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As tabelas apresentadas mostram alguns valores de 𝑓 de 𝑥, 𝑔 de 𝑥 e ℎ de 𝑥. Qual função corresponde à função inversa sen de 𝑥?
Então, como a pergunta diz, temos três tabelas e elas representam valores de 𝑓 de
𝑥, 𝑔 de 𝑥 e ℎ de 𝑥, respectivamente. Uma dessas funções 𝑓 de 𝑥, 𝑔 de 𝑥 ou ℎ de 𝑥 é o inverso de seno de 𝑥, e vamos
passar por cada opção para descobrir qual delas é.
Então, primeiro, nós olhamos para a tabela correspondente a 𝑓 de 𝑥 e perguntamos,
“é 𝑓 de 𝑥 igual a inverso de sen de 𝑥?” Bem, se for, então o sen de 𝑓 de 𝑥 é igual a sen do inverso de sen de 𝑥, e o sen
do inverso de sen de 𝑥 é igual a 𝑥. Então, realmente, estamos perguntando se o sen de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥. E podemos testar isso usando os valores da tabela. Então, olhamos para o primeiro par de valores, onde 𝑥 é menos a raiz de três sobre
dois e 𝑓 de 𝑥 é menos 𝜋 sobre três. E nós pedimos o par de valores se sen 𝑓 de 𝑥 for igual a 𝑥. Assim, portanto, o sem de menos 𝜋 sobre três tem que ser igual à menos raiz de três
sobre dois.
E seja sabendo algo sobre ângulos notáveis ou usando nossa calculadora, podemos ver
que isso é verdade. Mas é claro que precisamos que seja verdade para os outros valores de 𝑥 e 𝑓 de
𝑥. E então olhamos para o segundo par de valores, 𝑥 é menos um meio e 𝑓 de 𝑥 é menos
𝜋 sobre seis. E então temos que perguntar, “seria sen de menos 𝜋 sobre seis igual a menos um
meio?” E, claro que é. Então, esta parece boa para 𝑓 de 𝑥, mas precisamos verificar todos os valores. Então, seguindo em frente, olhando para o próximo par, perguntamos se sen de zero é
igual a zero, e é claro que é. Então, indo para o próximo par de valores, perguntamos se o sen de 𝜋 sobre quatro é
igual a um meio, e é claro que não é. Sen 𝜋 sobre quatro é igual a raiz dois sobre dois e não um meio. E isso significa que, para este par de valores, o sen de 𝑓 de 𝑥 não é igual a
𝑥. E assim 𝑓 de 𝑥 não é o inverso de sen de 𝑥. E assim, 𝑓 de 𝑥 não é nossa resposta, e passamos a considerar 𝑔 de 𝑥.
Então, é exatamente o mesmo processo, mas para 𝑔 de 𝑥 ao invés de 𝑓 de 𝑥. Para descobrir se 𝑔 de 𝑥 é igual a inverso de sen de 𝑥, perguntamos se o sen de 𝑔
de 𝑥 é igual a 𝑥, para todos os valores em nossa tabela. Então, considerando o primeiro par de valores, perguntamos se sen de menos 𝜋 sobre
seis é igual a menos a raiz de três sobre dois. E a resposta aqui é não; sen de menos 𝜋 sobre seis é na verdade igual a menos um
meio. Nós caímos no primeiro obstáculo. O sen de 𝑔 de 𝑥 não é igual a 𝑥, em geral. Para este par de valores, isso não acontece, certamente. E assim 𝑔 de 𝑥 não é inverso de sen de 𝑥.
Agora que eliminamos 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥, só temos uma opção, ℎ de 𝑥. Não vou gastar muito tempo nisso, mas vamos verificar se o sen de ℎ de 𝑥 é igual a
𝑥, para todos os valores da tabela. Acontece que o sen de menos 𝜋 sobre dois é menos um, sen de menos 𝜋 sobre seis é
igual a menos um meio, sen de zero é zero, sen de 𝜋 sobre quatro é raiz dois sobre
dois, e sen de 𝜋 sobre três é a raiz de três sobre dois.
Para todos os valores em nossa tabela, o sen de ℎ de 𝑥 é igual a 𝑥. E assim concluímos que ℎ de 𝑥 é o inverso de sen de 𝑥.
