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Neste vídeo, aprenderemos como determinar o domínio e o contradomínio de uma função radical, seja a partir do seu gráfico ou da sua expressão algébrica. Em particular, focaremos o domínio e o contradomínio de funções que envolvem as raízes quadradas e cúbicas.
Vamos começar por recordar as definições do domínio e do contradomínio de uma função. O domínio de uma função 𝑓 de 𝑥 é o conjunto de todos os valores possíveis de 𝑥 tais que a expressão 𝑓 de 𝑥 é definida. Nas fórmulas, podemos pensar no domínio de uma função como o conjunto de todos os valores nos quais a função atua ou os seus valores dos objetos. O contradomínio de uma função 𝑓 de 𝑥 é o conjunto de todos os valores possíveis que a expressão 𝑓 de 𝑥 pode assumir quando 𝑥 é qualquer número do domínio da função. Podemos, portanto, pensar no intervalo de uma função como um conjunto de valores que a função produz ou os valores das imagens.
Vamos começar por considerar a função radical mais direta: 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥. Se houver um número real 𝑦 que satisfaça 𝑦 igual à raiz quadrada de 𝑥, segue-se que 𝑥 é igual a 𝑦 ao quadrado. Sabemos que o quadrado de qualquer número real é não negativo, então 𝑥 também deve ser não negativo. Isto significa que qualquer valor dos objetos da função 𝑓 de 𝑥 deve ser não negativo, o que nos diz que o domínio da função raiz quadrada é 𝑥 maior ou igual a zero. Também podemos escrever isto na forma de intervalo, pois 𝑥 pertence ao intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de zero a ∞.
Agora, vamos considerar o contradomínio da função raiz quadrada. Aqui está um esboço do seu gráfico. Podemos ver que o gráfico parece ficar mais plano à medida que 𝑥 aumenta. Mas o seu valor continua a aumentar sem limites. Isto diz-nos que qualquer valor real positivo é um valor de imagem possível da função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥. E o valor de zero também está incluído porque a raiz quadrada de zero é zero. O contradomínio da função raiz quadrada é, portanto, os números reais não negativos. Portanto, podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a zero. Novamente, podemos escrever isto na forma de intervalo como 𝑓 de 𝑥 pertence ao intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de zero a ∞.
Observe que utilizamos 𝑥 para descrever o domínio da função porque são os valores dos objetos, enquanto utilizamos 𝑓 de 𝑥 para descrever o contradomínio porque estamos a discutir os valores das imagens. Observamos também que, neste caso, os valores no domínio e no contradomínio da função raiz quadrada são de facto iguais. Mas isto certamente não será sempre o caso. Observamos também neste ponto que, no gráfico de uma função, o domínio da função corresponde à parte do eixo horizontal onde o gráfico existe, enquanto o contradomínio da função corresponde à parte do eixo vertical onde o gráfico existe. Isto nos dá um método útil para determinar o domínio e o contradomínio de uma função se tivermos o seu gráfico.
Vamos agora considerar uma função de raiz quadrada mais geral: 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥. Desta vez, não estamos a determinar a raiz quadrada de 𝑥 simplesmente, mas de uma função de 𝑥, que estamos a chamar de 𝑔 de 𝑥. Portanto, temos uma função composta ou uma função de uma função. Segue-se do que já vimos que os valores dos objetos para a função 𝑓 de 𝑥 devem ser não negativos. E, portanto, 𝑔 de 𝑥 deve ser não negativo. O domínio da função raiz quadrada composta, como se mostra, então, é o conjunto de todos os valores de 𝑥 tais que a função 𝑔 de 𝑥 é maior ou igual a zero. O contradomínio da função 𝑓 de 𝑥 dependerá de qual é a função 𝑔 de 𝑥. Mas podemos determinar o contradomínio considerando os maiores e menores valores que a função pode assumir, como veremos nos nossos exemplos.
Vamos começar então com um exemplo no qual determinaremos o domínio de uma função de raiz quadrada composta.
Determine o domínio da função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de sete 𝑥 menos sete.
Temos aqui uma função raiz quadrada composta. Se permitirmos que 𝑔 de 𝑥 seja a função sob a raiz quadrada, então 𝑔 de 𝑥 é igual a sete 𝑥 menos sete, então 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥. Lembramos que o domínio de uma função raiz quadrada composta da forma 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥 pode ser determinada determinando o conjunto de todos os valores de 𝑥 tais que 𝑔 de 𝑥 seja não negativa. Portanto, precisamos de resolver a inequação sete 𝑥 menos sete que é maior ou igual a zero.
Podemos fazer isto primeiro adicionando sete a cada membro, dando sete 𝑥 maior ou igual a sete. E então podemos dividir cada membro da inequação por sete para dar 𝑥 maior ou igual a um. Podemos escrever isto na forma de intervalo como o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de um a ∞.
Vamos agora considerar um exemplo no qual identificaremos o gráfico de uma função raiz quadrada composta, considerando o seu domínio e o seu contradomínio.
Qual das opções seguintes é o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de um menos dois 𝑥?
Vamos abordar este problema considerando o domínio e o contradomínio da função 𝑓 de 𝑥. Esta é uma função de raiz quadrada composta porque podemos pensar nela como 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥, onde 𝑔 de 𝑥 é a função um menos dois 𝑥. Recordamos que o domínio de uma função raiz quadrada composta desta forma é o conjunto de todos os valores de 𝑥 para os quais 𝑔 de 𝑥 é maior ou igual a zero.
Podemos, portanto, determinar o domínio desta função resolvendo a inequação um menos dois 𝑥 maior ou igual a zero. Subtrair um de cada membro dá menos dois 𝑥 é maior ou igual a menos um. E a seguir dividimos os dois membros por menos dois, lembrando que quando dividimos uma inequação por um valor negativo, precisamos de inverter o sentido do sinal. Portanto, temos 𝑥 menor ou igual a menos um sobre menos dois, que é um sobre dois, ou um meio. Portanto, descobrimos que o domínio da função é o conjunto de valores de menos ∞ a um meio.
Agora, lembre-se de que, no gráfico de uma função, o seu domínio corresponde à parte do eixo horizontal onde o gráfico existe. Considerando os cinco gráficos que nos deram, podemos ver que isto exclui as opções (A), (C) e (E), pois estão definidas para valores de 𝑥 não no intervalo de menos ∞ a um meio, enquanto as opções (B) e (D) são definidas apenas no intervalo correto.
Vamos agora considerar o contradomínio da função 𝑓 de 𝑥. Recordamos que o contradomínio da função raiz quadrada é o conjunto de todos os números reais não negativos, que podemos escrever na forma de intervalo como o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de zero a ∞. Como o contradomínio da função 𝑔 de 𝑥 sob a raiz quadrada são todos números reais, a raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥 tem o mesmo contradomínio que a raiz quadrada de 𝑥. Portanto, o contradomínio de 𝑓 de 𝑥 são todos números reais não negativos.
Lembre-se de que, no gráfico de uma função, o seu contradomínio corresponde à parte do eixo vertical onde o gráfico existe. No gráfico (B), podemos ver que a função está inteiramente abaixo do eixo O𝑥. E, portanto, o contradomínio desta função é o conjunto de todos os números reais negativos e zero. Isto, portanto, exclui o gráfico (B). No gráfico (D), no entanto, o contradomínio é de facto o conjunto de todos os números reais não negativos, pois o gráfico está acima e no eixo O𝑥. Também observamos que este gráfico realmente tem a forma correta para uma função de raiz quadrada. E como também tem o domínio e o contradomínio corretos para esta função raiz quadrada, podemos ficar satisfeitos que o gráfico (D) é o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de um menos dois 𝑥.
Nos exemplos que consideramos até agora, determinamos o domínio e o contradomínio das funções de raiz quadrada composta quando a expressão dentro da raiz quadrada é linear. No próximo exemplo, determinaremos o domínio e o contradomínio de uma função de raiz quadrada composta em que, em vez disso, a expressão dentro da raiz quadrada envolve a função módulo.
Considere a função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de quatro menos o módulo de 𝑥 menos cinco. A parte um, determine o domínio de 𝑓 de 𝑥, e a parte dois, determine o contradomínio de 𝑓 de 𝑥.
Neste problema, temos uma função raiz quadrada composta da forma 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥. Lembramos que o domínio de uma função de raiz quadrada composta é o conjunto de todos os valores de 𝑥 para os quais 𝑔 de 𝑥 é não negativo. Para esta função, isto dá a inequação quatro menos o módulo de 𝑥 menos cinco que é maior ou igual a zero.
Para resolver esta desigualdade, primeiro precisamos de isolar a função módulo. Podemos subtrair quatro de cada membro da inequação e depois multiplicar ou dividir cada membro da inequação por um menos, recordando que, quando o fizermos, precisamos de inverter o sentido do sinal da inequação. Portanto, temos o módulo de 𝑥 menos cinco que é menor ou igual a quatro. Se o módulo de 𝑥 menos cinco for menor ou igual a quatro, isto significa que a distância da expressão 𝑥 menos cinco de zero não deve ser maior do que quatro. Ou, por outras palavras, 𝑥 menos cinco é maior ou igual a menos quatro e menor ou igual a quatro.
Para resolver esta inequação de dois membros, adicionamos cinco a cada parte, dando 𝑥 maior ou igual a um e menor ou igual a nove. Então descobrimos que o domínio da função 𝑓 de 𝑥 é o intervalo fechado de um a nove.
Agora, vamos considerar o contradomínio de 𝑓 de 𝑥. Como o contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis dessa função, podemos obter o contradomínio considerando quais são os maiores e os menores valores que a função pode assumir. Como a nossa função 𝑓 de 𝑥 é uma função com raiz quadrada, sabemos que não pode produzir valores negativos. Portanto, no mínimo, 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a zero. Zero seriá o menor valor da função se fosse possível produzir zero a partir de um valor no domínio de 𝑓 de 𝑥.
Para ver se zero é realmente um valor de imagem possível para esta função, precisaremos que a expressão sob a raiz quadrada seja igual a zero porque a raiz quadrada de zero é zero. Isto dará à equação quatro menos o módulo de 𝑥 menos cinco igual a zero. Resolver esta equação com módulo dá o módulo de 𝑥 menos cinco igual a quatro. Isto significa que 𝑥 menos cinco é igual a menos quatro ou quatro, levando a 𝑥 igual a um ou 𝑥 igual a nove. Ambos os valores estão no domínio da função 𝑓 de 𝑥, o que significa que é possível chegar a zero utilizando um valor no domínio.
Então, determinámos o menor valor possível de 𝑓 de 𝑥. E agora vamos considerar qual é o maior valor possível. O maior valor de 𝑓 de 𝑥 corresponderá ao maior valor de 𝑔 de 𝑥, que por sua vez corresponderá ao menor valor possível do módulo de 𝑥 menos cinco. A função de módulo é sempre não negativa, portanto, seu menor valor ocorre quando é igual a zero. Este ocorre quando 𝑥 é igual a cinco, que está no domínio da nossa função.
Neste ponto, 𝑔 de 𝑥 será quatro menos zero, que é quatro, e 𝑓 de 𝑥, lembre -se, é a raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥. Portanto, é a raiz quadrada de quatro, que é dois. O maior valor de 𝑓 de 𝑥 então é dois. Como 𝑓 de 𝑥 é uma função contínua, o seu contradomínio será tudo, desde o seu valor menor ao seu valor maior. Portanto, é o intervalo fechado de zero a dois.
Então, completamos o problema. O domínio de 𝑓 de 𝑥 é o intervalo fechado de um a nove. E o contradomínio é o intervalo fechado de zero a dois.
Vamos agora considerar o domínio e o contradomínio da função raiz cúbica 𝑓 de 𝑥 igual à raiz cúbica de 𝑥. O gráfico da função raiz cúbica se parece com isto. Ao contrário da função de raiz quadrada, notamos que a função se estende para o lado esquerdo e direito do eixo O𝑦, indicando que a raiz cúbica pode tomar qualquer número real como objeto. Isto sugere que o domínio da função raiz cúbica é o intervalo aberto de menos ∞ a mais ∞.
Observamos também que há seções do gráfico acima e abaixo do eixo O 𝑥, indicando que a função raiz cúbica produz valores positivos e negativos. Os valores da função tendem para mais e menos ∞, pois os valores de 𝑥 tendem para mais e menos ∞, respetivamente. Isto indica que o contradomínio da função raiz cúbica é o conjunto de todos os números reais. Então, vimos que, ao contrário da função raiz quadrada, não há restrição no domínio e no contradomínio da função raiz cúbica.
Vamos apenas considerar porque é que este o caso. Se houver um valor real 𝑦 tal que 𝑦 seja igual à raiz cúbica de 𝑥, segue-se que 𝑥 é igual a 𝑦 ao cubo. Mas sabemos que, se aplicarmos o cubo a valores positivos, obteremos uma resposta positiva, enquanto se fizermos o cubo de valores negativos, obteremos uma resposta negativa. Portanto, desta vez, 𝑥 pode assumir valores positivos e negativos, bem como zero, e também pode 𝑦, o valor da função.
Vamos agora considerar um exemplo final no qual determinamos o domínio e o contradomínio de uma função que envolve as raízes quadradas e cúbicas.
Considere a função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz ao cubo de 125 menos a raiz quadrada de dois 𝑥 mais três. Parte (a): Determine o domínio de 𝑓 de 𝑥. Parte (b): Determine o contradomínio de 𝑓 de 𝑥.
Temos aqui uma função de raiz cúbica e, em seguida, uma função de raiz quadrada na expressão dentro da raiz cúbica. Lembramos primeiro que o domínio de uma função raiz cúbica é o conjunto de todos os números reais. Portanto, como não há restrição no domínio da função raiz cúbica, precisamos apenas de considerar a restrição para a função raiz quadrada.
O domínio de uma função raiz quadrada deve ser não negativo. Portanto, temos a inequação dois 𝑥 mais três que é maior ou igual a zero. Resolver esta desigualdade leva a 𝑥 maior ou igual a menos três sobre dois. Portanto, descobrimos que o domínio da função 𝑓 de 𝑥 é o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de menos 1.5 a ∞, porque só podemos calcular a expressão inteira sob a raiz do cubo quando 𝑥 está neste intervalo.
Vamos agora considerar o contradomínio de 𝑓 de 𝑥. Podemos escrever a nossa função como 𝑓 de 𝑥 igual à raiz cúbica de 125 menos 𝑎, onde 𝑎 é igual à raiz quadrada de dois 𝑥 mais três. Sabemos que o contradomínio de uma função raiz quadrada é o conjunto de todos os valores não negativos. E assim 𝑎 é maior ou igual a zero. O maior valor de 𝑓 de 𝑥 corresponderá ao menor valor de 𝑎, que é zero. Portanto, o maior valor de 𝑓 de 𝑥 é a raiz cúbica de 125 menos zero, que é a raiz cúbica de 125, que é cinco.
O menor valor de 𝑓 de 𝑥 corresponderá ao maior valor de 𝑎. Então, quando 𝑎 tende para ∞, 𝑓 de 𝑥 tenderá para a raiz cúbica de menos ∞, que por sua vez tende para menos ∞. Como 𝑓 de 𝑥 é uma função contínua, o seu contradomínio incluirá todos os valores entre o menor e o maior valor, que é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de menos ∞ a cinco.
Portanto, concluímos o problema e determinamos o domínio e o contradomínio desta função radical bastante complicada, que envolve raízes quadradas e cúbicas. O domínio é o contradomínio fechado à esquerda e aberto à direita de menos 1.5 a ∞. E o contradomínio é o intervalo aberto à direita e fechado à esquerda de menos ∞ a cinco.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Em primeiro lugar, o domínio e o contradomínio da função raiz quadrada 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥 são ambos o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de zero a ∞. Vimos que o domínio de uma função corresponde à parte do eixo horizontal em que o gráfico existe, enquanto o intervalo corresponde à parte do eixo vertical em que o gráfico existe.
Para uma função de raiz quadrada composta 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥, o domínio é o conjunto de valores de 𝑥 para os quais 𝑔 de 𝑥 é maior ou igual a zero. Também vimos que, para a função raiz cúbica de 𝑓 de 𝑥 igual à raiz cúbica de 𝑥, o domínio e o contradomínio são, para cada um, o conjunto dos números reais, que podemos escrever como o intervalo aberto de menos ∞ a ∞. Para funções de raiz quadrada ou cúbica mais complicadas, o contradomínio da função dependerá dos valores do seu domínio.
