Question Video: Encontrando o Limite de Funções Envolvendo Raízes Quadradas Utilizando Racionalização

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Encontre o limite da raiz quadrada de 𝑥 mais nove menos a raiz quadrada de menos 𝑥 mais nove sobre 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de zero.

Nós escrevemos o limite novamente. Nós vemos que como o denominador é 𝑥, não podemos simplesmente substituir diretamente. Da mesma forma, não podemos escrever o limite desse quociente como o quociente dos limites, pois essa regra só se aplica quando o valor do limite no denominador é diferente de zero.

Se esta fosse uma função racional com um polinômio no numerador em vez de algo envolvendo radicais como temos, então esperamos encontrar um fator de 𝑥 no numerador para cancelar com o 𝑥 no denominador.

Infelizmente, temos radicais no numerador. E não há um fator óbvio de 𝑥. Nós vamos ter que criar um. E fazemos isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de 𝑎 menos 𝑏 é 𝑎 mais 𝑏. Então, multiplicamos o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 𝑥 mais nove mais raiz quadrada de menos 𝑥 mais nove.

Podemos simplificar o numerador usando a identidade da diferença de dois quadrados ou fazendo a distributiva e cancelando. E podemos simplificar ainda mais a raiz quadrada de 𝑥 mais nove ao quadrado é apenas 𝑥 mais nove. E o outro termo, raiz quadrada de menos 𝑥 mais nove ao quadrado, é apenas menos 𝑥 mais nove.

Novamente, deixamos o denominador como está e simplificamos o numerador, desta vez agrupando termos semelhantes. 𝑥 menos menos 𝑥 dá dois 𝑥. E nove menos nove não dão nada. Então o numerador é apenas dois 𝑥. E agora notamos um fator comum de 𝑥 no numerador e no denominador, que cancelamos.

E agora estamos no ponto em que podemos substituir diretamente. Substituindo zero por 𝑥, obtemos algo. Podemos calcular manualmente ou por uma calculadora. São dois sobre seis, ou um terço. O principal truque para resolver este problema foi multiplicar pelo conjugado do numerador para racionalizar o numerador.

Depois de fazer alguma álgebra, isso nos permitiu encontrar um fator de 𝑥 no numerador, que poderíamos então cancelar com o fator no denominador. Claro, isso altera o domínio da função dentro do limite. A função original foi indefinida em 𝑥 igual a zero. Mas para todos os outros valores de 𝑥, essas duas funções, a função original e a função simplificada, possuem a mesma imagem.

E como o limite quando 𝑥 tende a zero apenas depende dos valores de 𝑥 próximo de zero e não 𝑥 é igual a zero, os dois limites são iguais. O penúltimo passo em que nós diretamente substituímos zero por 𝑥 poderia ser justificado usando as leis dos limites.

O limite do quociente é o quociente do limite. O limite de uma soma é a soma do limite e assim por diante. Mas, neste estágio, provavelmente não é necessário justificar explicitamente todas essas etapas, a menos que você seja solicitado na pergunta. Contanto que você entenda, você pode fazer isso em princípio.