Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como usar as somas de Riemann à direita, à esquerda e ponto
médio para aproximar numericamente as integrais definidas. Até esse estágio, você provavelmente estimou a área entre a curva e o eixo 𝑥
dividindo-se em retângulos e encontrando a soma combinada. Agora, veremos como esse processo está vinculado ao cálculo e como ele pode nos
ajudar a aproximar numericamente as integrais definidas.
Suponha que procuremos encontrar a área entre a curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, o eixo 𝑥
e as retas verticais, denotadas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏. A região pode parecer um pouco com a mostrada, embora seja possível que os valores da
função também sejam positivos e negativos. As somas de Riemann nos dão uma aproximação dessa área dividindo-a em retângulos de
tamanho igual. As alturas desses retângulos serão dadas pelo valor da função no ponto final esquerdo
de cada intervalo. Essa é uma soma Riemann à esquerda, o ponto final à direita para uma soma de Riemann
à direita, ou o ponto médio de cada intervalo.
As fórmulas para as somas de Riemann à direita e à esquerda são mostradas. E lembre-se, quando escrevemos uma soma de Riemann à direita, levamos valores de
𝑖 de um a 𝑛. E quando escrevemos uma soma de Riemann à esquerda, assumimos valores de 𝑖 de zero a
𝑛 menos um. E isso nos dá o valor de 𝑓 no ponto final à esquerda de cada retângulo. Agora, aqui, Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛. 𝑎 e 𝑏 são os pontos inicial e final do intervalo e 𝑛 é o número de subintervalos,
ou seja, o número de retângulos nos quais estamos dividindo a região. Então, 𝑥𝑖 parece um pouco confuso. Mas é 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥. Em outras palavras, começamos no limite inferior do nosso intervalo. E adicionamos repetidamente Δ𝑥, a largura de cada retângulo.
Agora, vamos imaginar que estamos dividindo a região em, digamos, dois
retângulos. Aqui, escolhi a altura de cada retângulo como o valor da função do ponto final
esquerdo. Agora, segue-se que isso não nos dará uma estimativa muito boa para a área entre a
curva e o eixo 𝑥. Mas se formos dividir ainda mais em, digamos, quatro retângulos, nossa estimativa
estará mais próxima da área exata. E dividi-lo ainda mais em oito retângulos, por exemplo, e nossa estimativa seria
ainda mais próxima. De fato, à medida que o número de retângulos ou subintervalos, 𝑛, se aproxima do
infinito, a área aproximada se aproxima da área exata entre a curva e o eixo 𝑥.
Ao calcular somas de Riemann à direita, podemos dizer que a área 𝑎 da região que se
encontra sob o gráfico de uma função contínua 𝑓 é o limite quando 𝑛 se aproxima do
infinito da soma de Δ𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥𝑖 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. E ao calcular as somas de Riemann à esquerda, dizemos que a área da região que fica
sob o gráfico de uma função contínua 𝑓 é o limite da soma de Δ𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥𝑖
para valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um. De fato, em vez de usar pontos de extremidade à esquerda ou à direita, poderíamos até
considerar a altura do 𝑖-ésimo retângulo como o valor de 𝑓 em qualquer número 𝑥𝑖
estrela no décimo subintervalo de 𝑥𝑖 menos um a 𝑥𝑖. Lembre-se de 𝑥𝑖 estrela o ponto amostral. Nesse caso, podemos generalizar nossa fórmula, como mostrado.
Mas então, passamos a outra definição. E esta é a definição de uma integral definida. E você já deve ter visto isso antes. Se 𝑓 é uma função definida no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏, dividimos esse intervalo
em 𝑛 subintervalos de largura igual. Isso é Δ𝑥, onde 𝑥 zero, 𝑥 um, 𝑥 dois e assim por diante são as extremidades dos
subintervalos. Então, 𝑥 um estrela, 𝑥 dois estrela, até 𝑥𝑛 pontos amostrais nos subintervalos,
de modo que 𝑥𝑖 estrela se encontre no subintervalo 𝑖. Então, a integral definida de 𝑓 de 𝑎 a 𝑏 é o limite quando 𝑛 se aproxima de ∞ da
soma de Δ𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥𝑖 estrela para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Isso é claro, desde que esse limite exista e nos dê o mesmo valor para todas as
opções possíveis de pontos amostrais.
Mas espere um minuto! Acabamos de dizer que a área entre a curva de 𝑦 é igual a 𝑓 de 𝑥 e o eixo 𝑥 entre
𝑥 é igual a 𝑎 e 𝑥 é igual a 𝑏 é igual a esse limite. Portanto, isso deve significar que a integral definida entre os limites de 𝑎 e 𝑏 de
nossa função é a área exata. E isso é ótimo, porque sim, existem algumas funções que podemos integrar
facilmente. E, portanto, podemos calcular a integral definida para encontrar a área exata entre a
curva e o eixo 𝑥. Mas, se não pudermos, agora sabemos que podemos usar as somas de Riemann para ajudar
a aproximar isso.
Vamos ver como isso se parece.
A tabela mostra os valores de uma função obtida de um experimento. Estime a integral definida entre cinco e 17 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 usando três
subintervalos iguais com pontos de extremidade à esquerda.
Lembre-se, podemos estimar uma integral definida usando somas de Riemann. Nesse caso, estamos estimando a integral entre cinco e 17 de 𝑓 de 𝑥. Agora, realmente não importa que não sabemos qual é a função. Temos informações suficientes em nossa tabela para executar a soma de Riemann à
esquerda. A soma de Riemann à esquerda envolve tomar as alturas de nossos retângulos como o
valor da função na extremidade à esquerda do subintervalo. Queremos usar três subintervalos de tamanho igual. Então, vamos relembrar a fórmula que permite calcular o tamanho de cada subintervalo,
ou seja, as larguras do retângulo.
Δ𝑥 é igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, onde 𝑎 e 𝑏 são as extremidades do nosso
intervalo e 𝑛 é o número de subintervalos. No nosso caso, procuramos calcular a integral definida entre cinco e 17. Portanto, seja 𝑎 igual a cinco e 𝑏 igual a 17. E queremos três subintervalos iguais. Então, seja 𝑛 igual a três. Δ𝑥 é então 17 menos cinco todos divididos por três, que são simplesmente quatro. Então, ao escrever uma soma de Riemann à esquerda, tomamos valores de 𝑖 de zero a 𝑛
menos um. É a soma de Δ𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥𝑖 para valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um. 𝑥𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥. Nesse caso, sabemos que 𝑎 é igual a cinco e Δ𝑥 é igual a quatro. Portanto, nosso valor 𝑥𝑖 é dado por cinco mais quatro 𝑖.
Bem, como usamos a soma de Riemann à esquerda, começamos deixando 𝑖 ser igual a
zero. Precisamos calcular 𝑥 zero. É cinco mais quatro vezes zero, o que é simplesmente cinco. Podemos encontrar 𝑓 de 𝑥 zero na nossa tabela. São menos três. Em seguida, seja 𝑖 igual a um. E temos que 𝑥 um seja cinco mais quatro vezes um, que é nove. Procuramos o valor de 𝑥 igual a nove em nossa tabela. E vemos que 𝑓 de nove é menos 0.6. Em seguida, seja 𝑖 igual a dois. E lembre-se, estamos procurando valores de 𝑖 até 𝑛 menos um. Bem, três menos um é dois. Portanto, este é o último valor de 𝑖 que estamos interessados. Desta vez, são cinco mais quatro vezes dois, que é 13. Nós procuramos 𝑥 é igual a 13 em nossa tabela. E temos que 𝑓 de 13 e 𝑓 de 𝑥 dois é 1.8.
Então, de acordo com a nossa fórmula de soma, encontramos a soma dos produtos de Δ𝑥
e esses valores de 𝑓 de 𝑥𝑖. E assim, uma estimativa para nossa integral definida é quatro vezes menos três mais
quatro vezes menos 0.6 mais quatro vezes 1.8, que é menos 7.2. Uma estimativa para a integral definida entre cinco e 17 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥
usando três subintervalos iguais é menos 7.2.
Agora, não precisamos nos preocupar aqui que nossa resposta seja negativa. Lembre-se, quando estamos trabalhando com somas de Riemann, estamos analisando
áreas. Mas quando os valores da função são negativos, o retângulo fica abaixo do eixo
𝑥. E assim, sua área é subtraída.
Vamos agora ver como podemos usar as fórmulas com extremidade à direita.
Aproxime a integral definida entre menos dois e dois de três 𝑥 ao quadrado menos
cinco 𝑥 em relação a 𝑥 usando uma soma de Riemann com extremidades à direita. Seja 𝑛 igual a oito.
Lembre-se, podemos estimar a solução para uma integral definida usando somas de
Riemann; nesse caso, é a integral definida de três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥
entre os limites de menos dois e dois. E nós vamos usar extremidades à direita. Ao escrever somas de Riemann com extremidades à direita, assumimos valores de 𝑖 de
um a 𝑛. É a soma de Δ𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥𝑖 para esses valores de 𝑖, onde Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎
dividido por 𝑛. Tenha em mente aqui que 𝑛 é o número de subintervalos e 𝑥𝑖 é igual a 𝑎 mais 𝑖
vezes Δ𝑥. Então, vamos ver o que realmente temos.
Nossos limites são de menos dois a dois. Então, seja 𝑎 igual a menos dois e 𝑏 igual a dois. Disseram-nos que precisamos que 𝑛 seja oito. Geometricamente, isso nos diz o número de retângulos que temos. E agora, podemos calcular Δ𝑥. Essa é a largura de cada retângulo. De acordo com nossa fórmula, Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. São dois menos menos dois sobre oito, o que é um meio. E uma vez que temos Δ𝑥, podemos calcular 𝑥𝑖. É o que dissemos que é menos dois mais Δ𝑥. Isso é um meio vezes 𝑖. Em outras palavras, 𝑥𝑖 é menos dois mais 𝑖 sobre dois.
Agora, para nossa soma de Riemann, precisamos calcular 𝑓 de 𝑥𝑖. Isso é claramente 𝑓 de menos dois mais 𝑖 sobre dois. Conseguimos isso substituindo menos dois mais 𝑖 sobre dois em nossa fórmula três 𝑥
ao quadrado menos cinco 𝑥. E se distribuirmos nossos parênteses e simplificarmos, vemos que 𝑓 de 𝑥𝑖 é três
quartos 𝑖 ao quadrado menos 17 sobre dois 𝑖 mais 22. Vamos agora substituir Δ𝑥 e 𝑓 de 𝑥𝑖 em nossa fórmula da soma. Vemos agora que uma aproximação ao nosso intervalo definido é a soma de um meio vezes
três quartos de 𝑖 ao quadrado menos 17 sobre dois 𝑖 mais 22 para valores de 𝑖 de
um a oito. Agora, na verdade, esse fator constante um meio é independente de 𝑖. Para podermos tirar isso da soma. E agora, embora essa etapa não seja totalmente necessária, ela não pode simplificar
as coisas de vez em quando.
Vamos agora substituir valores de 𝑖 de um a oito em três quartos de 𝑖 ao quadrado
menos 17 sobre dois 𝑖 mais 22 e encontrar a soma. Quando 𝑖 é um, obtemos 0.75 menos 8.5 mais 22, que é 14.25. Quando 𝑖 é dois, obtemos oito. Quando 𝑖 é três, obtemos 3.25. Quando 𝑖 é quatro, obtemos zero. Quando 𝑖 é cinco, é menos 1.75. Quando 𝑖 é seis, obtemos menos dois. Quando é sete, temos menos 0.75. E quando 𝑖 é oito, temos dois. Encontrando a soma desses valores e multiplicando-a por um meio, obtemos 23 sobre
dois. E assim, uma aproximação à nossa integral definida, usando uma soma de Riemann à
direita com oito subintervalos é 23 sobre dois.
Até agora, consideramos como estimar integrais com as somas de Riemann à esquerda e à
direita. Vamos agora ver como podemos trabalhar usando pontos médios.
Usando a regra do ponto médio com 𝑛 é igual a cinco, arredonde a integral definida
de dois a cinco de dois 𝑥 sobre três 𝑥 mais dois em relação a 𝑥 para quatro casas
decimais.
Lembre-se, podemos estimar uma integral definida usando somas de Riemann. Dividimos a região em subintervalos e criamos um retângulo em cada um. A área total dos retângulos nos dá uma estimativa da integral. Em uma soma de Riemann no ponto médio, a altura de cada retângulo é igual ao valor da
função no ponto médio de sua base. Agora, trabalhar com pontos médios não é tão bom quanto usar a soma Riemann à
esquerda ou à direita. Nesse caso, não há nada que nos impeça de calcular cada uma das áreas no
intervalo. E vamos começar calculando a largura de cada subintervalo.
Geometricamente, ele nos diz a largura dos retângulos. E é dado por Δ𝑥 igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, onde 𝑎 e 𝑏 são as extremidades do
intervalo e 𝑛 é o número de subintervalos. No nosso caso, nosso limite inferior é dois e nosso limite superior é cinco. Portanto, seja 𝑎 igual a dois e 𝑏 igual a cinco. E nos disseram que 𝑛 é igual a cinco. Δ𝑥 é cinco menos dois sobre cinco, que é três quintos ou 0.6. E uma tabela pode facilitar um pouco o próximo passo. Em nossa tabela, começaremos calculando cada um dos subintervalos.
Sabemos que o limite inferior de nossa integral definida é dois. Para encontrar a extremidade à direita de nosso primeiro retângulo em nosso primeiro
subintervalo, adicionamos 0.6 a dois para obter 2.6. Isso significa que nosso próximo retângulo começa em 𝑥 igual a 2.6. Desta vez, adicionamos 0.6 novamente. E achamos que a extremidade à direita é 3.2. A extremidade à esquerda do nosso próximo retângulo deve, portanto, ser 3.2. E a extremidade à direita é 3.2 mais Δ𝑥. Isso é 3.8. Nosso próximo retângulo começa em 3.8. E adicionando 0.6, descobrimos que termina em 4.4. E nosso quinto e último retângulo — Lembre-se, queríamos que 𝑛 fosse igual a cinco —
começa em 4.4 e termina em 4.4 mais 0.6, que é cinco. E isso é realmente um bom começo, porque sabemos que o limite superior do nosso
intervalo é de fato cinco.
Em seguida, calcularemos o ponto médio de cada um desses subintervalos. Agora, provavelmente podemos fazer isso em nossa cabeça. Mas, se estivermos lutando, adicionamos os dois valores e dividimos por dois. E quando o fazemos, obtemos os pontos médios de 2.3, 2.9, 3.5, 4.1 e 4.7,
respectivamente. Para calcular a altura de cada retângulo, precisamos calcular o valor da função
nesses pontos. Então, por exemplo, nesta primeira linha, começaremos calculando o 𝑓 de 2.3. Para fazer isso, substituímos 2.3 em nossa função dois 𝑥 sobre três 𝑥 mais
dois. E temos 46 sobre 89. Em seguida, repetimos esse processo para 𝑥 igual a 2.9. Quando substituímos 3.5 em nossa função, obtemos 14 sobre 25. E a altura de nossos dois retângulos finais são 82 sobre 143 e 94 sobre 161 unidades,
respectivamente.
E nosso passo final é calcular a área de cada retângulo multiplicando sua largura por
sua altura. Obviamente, a largura de cada retângulo é Δ𝑥 em 0.6. Então, multiplicamos cada um desses valores de função por 0.6 e, em seguida,
encontramos sua soma. Agora, poderíamos fazer isso várias vezes ou encontrar sua soma e multiplicar por
0.6. Nós teremos a mesma resposta. Quando encontramos o total de todos os valores em nossa coluna intitulada Δ𝑥 vezes
𝑓 de 𝑥𝑖, obtemos 1.66671 e assim por diante. E se fizermos isso corretamente para quatro casas decimais, descobrimos que uma
estimativa de que a integral definida entre dois e cinco de dois 𝑥 sobre três 𝑥
mais dois em relação a 𝑥 é aproximadamente 1.66657.
Neste vídeo, vimos que a integral definida de alguma função entre os limites de 𝑎 e
𝑏 pode ser aproximada usando somas de Riemann à esquerda ou à direita ou a regra do
ponto médio. E usamos as fórmulas de soma para as somas de Riemann à esquerda e à direita. E também vimos que a regra do ponto médio pode ser um pouco mais complicada, mas é
absolutamente bom usar uma tabela para estimar a solução.
