Vídeo: Diagramas de Argand

Nesta aula, aprenderemos como identificar números complexos desenhados em um diagrama de Argand e descobrir suas propriedades geométricas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a identificar números complexos no diagrama de Argand. Começaremos aprendendo o que é realmente um diagrama de Argand e como representamos números complexos nesse diagrama. Vamos estender isso para a interpretação geométrica para adição de números complexos e multiplicação por números reais e imaginários. Finalmente, aprenderemos a interpretação geométrica de algo chamado as raízes da unidade.

Quando começamos a aprender sobre números, aprendemos que podemos representá-los em uma reta numérica unidimensional. Isso geralmente é útil, pois nos permite formar estratégias mentais para adição e subtração, além de fornecer um contexto visual para a ideia de números negativos. Quando introduzimos números imaginários, adicionamos uma segunda dimensão e podemos começar a considerar números complexos como pontos em um plano. Assim como uma reta numérica pode nos permitir obter intuições sobre o conjunto de números reais, pensar em nossos números complexos como pontos em um plano nos permite obter intuições sobre suas propriedades.

Chamamos essa representação visual de diagrama de Argand ou plano de Argand. Concebido pelo matemático suíço John Argand no início de 1800, ele consiste em um eixo real, que é o eixo horizontal, e um eixo imaginário, que é o vertical. Isso significa que podemos representar um número complexo da forma 𝑥 mais 𝑦𝑖, onde 𝑥 e 𝑦 são, é claro, números reais, pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são 𝑥, 𝑦. Vamos ver um exemplo que usa esses conceitos.

Se o número 𝑍 é igual a oito mais 𝑖 é representado em um diagrama de Argand pelo ponto 𝐴, determine as coordenadas cartesianas desse ponto.

Para responder a esta pergunta, nós absolutamente poderíamos ir adiante e desenhar o número complexo 𝑍 no diagrama de Argand e depois ler a informação de lá. Mas isso é um longo caminho para responder a essa pergunta. Em vez disso, nos lembramos da definição do diagrama de Argand. Sabemos que um número complexo da forma 𝑥 mais 𝑦𝑖 pode ser representado por um ponto cujas coordenadas cartesianas são 𝑥, 𝑦. A parte real é a coordenada 𝑥. E a parte imaginária é a coordenada 𝑦.

A parte real do nosso número complexo é oito. E podemos representar a parte imaginária como o coeficiente de 𝑖. Portanto, neste caso, a parte imaginária de 𝑍 é um. Isso significa que as coordenadas cartesianas do ponto que representa o número complexo 𝑍 no plano Argand são oito, um. E quanto aos pares complexos conjugados? Como eles podem aparecer no diagrama Argand?

Vamos dar uma olhada no ponto que representa o número complexo oito mais 𝑖 no diagrama de Argand. Vimos que isso é representado por um ponto cujas coordenadas cartesianas são oito, um. Podemos encontrar o complexo conjugado de 𝑍 mudando o sinal da parte imaginária. E assim o conjugado de oito mais 𝑖 é oito menos 𝑖. Nós, portanto, representamos o conjugado de 𝑍 em nosso diagrama de Argand pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são oito, menos um. Podemos ver que o ponto é uma reflexão no eixo real. E, de fato, isso é verdade para todos os números complexos e seu complexo conjugado.

E assim como podemos interpretar pares conjugados em um diagrama de Argand, podemos usar o plano para interpretar a adição de dois números complexos. Sabemos que, para adicionar dois números complexos, adicionamos suas partes reais e adicionamos separadamente suas partes imaginárias. Então a soma de 𝑎 mais 𝑏𝑖 e 𝑐 mais 𝑑𝑖 é 𝑎 mais 𝑐 mais 𝑏 mais 𝑑 𝑖. Vamos traçar 𝑍 um com o ponto cujas coordenadas cartesianas são 𝑎, 𝑏. 𝑍 dois tem coordenadas cartesianas 𝑐, 𝑑. Segue-se que a soma deles tem coordenadas cartesianas 𝑎 mais 𝑐, 𝑏 mais 𝑑.

Você pode ver que há uma relação de tipos aparecendo. Podemos realmente pensar em números complexos desenhados no plano de Argand como vetores. E, como tal, podemos pensar em adição de números complexos da mesma forma que a adição de vetores. Podemos, portanto, pensar em 𝑍 um mais 𝑍 dois como a resultante dos dois vetores 𝑍 um e 𝑍 dois. E isso pode ser representado no paralelogramo como mostrado.

Assim como podemos representar a adição de números complexos em um plano Argand, pensando neles como vetores, o mesmo pode ser dito para multiplicá-los por um número real. Digamos, por exemplo, que quiséssemos multiplicar o número complexo três mais quatro 𝑖 pela constante real dois. Nós representamos o número complexo pelo ponto três, quatro no plano de Argand como mostrado. Multiplicar um vetor por dois multiplica as componentes horizontal e vertical por dois. Portanto, neste caso, representamos dois multiplicados pelo vetor três mais quatro 𝑖 como o ponto seis, oito. E vemos que duas vezes 𝑍 é igual a seis mais oito 𝑖.

Interpretar números complexos como vetores no plano Argand nos permite interpretar a multiplicação por um número real 𝑐 como um fator de escala de ampliação de 𝑐 sobre a origem. Isso se estende até mesmo na ideia de multiplicar por um número negativo. E alternativamente, isso pode ser interpretado como uma rotação sobre a origem por 𝜋 radianos, seguida por uma ampliação pelo módulo de fator de escala de 𝑐. Mas como representamos a multiplicação de um número complexo por um número puramente imaginário no plano de Argand?

Quatro números complexos 𝑍 um, 𝑍 dois, 𝑍 três e 𝑍 quatro são mostrados no diagrama de Argand. Parte 1) Encontre a imagem dos pontos 𝑍 um, 𝑍 dois, 𝑍 três e 𝑍 quatro sob uma transformação que transforma 𝑍 em 𝑖𝑍. Parte 2) Ao desenhar esses pontos em um diagrama de Argand, ou de outra forma, forneça uma interpretação geométrica da transformação.

Estamos procurando a transformação que transforma 𝑍 em 𝑖𝑍. Para fazer isso, primeiro precisamos encontrar os números complexos 𝑍 um, 𝑍 dois, 𝑍 três e 𝑍 quatro. Lembre-se, o eixo horizontal representa a parte real de um número complexo. E o eixo vertical representa a parte imaginária. 𝑍 um tem coordenadas cartesianas três, zero. Então, na forma de números complexos, são três mais zero 𝑖, que são apenas três. 𝑍 dois são dois mais três 𝑖. 𝑍 três é menos dois menos um 𝑖. 𝑍 quatro tem coordenadas cartesianas zero, menos um. Então, como um número complexo, isto é menos 𝑖.

Em seguida, vamos multiplicar cada um desses números por 𝑖, lembrando que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Isso significa que 𝑖𝑍 um é três 𝑖. 𝑍 dois são dois 𝑖 mais três 𝑖 ao quadrado. E como 𝑖 ao quadrado é menos um, isso é menos três mais dois 𝑖. E da mesma forma, 𝑖𝑍 três é um menos dois 𝑖. E 𝑖𝑍 quatro é um. Agora precisamos traçar esses pontos no diagrama de Argand.

Podemos ver que 𝑖𝑍 um tem coordenadas cartesianas zero, três. Está aqui. 𝑖𝑍 dois tem coordenadas cartesianas menos três, dois. Está aqui. 𝑖𝑍 três está aqui. E 𝑖𝑍 quatro está aqui. Podemos ver que 𝑍 um se moveu um quarto de volta aqui. 𝑍 dois se moveu um quarto de volta, assim como 𝑍 três e 𝑍 quatro. E podemos ver que a transformação que transforma 𝑍 em 𝑖𝑍 é uma rotação sobre a origem em sentido anti-horário por 𝜋 sobre dois radianos.

Agora, segue-se que, uma vez que multiplicar um número complexo por 𝑖 leva a uma rotação, multiplicar um número complexo por algum múltiplo real de 𝑖 levará a uma rotação, seguida de ampliação, como vimos anteriormente. E embora não estejamos totalmente prontos para representar a multiplicação de dois números complexos usando um diagrama de Argand, podemos olhar para a interpretação geométrica de algo chamado as raízes da unidade.

1) Encontre todas as soluções para 𝑍 elevado a seis igual a um. 2) Ao desenhar as soluções em um diagrama de Argand, ou de outra forma, descreva as propriedades geométricas das soluções de 𝑍 elevado a seis é igual a um.

Nós poderíamos resolver essa equação encontrando a raiz sexta de ambos os lados. No entanto, sabemos que haverá seis soluções para essa equação. Então, precisamos considerar um método alternativo. Em vez disso, reorganizamos subtraindo um dos dois lados. E vemos que 𝑍 elevado a seis menos um é igual a zero. Este é realmente um caso especial da diferença de dois quadrados, o que significa que podemos escrever a expressão no lado esquerdo como 𝑍 ao cubo menos um multiplicado por 𝑍 ao cubo mais um. E agora, temos dois números cujo produto é zero. Isso só pode ser o caso se 𝑖, o próprio número, for igual a zero.

Vamos começar dizendo que 𝑍 ao cubo menos um é igual a zero. Podemos observar que uma das soluções para essa equação é um desde que um ao cubo menos um é de fato zero. Isso significa que 𝑍 menos um deve ser um fator de 𝑍 ao cubo menos um. Poderíamos usar a divisão polinomial para encontrar o outro fator. Ou poderíamos dizer que isso significa que 𝑍 ao cubo menos um é igual a 𝑍 menos um multiplicado por alguma quadrática. E então, podemos igualar coeficientes de 𝑍. Distribuindo os parênteses, e vemos que 𝑎𝑍 ao cubo mais 𝑏 menos 𝑎 𝑍 ao quadrado mais 𝑐 menos 𝑏 𝑍 menos 𝑐 é igual a 𝑍 ao cubo menos um.

Calculando os coeficientes de 𝑍 ao cubo, vemos que 𝑎 é igual a um. E isso porque o coeficiente de 𝑍 ao cubo no lado direito é apenas um. O coeficiente de 𝑍 ao quadrado do lado direito é zero. Então, vemos que quando calculamos os coeficientes de 𝑍 ao quadrado, obtemos 𝑏 menos 𝑎 igual a zero. 𝑎 é claro que é um. Então, 𝑏 menos um é zero, o que significa que 𝑏 deve ser igual a um. Vamos pular equacionar coeficientes de 𝑍 para a potência de um e ir direto para equacionar constantes ou coeficientes de 𝑍 com a potência de zero.

Vemos que menos 𝑐 é igual a menos um, o que significa que 𝑐 é igual a um. E isso significa que 𝑍 ao cubo menos um é igual a 𝑍 menos um multiplicado por 𝑍 ao quadrado mais 𝑍 mais um. Em seguida, resolvemos 𝑍 ao quadrado mais 𝑍 mais um igual a zero usando a fórmula quadrática ou completando o quadrado.

Se usarmos a fórmula quadrática, veremos que 𝑍 é igual a menos um mais ou menos a raiz quadrada de um ao quadrado menos quatro vezes um vezes um, tudo sobre duas vezes um. Isso é menos um mais ou menos a raiz quadrada de menos três sobre dois. Vamos dividir isso e escrever como menos um meio mais ou menos a raiz quadrada de menos três sobre dois. E como a raiz quadrada da menos um é 𝑖, nossas soluções para 𝑍 tornam-se menos um meio mais ou menos a raiz quadrada de três sobre dois 𝑖.

Repetiremos este processo para 𝑍 ao cubo mais um é igual a zero. Desta vez, podemos perceber que uma das soluções para essa equação é 𝑍 igual a menos um. E isso porque menos um ao cubo mais um é igual a zero. Desta vez, isso significa que 𝑍 mais um deve ser um fator de 𝑍 ao cubo mais um. E podemos dizer que podemos escrever 𝑍 ao cubo mais um como 𝑍 mais um multiplicado por alguma quadrática em 𝑍.

Desta vez, distribuindo os parênteses, e vemos que 𝑎𝑍 ao cubo mais 𝑎 mais 𝑏 𝑍 ao quadrado mais 𝑏 mais 𝑐 𝑍 mais 𝑐 é igual a 𝑍 ao cubo mais um. E desta vez, quando calculamos coeficientes, obtemos que 𝑎 é igual a um. 𝑏 é igual a menos um. E 𝑐 é igual a um. Então, 𝑍 ao cubo mais um é igual a 𝑍 mais um multiplicado por 𝑍 ao quadrado menos 𝑍 mais um. Desta vez, nós resolvemos 𝑍 ao quadrado menos 𝑍 mais um é igual a zero, mais uma vez usando a fórmula quadrática ou possivelmente completando o quadrado. E quando o fazemos, podemos ver que 𝑍 é igual a um meio mais ou menos a raiz quadrada de três sobre dois 𝑖.

E vemos que agora temos as seis soluções para a equação 𝑍 elevado a seis é igual a um que estávamos procurando. E, se quisermos, podemos verificar essas soluções substituindo-as de volta à equação 𝑍 elevado a seis igual a um e verificar se nossas respostas fazem sentido.

Para a parte 2), vamos traçar esses pontos no diagrama de Argand. 𝑍 é igual a um e 𝑍 é igual a menos um são bastante simples. Temos o ponto a um meio, raiz de três sobre dois representando a solução um meio mais de raiz três sobre dois 𝑖. E temos menos um meio raiz de três sobre dois, representando a solução menos um meio mais raiz de três sobre dois 𝑖. Podemos traçar as outras duas soluções conforme mostrado. E as propriedades geométricas? Bem, podemos ver que esses números complexos estão uniformemente espaçados sobre a origem. De fato, as soluções são os vértices de um hexágono regular inscrito com um círculo unitário cujo centro é a origem.

Neste vídeo, vimos que podemos representar um número complexo 𝑥 mais 𝑦𝑖 no plano de Argand pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são 𝑥, 𝑦. Também vimos que existem muitas interpretações geométricas para operações com números complexos. A adição de números complexos pode ser representada por uma translação com um vetor 𝑎𝑏. Vimos que pares complexos conjugados são reflexões um do outro no eixo real. Aprendemos que a multiplicação por um número real é uma ampliação com um centro na origem cujo fator de escala é esse número real. E nós vimos que a multiplicação por 𝑖 é uma rotação sobre a origem no sentido anti-horário por 𝜋 sobre dois radianos.

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