a equação um será avaliada como menos um, a equação dois será calculada para cinco, e a equação três será calculada para seis. E isso significa que os três planos descritos pelas equações um, dois e três se cruzarão neste ponto, um, menos um, um.

Se temos um sistema de equações lineares, basicamente queremos descobrir se existem soluções, quantas - se houver - e como podemos encontrá-las. E como podemos usar métodos matriciais para responder a essas perguntas, uma ferramenta útil em nosso arsenal é ser capaz de expressar sistemas de equações lineares como equações matriciais e vice-versa. Nos exemplos a seguir, vamos nos familiarizar com esses processos. Vejamos primeiro um exemplo de um conjunto de um sistema de duas equações em duas variáveis.

Expresse o sistema de equações três 𝑥 mais dois 𝑦 é igual a 12 e três 𝑥 mais 𝑦 é igual a sete como uma equação matricial.

Então, recebemos um sistema de duas equações em duas variáveis e é solicitado que expressemos esse sistema de equações em forma de matriz. E o que isso requer que façamos é separar os coeficientes de nossas variáveis em uma matriz e as próprias variáveis em outra e as constantes do lado direito em uma terceira. E como temos duas equações em duas variáveis 𝑥 e 𝑦, nossa matriz de coeficientes será uma matriz dois por dois, ou seja, com duas linhas e duas colunas. Nossa matriz de variáveis será uma matriz de coluna dois por um, e nossas constantes novamente, uma matriz de coluna de dois por um.

É importante notar que devemos ser capazes de reformar nossas equações originais executando a multiplicação de matrizes no lado esquerdo. E lembre-se de que multiplicar uma matriz com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas por uma matriz com 𝑛 linhas e 𝑝 colunas nos dará uma matriz com 𝑚 linhas e 𝑝 colunas. E para que a multiplicação de matrizes funcione, o número de colunas 𝑛 em nossa primeira matriz deve ser o número de linhas na segunda matriz.

Então, agora queremos encontrar a equação matricial nesta forma que, se multiplicarmos, reproduz nosso sistema original de equações. Então, vamos examinar mais de perto nossas equações. É importante certificar-se de que, antes de começarmos a colocar entradas em nossa matriz, as variáveis estejam alinhadas em nosso sistema de equações, de modo que os 𝑥s estejam acima um do outro e os 𝑦s também. A razão para isso é que, quando povoamos nossa matriz, vamos ler os coeficientes dos 𝑥s e 𝑦s.

Nossos coeficientes na primeira equação, equação um, são três e dois com a constante 12 no lado direito e os três e dois da primeira linha em nossa matriz de coeficientes e o 12, o primeiro elemento em nossa matriz no lado direito. Da mesma forma, os elementos da segunda linha de nossa matriz de coeficientes são os coeficientes da segunda equação, equação dois, ou seja, três e um. E o segundo elemento em nossa matriz de constantes do lado direito é sete. Esta equação matricial é a representação matricial completa do sistema de equações três 𝑥 mais dois 𝑦 é igual a 12 e três 𝑥 mais 𝑦 é igual a sete.

Se aplicássemos a multiplicação de matrizes ao lado esquerdo da nossa equação matricial, teríamos três 𝑥 mais dois 𝑦 é igual a 12, que é a nossa primeira equação, e três 𝑥 mais 𝑦 é igual a sete, que é nossa segunda equação. E estamos de volta ao nosso sistema original de equações lineares.

Agora vamos ver o exemplo um pouco menos direto.

Expresse o sistema de equações três 𝑥 menos 24 é menos oito 𝑦 e 𝑥 é igual a três menos 𝑦 como uma equação matricial.

Recebemos um sistema de equações lineares três 𝑥 menos 24 é menos oito 𝑦 e 𝑥 é igual a três menos 𝑦, que nos é pedido para expressar como uma equação matricial. Como temos duas equações em duas variáveis 𝑥 e 𝑦, isso significa que nosso resultado deve ser uma equação matricial da forma mostrada, ou seja, uma matriz dois por dois de coeficientes, uma matriz dois por um das variáveis, e uma matriz dois por um das constantes, lembrando que uma matriz 𝑚 por 𝑛 tem 𝑚 linhas e 𝑛 colunas. Portanto, no nosso caso, devemos ter uma matriz dois por dois multiplicando uma matriz dois por um igual a uma matriz dois por um.

Lembre-se de que para que a multiplicação de matrizes funcione, precisamos de uma matriz 𝑚 por 𝑛 multiplicando uma matriz 𝑛 por 𝑝 para igualar e uma matriz 𝑚 por 𝑝. O número de colunas da primeira matriz e o número de linhas da segunda devem ser iguais. E nossa matriz resultante terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. E isso funciona no nosso caso, uma vez que nosso 𝑛 é igual a dois, 𝑚 é dois e 𝑝 é um. E assim nosso resultado será uma matriz de coluna dois por um.

Antes de podermos preencher nossas matrizes, no entanto, precisamos nos certificar de que nosso sistema de equações tenham uma forma na qual possamos ler facilmente os coeficientes. O que isso significa é que queremos que nossos 𝑥s estejam alinhados e nossos 𝑦s estejam alinhados e nossas constantes no lado direito. Como podemos ver em nossas equações, por exemplo, na equação um temos três 𝑥 menos 24 é menos oito 𝑦. Então, precisaremos mover nosso termo 𝑦 para o lado esquerdo e nosso termo constante para o lado direito. E se adicionarmos oito 𝑦 mais 24 a ambos os lados, nossa equação um se torna três 𝑥 mais oito 𝑦 é igual a 24.

Da mesma forma, para a nossa segunda equação dois, precisamos mover o termo 𝑦 para o lado esquerdo. Adicionando 𝑦 a ambos os lados dá 𝑥 mais 𝑦 é igual a três. E assim, como podemos ver, tanto nossos termos 𝑥 quanto nossos termos no lado esquerdo e nossas constantes no lado direito estão alinhados verticalmente. Então, agora abrindo espaço, podemos começar a preencher nossa equação matricial.

Os coeficientes de 𝑥 e 𝑦, que são três e oito, formam a primeira linha de nossa matriz de coeficientes dois por dois. E a constante 24 no lado direito é o primeiro elemento em nossa matriz coluna do lado direito. Os coeficientes de 𝑥 e 𝑦 na segunda equação, que são ambos um, formam a segunda linha de nossa matriz de coeficientes. E a constante três no lado direito da equação dois é o segundo elemento em nossa matriz coluna do lado direito. Assim, podemos ver que, alinhando nossas variáveis 𝑥 e 𝑦, podemos simplesmente ler os coeficientes e preencher nossa matriz com eles.

E esta equação matricial é a representação matricial completa do sistema de equações três 𝑥 mais oito 𝑦 é 24 e 𝑥 mais 𝑦 é três, ou equivalentemente três 𝑥 menos 24 é menos oito 𝑦 e 𝑥 é igual a três menos 𝑦. Se aplicássemos a multiplicação matricial ao lado esquerdo da nossa equação matricial, teríamos três 𝑥 mais oito 𝑦 é 24, que é a nossa primeira equação recuperada, e 𝑥 mais 𝑦 é igual a três, que é a nossa segunda equação.

Podemos generalizar o que fizemos em nossos exemplos dois por dois com o seguinte teorema. Um sistema de 𝑚 equações lineares nas variáveis 𝑥 um a 𝑥 𝑛 com coeficientes 𝑎 𝑖𝑗 e constantes 𝑏 𝑖, onde 𝑖 assume valores de um a 𝑚 e 𝑗 assume valores de um a 𝑛, pode ser escrito equivalentemente como a equação matricial mostrada, onde a matriz de coeficientes tem ordem 𝑚 por 𝑛, a matriz de variáveis tem ordem 𝑛 por um e a matriz de constantes do lado direito tem ordem 𝑚 por um. É importante ao converter nosso sistema de equações 𝑚 em variáveis 𝑛 que as ordens em nossa equação matricial sigam esse padrão. Vamos ver agora como isso funciona para um conjunto de três equações com três incógnitas. E então vamos tentar o processo ao contrário.

Expresse o seguinte sistema de equações como uma equação matricial. Sete 𝑥 menos três 𝑦 mais seis 𝑧 é igual a cinco. Cinco 𝑥 menos dois 𝑦 mais dois 𝑧 é igual a 11. Dois 𝑥 menos três 𝑦 mais oito 𝑧 é igual a 10.

Como temos um conjunto de três equações com três variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧, para expressar isso em forma de matriz, teremos uma matriz de coeficientes de três por três. Nossa equação matricial terá a forma mostrada, onde a matriz do lado esquerdo é a matriz de coeficientes. Isso multiplica a matriz coluna de nossas variáveis. E do lado direito, temos uma matriz coluna das constantes. E se usarmos a multiplicação de matrizes no lado esquerdo, recuperamos nosso conjunto original de equações.

A primeira coisa que podemos fazer é verificar se dentro do nosso sistema de equações, as variáveis estão alinhadas verticalmente. Isso nos permite ler facilmente nossos coeficientes. No nosso caso, as variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧 estão de fato alinhadas verticalmente nas três equações, assim como as constantes do lado direito. Então estamos prontos para ir.

Em nossa primeira equação, equação um, os coeficientes de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 - ou seja, sete, menos três e seis - formam a primeira linha de nossa matriz de coeficientes. E o cinco associado no lado direito é o primeiro elemento em nossa coluna de constantes. Da mesma forma, os coeficientes de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 na segunda equação, equação dois - que são cinco, menos dois e dois - formam a segunda linha de nossa matriz de coeficientes. E a constante do lado direito 11 é o segundo elemento em nossa matriz coluna do lado direito. E, finalmente, os coeficientes de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 em nossa terceira equação, equação três - ou seja, dois, menos três e oito - formam a terceira linha de nossa matriz de coeficientes. E a constante final no lado direito 10 é o terceiro elemento em nossa matriz coluna do lado direito.

Esta é uma representação matricial completa do sistema de equações lineares sete 𝑥 menos três 𝑦 mais seis 𝑧 é igual a cinco, cinco 𝑥 menos dois 𝑦 mais dois 𝑧 é igual a 11 e dois 𝑥 menos três 𝑦 mais oito 𝑧 é igual a 10 Observe as ordens de nossas matrizes onde temos uma matriz três por três vezes uma matriz três por um igual a uma matriz três por um. É importante que as ordens estejam corretas, pois podemos realizar a multiplicação de matrizes se tivermos uma 𝑚 por 𝑛 multiplicando uma matriz 𝑛 por 𝑝 igual a uma matriz 𝑛 por 𝑝. O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. E a ordem da matriz resultante é o número de linhas da primeira matriz vezes o número de colunas da segunda.

No nosso caso, 𝑚 é três, 𝑛 é três e 𝑝 é um. E se realizarmos a multiplicação de matrizes em nosso lado esquerdo, obtemos nosso conjunto original de equações.

Até agora, vimos como expressar conjuntos de equações lineares na forma de equação matricial. A matriz que mais nos interessa é a matriz de coeficientes, pois a partir dela podemos determinar, entre outras coisas, se e se sim, quantas soluções existem para o nosso sistema. Em nossos próximos exemplos, vamos trabalhar para trás a partir da forma de equação matricial e converter isso em nosso sistema de equações lineares.

Escreva o sistema de equações que podem ser resolvidas usando a equação matricial dada, ou seja, a matriz três por três com os elementos um, menos dois, menos quatro, um, zero, um, três, quatro, menos oito multiplicados pela matriz da coluna 𝑝, 𝑞, 𝑟 é igual à matriz coluna 11, seis, 10.

Recebemos uma equação matricial com uma matriz de coeficiente de três por três e uma matriz coluna de três por um de variáveis no lado esquerdo e uma matriz coluna de três por um de constantes no lado direito. O fato de nossa matriz de coeficientes ter três linhas significa que teremos três equações em nosso sistema de equações. E como a matriz de coeficientes também tem três colunas, isso confirma que nosso sistema possui três variáveis, que podemos ver em nossa matriz coluna de variáveis com as variáveis 𝑝, 𝑞 e 𝑟.

Na verdade, os elementos em cada linha de nossa matriz de coeficientes são os coeficientes em uma de nossas equações das variáveis 𝑝, 𝑞 e 𝑟. E tudo o que precisamos fazer para formar a primeira equação é realizar a operação da primeira linha vezes coluna na multiplicação de matrizes, ou seja, uma vez 𝑝 mais menos 𝑞 vezes dois mais menos quatro vezes 𝑟. E isso será igual à nossa constante 11 na primeira linha da matriz do lado direito. E assim nossa primeira equação é 𝑝 menos dois 𝑞 menos quatro 𝑟 é igual a 11.

Então, para a nossa segunda equação, vamos fazer o mesmo com a segunda linha da matriz de coeficientes. Nesse caso, temos um vezes 𝑝 mais zero vezes 𝑞 mais um vezes 𝑟 é igual a seis. Ou seja, 𝑝 mais 𝑟 é igual a seis. E, finalmente, com a terceira linha da nossa matriz de coeficientes, temos três vezes 𝑝 mais quatro vezes 𝑞 mais menos oito vezes 𝑟 é igual a 10 no lado direito. Ou seja, três 𝑝 mais quatro 𝑞 menos oito 𝑟 é igual a 10.

E com essas três equações, então, podemos escrever o sistema de equações que poderiam ser resolvidas usando a matriz dada. E estes são 𝑝 menos dois 𝑞 menos quatro 𝑟 é igual a 11, 𝑝 mais 𝑟 é igual a seis e três 𝑝 mais quatro 𝑞 menos oito 𝑟 é igual a 10. Podemos verificar se temos o sistema de equações correto comparando os coeficientes das variáveis em cada equação com a linha relevante na matriz original. Então, por exemplo, na primeira equação, os coeficientes de 𝑝, 𝑞 e 𝑟 são um, menos dois e menos quatro, respectivamente, que correspondem aos elementos na primeira linha de nossa matriz de coeficientes e com a constante 11 na lado direito. E podemos fazer o mesmo para as duas segundas equações.

Vamos completar nosso vídeo sobre sistemas de equações lineares observando alguns pontos-chave. Quando dado um sistema de equações lineares, devemos escrevê-lo com as variáveis alinhadas em colunas. Os coeficientes 𝑎 𝑖𝑗 das variáveis em cada equação formam uma linha da matriz de coeficientes. A equação matricial é então da forma dada, onde os coeficientes formam uma matriz 𝑚 por 𝑛 que multiplica uma matriz de variáveis 𝑛 por um e é igual a uma matriz de constantes 𝑚 por um.

Informações como o número de soluções para o sistema podem ser encontradas na matriz de coeficientes de forma independente. E se realizarmos a multiplicação de matrizes no lado esquerdo de nossa equação matricial, recuperamos nosso sistema original de equações lineares.

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