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Neste vídeo, aprenderemos como utilizar as regras dos logaritmos para simplificar expressões logarítmicas. Começaremos por recordar a definição de um logaritmo e como estes se relacionam com a exponenciação. Em seguida, utilizaremos esta relação para desenvolver algumas das regras dos logaritmos que nos ajudarão a simplificar expressões logarítmicas.
Vamos começar por olhar para uma única potência de dois. Sabemos que dois elevado a cinco é igual a 32. Outra maneira de pensar sobre isto é que potência de dois nos dá 32. Podemos escrever isto na forma logarítmica, pois o logaritmo de base dois de 32 é igual a quê. Bem, já vimos que é igual a cinco. Estas duas equações são maneiras equivalentes de expressar a mesma relação.
Em geral, vamos considerar um número real positivo, 𝑏, que não é igual a um e dois outros números positivos, 𝑥 e 𝑦. Dizemos que log de base 𝑏 de 𝑦 igual a 𝑥 é equivalente a dizer que 𝑏 elevado a 𝑥 é igual a 𝑦. Dizemos que 𝑏 é a base, 𝑥 é o expoente e 𝑦 é o argumento.
Agora, estamos interessados nas regras dos logaritmos e como estas podem nos ajudar a simplificar expressões algorítmicas. E como um logaritmo é uma maneira equivalente de escrever a relação entre um número e o seu expoente, podemos reescrever as nossas regras das potências. A primeira lei das potências que recordamos é que 𝑏 elevado a 𝑥 um vezes 𝑏 elevado a 𝑥 dois é igual a 𝑏 elevado a 𝑥 um mais 𝑥 dois. Por outras palavras, para constantes reais 𝑏, desde que a base seja igual, simplesmente adicionamos os expoentes.
A regra dos logaritmos equivalente diz que log de base 𝑏 de 𝑥 um vezes 𝑥 dois é igual a log de base 𝑏 de 𝑥 um mais log de base 𝑏 de 𝑥 dois. Da mesma forma, comparamos a regra das potências para a divisão com a regra dos logaritmos. E descobrimos que a base logarítmica 𝑏 de 𝑥 um sobre 𝑥 dois é a base logarítmica 𝑏 de 𝑥 um menos a base logarítmica 𝑏 de 𝑥 dois.
Agora, está fora do âmbito deste vídeo provar tudo isto. Mas continuando desta maneira, determinamos uma regra para lidar com as potências. Ou seja, log de base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝 é o mesmo que 𝑝 vezes log de base 𝑏 de 𝑥. E a seguir temos a fórmula de mudança de base. Ou seja, log de base 𝑏 de 𝑥 um sobre log 𝑏 de 𝑥 dois é igual a log 𝑥 dois de 𝑥 um. Também vale a pena observar as duas regras seguintes. Log de base 𝑏 de 𝑏 é um e log da base 𝑏 de um é zero. O que realmente nos interessa é ver como podemos aplicar estas regras para simplificar os logaritmos.
Calcular log base dois de 192 menos log base dois de três.
Vamos começar por recordar uma regra dos logaritmos adequada. Esta diz que para uma base fixa 𝑏 é maior do que zero que não é igual a um e números positivos 𝑥 um e 𝑥 dois, log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por 𝑥 dois é igual a log de base 𝑏 de 𝑥 um menos a log de base 𝑏 de 𝑥 dois. O inverso é verdadeiro. Então, dizemos que ao subtrair logaritmos com a mesma base, dividimos simplesmente os seus argumentos.
No nosso caso, podemos ter 𝑏 igual a dois, 𝑥 índice um é 192 e 𝑥 índice dois é igual a três. E podemos, portanto, dizer que o log de base dois de 192 menos log de base dois de três é igual a log de base dois de 192 dividido por três. 192 dividido por três é 64. Portanto, podemos escrever isto como log de base dois de 64. Bem, nós simplificámos, mas ainda precisamos de calcular este logaritmo. Por outras palavras, precisamos de descobrir o que é realmente log de base dois de 64. E nós, portanto, precisamos de recordar a definição de um logaritmo.
Em geral, dizemos que o logaritmo de base 𝑏 de 𝑦 igual a 𝑥 é equivalente a dizer 𝑏 elevado a 𝑥 igual a 𝑦. E assim, essencialmente, estamos a perguntar que expoente de dois dá 64. Bem, sabemos que dois elevado a seis é 64. E, portanto, log de base dois de 64 deve ser igual a seis. E então a resposta aqui é seis.
Vamos considerar outro exemplo.
Determine o valor de log de base dois de 10 mais log de base dois de 16 menos log de base dois de cinco sem utilizar uma calculadora.
Em primeiro lugar, vamos recordar a ordem das operações. Isto diz-nos que, quando há uma adição e uma subtração na mesma soma, movemo-nos simplesmente da esquerda para a direita. Então, começaremos por calcular log de base dois de 10 mais log de base dois de 16. E a seguir, subtrairemos log de base dois de cinco. E assim, vamos recordar algumas regras dos logaritmos.
A primeira às vezes é chamada de regra do produto. E esta diz que para uma base fixa 𝑏 que é maior do que zero e diferente de um e números positivos 𝑥 um e 𝑥 dois, log de base 𝑏 de 𝑥 um vezes 𝑥 dois é log de base 𝑏 de 𝑥 um mais log de base 𝑏 de 𝑥 dois. Claro, o inverso é verdadeiro. Portanto, podemos dizer que para adicionar logaritmos cuja base é igual, multiplicamos simplesmente o argumento.
Da mesma forma, com quocientes, log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por 𝑥 dois é log de base 𝑏 de 𝑥 um menos log da base 𝑏 de 𝑥 dois. E assim podemos dizer que log de base dois de 10 mais log de base dois de 16 é igual a log de base dois de 10 vezes 16. Normalmente, procuramos calcular isto, mas ainda não o faremos. Em vez disso, passaremos diretamente para a subtração de log de base dois de cinco. E sabemos que isto significa que precisamos de dividir os argumentos. Portanto, obtemos log de base dois de 10 vezes 16 dividido por cinco.
E agora vemos que, como não simplificámos, podemos dividir o numerador e o denominador da nossa fração por cinco, o que nos dá log de base dois de dois vezes 16 sobre um, que é log de base dois de 32. Lembre-se, estamos a tentar determinar o valor deste logaritmo. Então, lembramos a definição de um logaritmo. Dizemos que log de base 𝑏 de 𝑦 igual a 𝑥 é equivalente a dizer 𝑏 elevado a 𝑥 igual a 𝑦. Bem, aqui, a nossa base é dois. Então, estamos essencialmente a perguntar qual é o expoente de dois que nos dará 32. Bem, sabemos que dois elevado a cinco é 32 e, portanto, log de base dois de 32 deve ser cinco. O valor de log de base dois de 10 mais log de base dois de 16 menos log de base dois de cinco é cinco.
Vamos agora considerar um exemplo que requer o uso da fórmula de mudança de base.
Determine o valor de log de base sete de 32 mais log de base sete de oito dividido por log de base sete de 10 menos log de base sete de cinco sem utilizar uma calculadora.
Vamos recordar algumas das regras dos logaritmos. Sabemos que, ao adicionar logaritmos cuja base é igual, multiplicamos simplesmente o argumento. Portanto, log da base 𝑏 de 𝑥 um mais log de base 𝑏 de 𝑥 dois é log de base um vezes 𝑥 dois. Temos uma regra semelhante para a subtração, mas desta vez dividimos os argumentos. E assim, vamos utilizar estas regras para calcular o numerador e o denominador da nossa fração. Log de base sete de 32 mais log de base sete de oito é igual a log de base sete de 32 vezes oito, mas 32 vezes oito é 256. Portanto, o nosso numerador torna-se log de base sete de 256. Então, o nosso denominador é log de base sete de 10 dividido por cinco, que é log de base sete de dois. E assim, simplificámos um pouco, e a nossa fração torna-se log de base sete de 256 dividido por log de base sete de dois.
Agora, precisamos de ter muito cuidado aqui. Um erro comum é pensar que, porque quando dividimos os argumentos, subtraímos os dois logaritmos, podemos simplesmente subtrair estes valores. Lembre-se, isto não é realmente o que dizem as nossas regras dos logaritmos. Em vez disso, vamos aplicar a fórmula de mudança de base, assim chamada porque literalmente nos permite mudar a base com a qual estamos a trabalhar.
Para que isto funcione, precisamos de uma fração composta por dois logaritmos cuja base seja igual. Portanto, log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por log de base 𝑏 de 𝑥 dois é log de base 𝑥 dois de 𝑥 um. Comparando esta forma geral com a nossa fração, descobrimos que a base 𝑏 é igual a sete. 𝑥 um é o argumento do logaritmo no topo da nossa fração, então é 256. E 𝑥 índice dois é o argumento do logaritmo no nosso denominador, então é dois. Isto significa que agora podemos escrever log de base sete de 256 sobre log de base sete de dois como log de base dois de 256.
Ainda não terminámos. Nós simplificámos completamente, mas precisamos de calcular isto. E assim, vamos recordar a definição de um logaritmo. Se dissermos log de base 𝑏 de 𝑦 igual a 𝑥, podemos dizer equivalentemente que 𝑏 elevado a 𝑥 deve ser igual a 𝑦. E assim, aqui, como a nossa base é dois, estamos a perguntar, que expoente de dois nos dá um valor de 256? Bem, dois elevado a oito é 256. E isto significa que log de base dois de 256 deve ser oito. Log de base sete de 32 mais log de base sete de oito, tudo dividido por log de base sete de 10 menos log de base sete de cinco é oito.
No nosso próximo exemplo, veremos como abordar um problema em que a base não está escrita explicitamente.
Qual das opções seguintes é igual a cinco log três sobre log quatro mais log seis?
Esta expressão pode parecer um pouco estranha, pois os nossos logs parecem não ter base. Se um log não tiver base, geralmente assumimos que a base é igual a 10. E assim, reescrevemos a nossa fração como cinco log de base 10 de três sobre log de base 10 de quatro mais log de base 10 de seis.
Então, vamos relembrar algumas regras dos logaritmos. Em primeiro lugar, sabemos que log de base 𝑏 de 𝑥 um mais log de base 𝑏 de 𝑥 dois é log de base 𝑏 de 𝑥 um vezes 𝑥 dois. Desde que as nossas bases sejam iguais, multiplicamos simplesmente os argumentos. E assim o denominador da nossa fração tornar-se-á log de base 10 de quatro vezes seis, que é log de base 10 de 24.
E o nosso numerador? Bem, log de base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝 para constantes reais 𝑝 é o mesmo que 𝑝 vezes log de base 𝑏 de 𝑥. O inverso é verdadeiro. Portanto, podemos escrever o nosso denominador como log de base 10 de três elevado a cinco. Mas três elevado a cinco é 243. E assim temos log de base 10 de 243 sobre log de base 10 de 24.
Observe que temos uma fração com dois logaritmos cujas bases são iguais. E assim podemos utilizar a fórmula de mudança de base. Esta diz que log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por log de base 𝑏 de 𝑥 dois pode ser escrito como log de base 𝑥 dois de 𝑥 um. Então, essencialmente, se as bases são iguais, fazemos do argumento do nosso denominador a nova base. E o argumento do nosso numerador torna-se o novo argumento. Neste caso, então, a base do nosso log é 24 e o seu novo argumento é 243. Portanto, podemos escrever a nossa fração como log de base 24 de 243. E a nossa resposta correta é, portanto, (C).
Observe que isto realmente significa que não importa a base que assumimos. Como terminámos com dois logaritmos com a mesma base, aplicamos simplesmente a fórmula de mudança de base. Poderíamos ter escolhido base dois ou base três. Mas lembre-se, a convenção geral é assumir que é de base 10.
Vamos considerar um exemplo final de como podemos aplicar a fórmula de mudança de base.
Simplifique o log de base três de 16 vezes o log de base dois de 243.
Precisamos de ter muito, muito cuidado aqui. O primeiro erro comum seria confundir as regras dos logaritmos e pensar que podemos adicionar 16 e 243. Isto, é claro, é o contrário da regra do produto e não seria aplicável de qualquer maneira, já que as bases são na verdade diferentes aqui. E assim, em vez disso, vamos recordar a fórmula de mudança de base. Esta diz que log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por log de base 𝑏 de 𝑥 dois pode ser escrito como log de base 𝑥 dois de 𝑥 um. Precisamos de uma fração com logaritmos no numerador e denominador. A base destes logaritmos precisa de ser igual. E se for este o caso, podemos reescrever isto como um logaritmo com uma nova base do argumento do nosso denominador.
Agora, de facto, estamos a determinar o produto de dois logaritmos, então vamos reescrever a nossa fórmula. Vamos multiplicar ambos os membros da equação por log de base 𝑏 de 𝑥 dois. E a seguir vamos comparar isto com a nossa expressão. Observe que no produto, a base do primeiro log é igual ao argumento do segundo. Agora, isto não funciona bem. Não temos um valor comum para 𝑥 dois na nossa expressão, mas podemos reescrever o nosso primeiro logaritmo. Sabemos que 16 é dois elevado a quatro. Então, reescrevemos o logaritmo de base três de 16 como logaritmo de base três de dois elevado a quatro. E, em seguida, utilizamos a nossa regra das potências e escrevemos isto como quatro vezes logarítmico de base três de dois. Portanto, a nossa expressão agora torna-se quatro log de base três de dois vezes log de base dois de 243.
Como a multiplicação é comutativa, esta pode ser realizada em qualquer ordem, podemos adicionar parênteses. E calcularemos log de base três de dois vezes log de base dois de 243 primeiro. Vamos fazer com que 𝑥 dois seja igual a dois. Então, 𝑥 um é 243 e 𝑏 é igual a três. Isto significa que podemos escrever log de base três de dois vezes log de base dois de 243 como log de base três de 243. E a nossa expressão agora é quatro vezes log de base três de 243. Mas, na verdade, podemos calcular log de base três de 243. Ao recordar a definição de logaritmo, perguntamo-nos, bem, que expoente de três dá 243?
Sabemos que três elevado a cinco é 243. Portanto, logaritmo de base três de 243 é realmente igual a cinco. E assim a nossa expressão simplifica muito bem para quatro vezes cinco, que é igual a 20. Log de base três de 16 vezes log de base dois de 243 utilizando a fórmula de mudança de base é 20.
Neste vídeo, aprendemos que para uma base fixa 𝑏 que é maior do que zero e diferente de um e números positivos 𝑥 um, 𝑥 dois e 𝑥, log de base 𝑏 de 𝑥 um mais log de base 𝑏 de 𝑥 dois é log de base 𝑏 de 𝑥 um vezes 𝑥 dois. Da mesma forma, log da base 𝑏 de 𝑥 um menos log da base 𝑏 de 𝑥 dois é log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por 𝑥 dois. E para constantes reais 𝑝, log de base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝 é o mesmo que 𝑝 vezes log de base 𝑏 de 𝑥. Vimos que a fórmula de mudança de base nos diz que log de base 𝑏 de 𝑥 um dividido por log de base 𝑏 de 𝑥 dois é log de base 𝑥 dois de 𝑥 um. Notamos que log de base de 𝑏 é igual a um e log de base 𝑏 de um é igual a zero e que, se uma expressão logarítmica não tiver base, assumimos que a sua base é igual a 10.
