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Vídeo: Perguntas Utilizando Permutações e Combinações

Utilizando fórmulas para calcular o número de permutações para organizar objetos e o número de combinações de ordem não específicas em questões de probabilidade.

14:35

Transcrição do vídeo

Vamos dar uma olhada em algumas perguntas que usam os métodos de permutações e combinações para resolvê-las. Então, a primeira pergunta: Para criar uma senha, eu uso dois dígitos numéricos diferentes e seis letras minúsculas diferentes. Quantas senhas únicas possíveis eu poderia gerar dessa maneira?

Bem, há dez dígitos numéricos possíveis, de zero a nove, e eu escolho dois deles e eles são diferentes. E há vinte e seis letras para escolher e todas elas são minúsculas, mas eu escolho seis delas. Então, para os dígitos, eu escolho dois de dez, e serão dez fatorial sobre dois fatorial, o que vem dos dois que estamos escolhendo vezes oito fatorial. E essa é a diferença entre o dois e o dez. Então, eu poderia fazer isso na minha calculadora, mas eu estou apenas escrevendo esses números na íntegra. Então, dez fatorial é dez vezes nove vezes oito todo o caminho até um, e depois temos dois fatorial e oito fatorial na parte inferior.

Agora, é claro, alguns desses cancelam, então os oitos cancelam. Sete, seis, cinco, quatro, três, dois e um cancelam, então eu tenho dez vezes nove sobre dois vezes um. Então, isso significa que tenho quarenta e cinco pares de dígitos possíveis que posso gerar dessa maneira. E para quantas letras, quantas combinações de letras eu poderia ter, vinte e seis 𝐶 seis ou vinte e seis escolho seis, então vinte e seis fatorial sobre seis fatorial vezes a diferença desses dois vinte fatorial. E quando resolvo isso na minha calculadora, recebo duzentos e trinta mil duzentos e trinta conjuntos possíveis de seis letras. Assim, posso combinar todos esses quarenta e cinco possíveis pares de dígitos com todos os duzentos e trinta mil duzentos e trinta conjuntos possíveis de seis letras. Então são quarenta e cinco vezes duzentos e trinta mil duzentos e trinta conjuntos de dois dígitos mais seis letras, oito caracteres.

São mais de dez milhões de conjuntos de oito caracteres com os quais posso trabalhar. Mas é claro que se eu tiver oito caracteres diferentes, posso organizá-los de oito maneiras fatoriais. Oito vezes sete vezes seis vezes cinco e assim por diante. E quando eu resolver isso, são quarenta mil trezentas e vinte maneiras. Então, cada um desses conjuntos de oito caracteres pode ser organizado em quarenta mil trezentas e vinte maneiras. Então, preciso multiplicar esses dois números para calcular o número total de senhas diferentes que posso gerar. Isso é um monte de senhas, quatrocentos e dezessete bilhões setecentos e vinte e nove milhões trezentos e doze mil senhas diferentes para escolher.

Certo, então a próxima pergunta. Eu pego todas as letras da palavra randomize - e sim essa é a grafia americana, então se você está assistindo isso no Reino Unido, lá vai você. É assim que eles soletram na América - e as reorganizam para que as vogais fiquem próximas umas das outras. Quantas maneiras diferentes existem para fazer isso? Bem, vamos apenas escrever as consoantes primeiro. Então são R, N, D, M e Z, e depois temos as vogais em seguida. E assim A, O, I e E são as vogais. Agora a pergunta é que temos que pegar as vogais todas próximas umas das outras em nossas combinações. Então, o que vou fazer é agrupar essas vogais e fingir que elas são uma nova letra, uma nova letra muito complicada. E assim vamos juntar o R, o N, o D, o M, o Z, e essa nova letra imaginária chamada AOIE, que é uma pronúncia um pouco estranha, mas é isso. E vamos fazer algumas análises sobre isso. Então vou reformular a questão. Quantas maneiras existem para organizar as letras R, N, D, M, Z e AOIE? Então, isso me dá seis letras para organizar no total. Eu posso ter que fazer um pouco de ajustes depois. Então, se eu tenho seis letras diferentes, eu as organizo e são todas diferentes e eu as organizo em diferentes ordens, existem seis maneiras fatoriais para fazer isso. Eu escolho uma e depois tenho cinco para escolher. Eu posso combinar qualquer uma dessas seis escolhas para a primeira com as cinco para a segunda, as quatro para a terceira e assim por diante. Assim, chega-se a um total de setecentas e vinte maneiras diferentes de organizar essas seis letras.

Mas, claro, AOIE não é realmente uma letra. Na verdade, existem quatro letras aqui, e eu preciso considerar todas as combinações daqueles em diferentes ordens combinadas com essas setecentos e vinte maneiras diferentes. Então, se eu tenho AOIE no começo, existem várias maneiras diferentes de configurar as letras dentro do AOIE, o que contaria para o número total de combinações e arranjos. Então, esperamos ver que temos quatro letras diferentes. Existem quatro vogais diferentes. Se quisermos reorganizá-las de maneiras diferentes que parecem únicas, existem quatro maneiras fatoriais de fazer isso. Quatro escolhas da primeira letra, três para a segunda, duas para a terceira, uma para a quarta e assim por diante. Então, isso nos dá vinte e quatro maneiras diferentes de escolher. Assim, embora disséssemos que tínhamos setecentas e vinte maneiras de organizar as seis letras em cada um desses casos, em cada uma dessas setecentos e vinte maneiras, há na verdade vinte e quatro maneiras pelas quais a suposta letra AOIE pode ser organizada. Então, temos que multiplicar esses dois números para obter o número total de combinações. E quando multiplicamos os dois juntos, eu ganho dezessete mil duzentos e oitenta maneiras diferentes de organizar essas letras, de modo que, em todos os casos: o A, o O, o I, o E, todas as vogais estão bem próximas entre si.

Então, nossa próxima pergunta é pegar todas as letras da palavra degenerate e rearranjá-las de modo que todas as vogais fiquem próximas umas das outras. Quantas maneiras diferentes existem para fazer isso? Bem, isso soa muito parecido com a última pergunta, exceto que desta vez as vogais nós temos um, dois, três; temos quatro Es e um A diferentes. Então, quando colocamos essas cinco vogais uma ao lado da outra, algumas das combinações serão indistinguíveis umas das outras, portanto, precisamos levar isso em consideração em nosso cálculo. Então, quando eu olho para isso, eu tenho cinco consoantes e cinco vogais. Foi uma palavra de dez letras, e eu vou fazer o mesmo truque novamente. E o que eu vou fazer é juntar todas essas vogais como se fossem apenas uma letra, porque elas precisam estar próximas uma da outra de acordo com a pergunta.

Então, vamos apenas reformular nossa pergunta. Quantas maneiras existem para organizar as letras D G N R T e E E E A E. Vamos tratar isso como uma letra, então temos seis letras para reorganizar. E como vimos antes, para organizar seis coisas únicas, o que fazemos é ter seis opções para a primeira letra, cinco para a segunda, quatro para a terceira e assim por diante. E todos eles podem ser combinados um com o outro, de modo que é seis vezes cinco vezes quatro, seis maneiras fatoriais de reorganizar essas seis letras. São setecentos e vinte maneiras diferentes. Agora temos que levar em conta o fato de que a última letra não é uma letra, mas é uma combinação de cinco vogais diferentes. Bem, não cinco vogais diferentes, mas cinco letras. Então temos cinco vogais lá. De fato, quatro das quais são iguais. Então, com cinco vogais, esperávamos cinco maneiras diferentes e fatorial de organizar essas vogais.

Mas lembre-se, quatro delas são Es. Assim, para cada posicionamento de A, seja primeiro, segundo, terceiro, quarto ou quinto, os outros quatro Es podem ser rearranjados em quatro formas fatoriais, que não poderíamos distinguir. Então, esse cinco fatorial dividido por quatro fatorial é composto por apenas cinco maneiras de organizar as vogais de maneira única. E isso faz sentido, ou que A seja primeiro seguido por todos os Es ou pelo A em segundo cercado por Es, o A em terceiro, o A em quarto, o A em quinto e assim por diante. Então dissemos que havia seis maneiras de organizar as seis letras que nos deram setecentas e vinte maneiras. Nós dissemos que, na verdade, esta letra aqui não é uma letra, e na verdade isso pode ser rearranjado de cinco maneiras. Assim, essas setecentas e vinte maneiras podem ser rearranjadas de cinco maneiras diferentes com A nesses locais diferentes, como o primeiro, o segundo, o terceiro, o quarto ou o quinto. Portanto, setecentas e vinte vezes cinco, que são três mil e seiscentas possibilidades, no total, para as formas de organização de todas aquelas letras, de modo que as vogais fiquem todas próximas umas das outras.

Certo, então vamos completar nossa pequena sequência de perguntas com essa última, que é apenas outra ligeira extensão da ideia em que estamos trabalhando. Então, quantas maneiras diferentes existem para organizar as letras da palavra INSTALLATION em combinações exclusivamente identificáveis ​​nas quais todas as vogais aparecem uma ao lado da outra? Então, temos aspectos do que acabamos de fazer, mas agora temos vogais repetidas e temos consoantes repetidas para lidar nessa questão. Isso é um pouco mais complicado. Agora nós quebramos isso. Nós temos o N S T L L T N. Nós temos sete consoantes. Ok, algumas delas são iguais. E nós temos cinco vogais novamente; nós temos algumas vogais repetidas lá, os dois Is e os dois As. Então podemos refazer essa questão. As vogais devem estar juntas, então trate-as como uma letra. E vamos chamar essa letra IAAIO, pronúncia estranha, mas lá vamos nós. Quantas maneiras de organizar as letras N S T L L T N IAAIO. São oito letras individuais: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito que temos que reorganizar.

Então, estamos procurando organizar oito letras agora. Se elas fossem únicas, todas diferentes, então seria apenas oito fatorial. Mas é claro que com dois Ns, dois Ts e dois Ls, bem, temos que abordar isso de forma ligeiramente diferente. Então dentro desse oito fatorial, você pode trocar o Ns, você pode trocar os Ts, e você pode trocar o Ls, você terá diferentes combinações lá. Então temos que dividir esse oito fatorial por dois fatorial para representar esses dois fins. Dois fatorial vezes dois fatorial para representar os dois Ts vezes dois fatorial para representar os arranjos desses dois Ls. E isso nos dá cinco mil e quarenta maneiras diferentes de organizar essas oito letras com essas repetições particulares, mas é claro que não é toda a história. Porque, de fato, dentro disso, podemos reorganizar algumas das vogais. Então, para cada uma dessas cinco mil e quarenta maneiras, podemos reorganizar essas cinco vogais. Então, temos que descobrir quantas maneiras diferentes podemos reorganizá-las em diferentes combinações identificáveis. Então vamos dar uma olhada nisso.

De forma semelhante ao que acabamos de fazer com as oito letras, temos cinco letras para organizar. Então, isso será cinco fatorial. Mas lembre - se, duas delas são Is e duas delas são As. Então, vamos redimensionar isso dividindo por dois fatorial para os dois Is e dois fatorial para os dois As, o que nos dá trinta maneiras diferentes. Então, o que podemos ver é que para cada uma dessas cinco mil e quarenta combinações diferentes do que chamamos de oito letras, temos trinta maneiras diferentes de organizar o I, o A, o A, o I e o O de maneira única em combinações diferentes identificáveis. Então temos que multiplica-las. Cinco mil e quarenta vezes trinta maneiras nos dão um total de cento e cinquenta e um mil duzentas combinações dessas letras para seguir essas regras.

Então, vamos resumir o que aprendemos lá, espero. Quantas maneiras existem para organizar 𝑛 objetos diferentes? Bem, a resposta para isso é 𝑛 fatorial. Você tem uma escolha de 𝑛 para o primeiro objeto e 𝑛 menos um para o segundo objeto, 𝑛 menos dois para o terceiro objeto e assim por diante. E quantas maneiras existem para organizar 𝑛 objetos se 𝑛 deles são iguais? Bem, nós temos 𝑛 maneiras fatoriais de organizar 𝑛 objetos. E se 𝑛 deles forem iguais, alguns deles serão indistinguíveis um do outro. Então, vamos ter que reduzir esse total. Por exemplo, se tivéssemos três objetos diferentes, haveria três maneiras fatoriais de organizá-los. Mas se dois deles fossem iguais, então podemos seguir o mesmo padrão, e podemos ver que alguns deles são indistinguíveis. Então, por exemplo, este aqui e este aqui parecem os mesmos. Estes dois aqui parecem iguais e estes dois aqui. Quero dizer, se tivéssemos uma maneira de distinguir entre esses dois Bs - vamos chamá-los de primeiro B e o segundo B - então podemos ver que esses padrões diferentes são diferentes. Mas se você - se eles são chamados de B e B, você não pode distinguir esses dois: B um e B dois.

Assim, neste caso, começamos com três fatorial. Mas é claro que temos que dividir isso em dois fatorial, porque você pode ter primeiro o B um e em segundo o B dois, ou podemos ter B dois em primeiro e B um em segundo. Obviamente, se você tem mais dessas que eram iguais, você teria mais maneiras diferentes de organizar aquelas combinações que eram as mesmas. E você teria que dividir por um número maior. No entanto, muitas são as mesmas, é aí que esse número vem daqui. E o 𝑛 fatorial no numerador nos diz quantas maneiras, se fossem todas letras diferentes, quantas maneiras diferentes haveria de organizá-las. Nós também praticamos a fórmula de permutações. Então, quantas permutações para escolher 𝑟 objetos de 𝑛 diferentes objetos, 𝑛𝑃𝑟 é 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Por fim, analisamos quantas combinações para escolher 𝑟 objetos de 𝑛 diferentes objetos quando estamos apenas contando combinações. Então, não contamos a mesma combinação mais de uma vez se os objetos estiverem em uma ordem diferente. Então esse é um número um pouco menor, 𝑛𝐶𝑟 é 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial 𝑛 menos 𝑟 fatorial.