Vídeo: Encontrando uma Progressão Geométrica Dado o Valor de Dois Termos

Encontre a progressão geométrica onde 𝑇₁ = 500 e 𝑇₃ = 125.

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Transcrição do vídeo

Encontre a progressão geométrica onde 𝑇 um, o primeiro termo, é igual a 500 e 𝑇 três, o terceiro termo, é igual a 125.

Em qualquer progressão geométrica, 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão comum. A razão comum é o número que multiplicamos para ir do primeiro para o segundo termo, também do segundo para o terceiro, e assim por diante. Isto significa que quando o primeiro termo é 𝑎, o segundo termo será 𝑎 multiplicado por 𝑟. O terceiro termo será 𝑎 multiplicado por 𝑟 ao quadrado. Esse padrão nos leva à fórmula geral do 𝑛-ésimo termo, ou 𝑇𝑛, de 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos um.

Nessa pergunta específica, fomos informados de que o primeiro termo, 𝑇 um, era igual a 500. Isso significa que 𝑎 é igual a 500. Também nos foi dito que o terceiro termo, 𝑇 três, era igual a 125. Portanto, 𝑎𝑟 ao quadrado é igual a 125. Como já sabemos qual é o primeiro termo, nosso próximo passo é calcular a razão comum. Se substituirmos 𝑎 é igual a 500 na equação dois, terminamos com a equação 500 𝑟 ao quadrado igual a 125. Dividindo ambos os lados da equação por 500, obtemos 𝑟 ao quadrado igual a 0.25, pois 125 dividido por 500 é um quarto ou 0.25. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados desta equação dá duas respostas possíveis para 𝑟. 𝑟 pode ser mais 0.5 ou menos 0.5. Isso ocorre porque mais 0.5 multiplicado por mais 0.5 é 0.25. Da mesma forma, menos 0.5 multiplicado por menos 0.5 também é igual a 0.25.

Como encontramos dois valores possíveis de 𝑟, há duas sequências possíveis, com um primeiro termo de 500 e um terceiro termo de 125. Primeiramente, quando 𝑟 é igual a 0.5, os três primeiros termos de nossa progressão geométrica são 500, 250 e 125. Isso ocorre porque 500 multiplicado por 0.5 é 250. 250 multiplicado por 0.5 é 125. A segunda sequência possível, quando 𝑟 é igual a menos 0.5, tem três termos: 500, menos 250, 125. Isso porque 500 multiplicado por menos 0.5 é menos 250. Menos 250 multiplicado por menos 0.5 é mais 125. Isto confirma que existem duas progressões geométricas possíveis com o primeiro termo 500 e terceiro termo 125.

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