Vídeo: Resolvendo Equações Quadráticas com Raízes Complexas

Neste vídeo, aprenderemos a resolver equações quadráticas cujas raízes são números complexos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a resolver equações quadráticas cujas raízes são números complexos. Começaremos aprendendo como resolver equações simples que têm soluções complexas e, então, observar o que a introdução do conjunto de números complexos faz com nossa compreensão da fórmula quadrática e do discriminante. Por fim, aprenderemos a reconstruir uma equação quadrática dada uma raiz complexa.

Durante nossa exploração do conceito de número, nos depararemos com equações que não têm soluções ou pelo menos aquelas que supomos não ter soluções reais. No entanto, a introdução do conjunto de números complexos abre um novo mundo quando se trata desses tipos de equações.

Vamos considerar a equação dois 𝑥 ao quadrado é igual a menos oito. Para resolver essa equação, começamos dividindo por dois. Isso nos diz que 𝑥 ao quadrado é igual a menos quatro. Nós então faremos a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

No passado, poderíamos ter dito que essa equação, cuja solução é encontrada calculando a raiz quadrada de um número negativo, na verdade não tem nenhuma solução real. E, claro, essa afirmação seria totalmente correta. No entanto, não estamos mais lidando apenas com números reais. Agora temos o número imaginário definido. E lembramos que estes giram em torno da letra 𝑖, onde 𝑖 é definido como a solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um. Mas muitas vezes dizemos que 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um. E isso significa que agora podemos resolver nossa equação encontrando a raiz quadrada de menos quatro.

Para encontrar a raiz quadrada de um número negativo, dividimos. Assim, por exemplo, a raiz quadrada de menos 𝑎 é ​​a mesma que a raiz quadrada de 𝑎 multiplicada por menos um, que por sua vez é igual à raiz quadrada de 𝑎 multiplicada pela raiz quadrada de menos um. E como a raiz quadrada de menos um é 𝑖, vemos que a raiz quadrada de menos 𝑎 é ​​a mesma que 𝑖 raiz de 𝑎. Neste exemplo, 𝑥 é igual a mais ou menos 𝑖 raiz de quatro. E, claro, a raiz quadrada de quatro é dois. E vemos que a equação dois 𝑥 ao quadrado é igual a menos oito tem duas soluções: dois 𝑖 e menos dois 𝑖. Vamos considerar outra equação que anteriormente não conseguiríamos resolver.

Resolva a equação cinco 𝑥 ao quadrado mais um igual a menos 319.

Podemos começar resolvendo essa equação da mesma forma que qualquer outra, executando uma série de operações inversas. Começaremos subtraindo um dos dois lados da equação. Cinco 𝑥 ao quadrado mais um menos um é simplesmente cinco 𝑥 ao quadrado. E menos 319 menos um é menos 320.

Em seguida, nos dividimos por cinco. E vemos que 𝑥 ao quadrado é igual a menos 64. Nosso passo final é encontrar a raiz quadrada de ambos os lados da equação. A raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado é 𝑥. E lembre-se, podemos tomar as raízes positivas e negativas de menos 64. E vemos que 𝑥 é igual a mais ou menos a raiz quadrada de menos 64.

Neste ponto, optamos por reescrever menos 64 como 64 multiplicado por menos um. E então vemos que a raiz quadrada de menos 64 é a mesma que a raiz quadrada de 64 multiplicada pela raiz quadrada de menos um. A raiz quadrada de menos um é 𝑖, e a raiz quadrada de 64 é oito. E nós terminamos de resolver nossa equação. 𝑥 tem duas soluções. São oito 𝑖 e menos oito 𝑖.

Agora, de fato, podemos aplicar os métodos usuais para resolver equações para nos ajudar a resolver qualquer equação com raízes não reais. No caso de uma equação quadrática, poderíamos lutar para fatorar uma expressão quadrática. Mas podemos aplicar os outros dois métodos nos quais estamos confiantes. Eles são a fórmula quadrática e completar o quadrado. E há vantagens e desvantagens para ambos.

A fórmula quadrática pode ser um pouco mais agradável de se trabalhar quando o coeficiente de 𝑥 ao quadrado não é igual a um. E veremos em breve que podemos usar parte da fórmula para nos ajudar a encontrar a natureza e o número de raízes da equação. O método de completar quadrado pode ser bastante eficiente quando o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é igual a um.

Agora é uma preferência muito pessoal. Usaremos a fórmula quadrática principalmente ao longo deste vídeo. Então, vamos examinar os dois métodos durante o nosso próximo exemplo. Vamos nos lembrar da fórmula quadrática e do discriminante. Para uma equação quadrática dada como 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 é igual a zero, onde 𝑎 não é igual a zero, as raízes são dadas por 𝑥 igual a menos 𝑏 mais ou menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. E usamos o discriminante para descobrir a natureza das raízes da equação. É a parte da fórmula que fica dentro da raiz quadrada: 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐.

Faz sentido que, se o discriminante for maior que zero, a raiz quadrada do discriminante será um número real. E isso significa que haverá duas raízes reais para nossa equação. Se o valor do discriminante for igual a zero, haverá exatamente uma solução. Isso é conhecido como raiz repetida. Ocorre quando o ponto de virada da curva toca o eixo 𝑥 exatamente uma vez. E se o valor for menor que zero? Bem, vimos que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Então não há raízes reais. Isso significa que a curva não intercepta o eixo 𝑥. Vejamos um exemplo de uma equação quadrática com raízes não reais.

Resolva a equação quadrática 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito igual a zero. Antes de resolvermos essa equação, podemos, se quisermos, verificar novamente a natureza das raízes da equação encontrando o valor do discriminante. Lembre-se, o discriminante de uma equação da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero é dado pela fórmula 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐. E às vezes é denotado por esse pequeno triângulo.

Em nossa equação, 𝑎 é o coeficiente de 𝑥 ao quadrado. É um. 𝑏 é o coeficiente de 𝑥. Que é menos quatro. E 𝑐 é a constante. Que é oito. O discriminante da nossa equação é, portanto, menos quatro ao quadrado menos quatro multiplicado por um multiplicado por oito, que é menos 16.

Sabemos que se o discriminante for maior que zero, a equação tem duas raízes reais. Se for igual a zero, tem exatamente uma raiz real. E se for menor que zero, não tem raízes reais. Nosso discriminante é menor que zero. Portanto, a equação 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais oito igual a zero não tem raízes reais.

Sabendo que vamos obter duas raízes complexas, vamos resolver essa equação olhando primeiro para a fórmula quadrática. As soluções para a equação são encontradas por menos 𝑏 mais ou menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 tudo sobre dois 𝑎.

Nós já vimos que 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 em nosso exemplo é igual a menos 16. Assim, as soluções para nossa equação quadrática são dadas por menos menos quatro mais ou menos a raiz quadrada de menos 16 tudo sobre dois multiplicado por um. Isso simplifica para quatro mais ou menos a raiz quadrada de menos 16 tudo sobre dois.

E nesse estágio, vamos reescrever a raiz quadrada de menos 16 como a raiz quadrada de 16 multiplicada pela raiz quadrada de menos um. E isso é útil porque sabemos que a raiz quadrada de 16 é quatro e sabemos que a raiz quadrada de menos um é 𝑖. Então, 𝑥 é igual a quatro mais ou menos quatro 𝑖 tudo sobre dois. E nós podemos simplificar. E vemos que as soluções para a equação quadrática são 𝑥 igual a dois mais dois 𝑖 e 𝑥 é igual a dois menos dois 𝑖.

Agora, na verdade, este não é o único método para resolver essa equação. Nós poderíamos ter completado o quadrado. E isso é uma preferência muito pessoal em um exemplo como esse. Vamos ver como isso seria.

A primeira coisa que fazemos é reduzir pela metade o coeficiente de 𝑥. Metade de menos quatro é menos dois. Então escrevemos 𝑥 menos dois tudo ao quadrado. Agora, menos dois ao quadrado é quatro. Então, subtraímos esse quatro e adicionamos o valor de oito. E, claro, tudo isso é igual a zero.

Podemos simplificar um pouco nossa equação e obtemos 𝑥 menos dois tudo ao quadrado mais quatro igual a zero. Vamos resolver isso subtraindo quatro dos dois lados. E isso nos dá 𝑥 menos dois tudo ao quadrado é igual a menos quatro. Em seguida, encontraremos a raiz quadrada de ambos os lados dessa equação. A raiz quadrada de 𝑥 menos dois tudo ao quadrado é 𝑥 menos dois. E lembre-se, podemos calcular as raízes positivas e negativas de menos quatro. Então, vemos que 𝑥 menos dois é igual a mais ou menos a raiz quadrada de menos quatro.

Agora, usando o mesmo método anterior, podemos ver que a raiz quadrada de menos quatro é na verdade o mesmo que dois 𝑖. E podemos concluir essa solução adicionando dois a ambos os lados da equação. E mais uma vez, vemos as soluções para a nossa equação como sendo dois mais dois 𝑖 e dois menos dois 𝑖.

Na verdade, não é por acaso que as raízes da equação são complexos conjugados, uma da outra. Realmente faz muito sentido, especialmente dado o nosso segundo método de resolver, que isso é verdade para qualquer equação quadrática com raízes complexas.

Podemos dizer que as raízes não reais de uma equação quadrática com coeficientes reais ocorrem em pares de complexos conjugados. E há realmente uma pequena prova disso. Digamos que temos uma equação quadrática da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. Vamos deixar 𝛼 ser uma solução para essa equação. E dizemos que 𝛼 estrela é o complexo conjugado de 𝛼.

Vamos substituir este complexo conjugado em nossa equação. E quando o fazemos, temos 𝑎 multiplicado por 𝛼 estrela tudo ao quadrado mais 𝑏 multiplicado por 𝛼 estrela mais 𝑐. E aqui recordamos o fato de que, para quaisquer dois números complexos, o conjugado de seu produto é igual ao produto de seus conjugados. Isto significa que o quadrado do conjugado da nossa solução é igual ao conjugado do quadrado.

E vemos que a primeira parte se torna 𝑎 multiplicado por 𝛼 ao quadrado estrela. Como 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais — lembre-se, nossa equação quadrática tem coeficientes reais e também sabemos que o conjugado de um número real é apenas esse número — isso pode ser reescrito como mostrado. E, finalmente, lembramos o fato de que, para dois números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois, o conjugado de sua soma é igual à soma de seus conjugados. E vemos que 𝑓 de 𝛼 estrela é igual a 𝑎 multiplicado por 𝛼 ao quadrado mais 𝑏 multiplicado por 𝛼 mais 𝑐 estrela.

Agora já dissemos que 𝛼 é uma solução para a equação. Isso significa que 𝑎𝛼 estrela mais 𝑏𝛼 mais 𝑐 deve ser igual a zero. E nós, é claro, sabemos que o conjugado de zero é simplesmente zero. E nós vimos que desde que 𝑓 de 𝛼 estrela é igual a zero, 𝛼 estrela também deve ser uma solução para essa equação. E, de fato, isso é chamado de teorema da raiz complexa conjugada. E pode ser estendido para resolver polinômios. Vamos dar uma olhada em vários exemplos de onde esse teorema pode ser usado para resolver problemas envolvendo quadráticas.

Os números complexos 𝑎 mais 𝑏𝑖 e 𝑐 mais 𝑑𝑖, onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são números reais, são as raízes de uma equação quadrática com coeficientes reais. Dado que 𝑏 não é igual a zero, quais condições, se houver, devem 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 satisfazer?

Nesta questão, somos informados de que 𝑎 mais 𝑏𝑖 e 𝑐 mais 𝑑𝑖 são raízes de nossa equação quadrática com coeficientes reais. Essa equação normalmente teria o formato 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero, embora 𝑎, 𝑏 e 𝑐 não devam ser confundidos com as letras 𝑎, 𝑏 e 𝑐 em nossos números complexos. Então, vamos reescrever isso como 𝑝𝑥 ao quadrado mais 𝑞𝑥 mais 𝑟 é igual a zero.

Agora sabemos que as raízes não reais de uma equação quadrática com coeficientes reais ocorrem em pares complexos conjugados. E lembre-se, para encontrar o conjugado, mudamos o sinal da parte imaginária. Então o conjugado de 𝑎 mais 𝑏𝑖 é 𝑎 menos 𝑏𝑖. E 𝑎 mais 𝑏𝑖 e 𝑐 mais 𝑑𝑖 devem ser complexos conjugados um do outro por este teorema. Isto significa que o conjugado de 𝑎 mais 𝑏𝑖 deve ser igual a 𝑐 mais 𝑑𝑖. Então dizemos que 𝑎 menos 𝑏𝑖 é igual a 𝑐 mais 𝑑𝑖.

E para dois números complexos serem iguais, suas partes reais devem ser iguais. Então, aqui nós igualamos 𝑎 e 𝑐. Mas suas partes imaginárias também devem ser iguais. Então, nós igualamos as partes imaginárias. E vemos que menos 𝑏 é igual a 𝑑. Portanto, as condições que 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 devem satisfazer aqui é que 𝑎 deve ser igual a 𝑐 e menos 𝑏 deve ser igual a 𝑑. Desta vez, vamos usar nosso conhecimento da natureza das raízes complexas das equações quadráticas para reconstruir uma equação dada uma de suas raízes.

Encontre a equação quadrática com coeficientes reais que tem cinco mais 𝑖 como uma de suas raízes.

Foi dito que cinco mais 𝑖 é uma raiz da equação quadrática. E lembre-se, sabemos que as raízes não reais de uma equação quadrática que possui coeficientes reais ocorrem em pares complexos conjugados. Para encontrar o complexo conjugado, mudamos o sinal da parte imaginária. E podemos, portanto, ver que as raízes de nossa equação são cinco mais 𝑖 e cinco menos 𝑖. E isso significa que nossa equação quadrática é da forma 𝑥 menos cinco mais 𝑖 multiplicada por 𝑥 menos cinco menos 𝑖 é igual a zero. E isso vem do fato de que quando resolvemos uma equação quadrática por fatoração, igualamos cada expressão dentro dos parênteses a zero.

Portanto, nesse caso, teríamos 𝑥 menos cinco mais 𝑖 igual a zero e 𝑥 menos cinco menos 𝑖 igual a zero. Nós resolveríamos essa primeira equação adicionando cinco mais 𝑖 a ambos os lados. E vemos que 𝑥 é igual a cinco mais 𝑖. E nós resolvemos a segunda equação adicionando cinco menos 𝑖 para ambos os lados. E nós temos a segunda raiz 𝑥 igual a cinco menos 𝑖.

Vamos precisar distribuir esses parênteses. Vamos usar o método da grade aqui, pois há vários fragmentos que podem nos enganar. 𝑥 multiplicado por 𝑥 é 𝑥 ao quadrado. 𝑥 multiplicado por menos cinco mais 𝑖 é menos 𝑥 cinco mais 𝑖. Da mesma forma, temos menos 𝑥 multiplicado por cinco menos 𝑖. E menos cinco mais 𝑖 multiplicado por menos cinco menos 𝑖 nos dão cinco menos 𝑖 multiplicado por cinco mais 𝑖. E nós distribuiremos esses colchetes usando o método PEIU.

Multiplicar o primeiro termo no primeiro parêntese pelo primeiro termo no segundo parêntese nos dá 25. Multiplicamos os dois termos externos — que é cinco 𝑖 — e os dois termos internos — que é menos cinco 𝑖. E cinco 𝑖 menos cinco 𝑖 é zero. Então, esses cancelam um ao outro. E então nós multiplicamos os últimos termos. Menos 𝑖 multiplicado por 𝑖 é menos 𝑖 ao quadrado. E como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, vemos que esses parênteses distribuídos são 25 menos menos um, que é igual a 26. Portanto, nossa equação quadrática está atualmente na forma 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 multiplicado por cinco mais 𝑖 menos 𝑥 multiplicado por cinco menos 𝑖 mais 26.

Nós agrupamos termos semelhantes. E temos 𝑥 ao quadrado menos cinco mais 𝑖 mais cinco menos 𝑖 multiplicado por 𝑥 mais 26. 𝑖 menos 𝑖 é zero. E ficamos com 𝑥 ao quadrado menos 10𝑥 mais 26 é igual a zero.

Agora, na verdade, existe uma fórmula que podemos usar para nos poupar algum tempo. Se temos uma equação quadrática com raízes reais e uma solução compacta 𝑎 mais 𝑏𝑖, a equação dessa quadrática é 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑎𝑥 mais 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado igual a zero. 𝑎 é a parte real da solução. Aqui é cinco. E 𝑏 é a parte imaginária. Na nossa solução, isso é um.

Podemos substituir o que sabemos sobre o nosso número complexo na fórmula. E temos 𝑥 ao quadrado menos duas vezes cinco vezes 𝑥 mais cinco ao quadrado mais um ao quadrado. Duas vezes cinco é 10, e cinco ao quadrado mais um ao quadrado é 26. E vemos mais uma vez que temos a mesma equação quadrática. E devemos ser capazes de ver agora por que esse método pode economizar muito tempo.

Neste vídeo, aprendemos que podemos usar a fórmula quadrática ou completar o quadrado para resolver equações com raízes não reais, dando nossas respostas como números complexos. Também vimos que essas soluções ocorrem em pares complexos conjugados. E também aprendemos que podemos reconstruir uma equação quadrática dada uma de suas soluções complexas. Se a solução é 𝑎 mais 𝑏𝑖, a equação quadrática é 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑎𝑥 mais 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado igual a zero.

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