Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como identificar, representar e reconhecer funções de descrições esquemáticas, diagramas sagitais e gráficos. Começaremos o vídeo descrevendo o que queremos dizer com relações e funções.
Uma relação ou relacionamento descreve uma propriedade entre os objetos de dois conjuntos. Se o objeto 𝑎 índice três do primeiro conjunto apresenta esta relação com o objeto 𝑏 índice sete no segundo conjunto, este pode ser representado com um diagrama sagital. Desenhamos uma seta de 𝑎 índice três a 𝑏 índice sete. Vamos agora considerar um exemplo da vida real.
O diagrama seguinte representa a relação “filho ou filha de”. O primeiro conjunto de nomes Emma, Chloe, Jennifer, Noah e Scarlett são os filhos e as filhas. O segundo conjunto de nomes são as mães ou os pais. Se considerarmos Emma, podemos ver que Emma é a filha de Madison e Liam. Podemos, portanto, deduzir que Chloe e Emma são irmãs, pois Madison e Liam são a mãe e o pai de ambas as meninas. Jennifer e Noah têm a mesma mãe, Amelia, mas têm pais diferentes. Antony é o pai de Jennifer e Daniel é o pai de Noah.
Vamos agora definir o que queremos dizer com função. Uma função é um tipo especial de relação que corresponde cada objeto do primeiro conjunto, chamado objeto, a exatamente um objeto do segundo conjunto, chamado imagem. Quando falamos em funções, os objetos geralmente são números. Veremos um exemplo da vida real primeiro.
A relação “vive em” é uma função, pois cada pessoa no primeiro conjunto está associada a apenas uma cidade no segundo conjunto. Podemos ver no diagrama que Hannah mora em Detroit, David mora em Nova York, tanto Ethan quanto Victoria moram em Boston e nenhuma das quatro pessoas mora em Chicago. Esta é claramente uma função, pois cada elemento do primeiro conjunto corresponde a exatamente um objeto do outro conjunto. Apenas uma seta sai de cada objeto.
As relações também podem ser representadas como um conjunto de pares ordenados. Neste caso, teríamos quatro pares ordenados: Hannah em Detroit, David em Nova York, Ethan em Boston e Victoria em Boston. O primeiro nome no par ordenado é a entrada e o segundo nome, a cidade neste caso, é a saída. Para que a nossa relação seja uma função, cada um dos objetos deve ser único.
Veremos agora algumas questões que envolvem relações e funções.
Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: a imagem dada representa uma função.
Temos dois conjuntos de valores. Temos os valores de 𝑥 ou dos objetos de quatro, cinco e oito e os valores de 𝑦 ou das imagens de dois, cinco, sete e nove. Somos solicitados decidir se esta figura representa uma função. Recordamos que uma função é uma relação em que cada objeto no primeiro conjunto ou os objetos correspondem a exatamente um objeto no segundo conjunto ou imagem. O número quatro no primeiro conjunto corresponde apenas ao número sete no segundo conjunto. Da mesma forma, o número oito no primeiro conjunto ou objeto corresponde apenas ao número cinco no segundo conjunto ou imagem.
Até agora, cada objeto corresponde a exatamente um objeto nas imagens. Temos um problema, no entanto, com o número cinco nos objetos, pois este corresponde a dois e a nove. Isto significa que a figura dada não representa uma função e a resposta correta é falsa. A figura não é uma função, pois cinco corresponde a dois e nove.
Na nossa próxima questão, precisamos de determinar qual dos três diagramas representa uma função.
Qual das seguintes relações representa uma função? É (A) 𝑎 para um e 𝑐 para três; opção (B) 𝑎 para um, 𝑏 para dois, 𝑐 para dois e 𝑐 para três; ou a opção (C) 𝑎 a três, 𝑏 a um e 𝑐 a três?
Para responder a esta questão, precisamos de recordar a nossa definição de função. Uma função é uma relação em que cada objeto no primeiro conjunto ou objeto corresponde a exatamente um objeto no segundo conjunto. Este é conhecido como imagem. As palavras-chave aqui são exatamente um. Na opção (A), a letra 𝑏 no objeto não corresponde a nenhum número na imagem. Isto significa que esta relação não representa uma função.
Na opção (B), as letras 𝑎 e 𝑏 correspondem a exatamente um objeto no segundo conjunto; 𝑎 corresponde a um e 𝑏 corresponde a dois. No entanto, a letra 𝑐 corresponde a dois objetos no segundo conjunto; corresponde ao número dois e ao número três. Isto significa que a relação (B) novamente não representa uma função.
Na opção (C), a letra 𝑎 está ligada apenas ao número três. A letra 𝑏 corresponde apenas ao número um. Finalmente, a letra 𝑐 corresponde apenas ao número três. Cada objeto no primeiro conjunto, as letras 𝑎, 𝑏 e 𝑐, correspondem a exatamente um objeto no segundo conjunto. Isto significa que a resposta correta é (C). Esta é a única relação que representa uma função.
A nossa próxima questão envolve identificar uma função de uma tabela.
Qual das opções seguintes representa uma função com objetos 𝑥 e imagens 𝑦? Tanto a relação A quanto a relação B têm cinco valores de objetos em 𝑥 e cinco valores de imagens em 𝑦 correspondentes. Por exemplo, na relação A, o objeto 𝑥 igual a menos três dá uma imagem 𝑦 igual a seis. Na relação B, quando 𝑥 é igual a menos dois, 𝑦 é igual a seis.
Para responder a esta questão, precisamos de recordar a nossa definição de função. Uma função é uma relação em que cada valor dos objetos tem exatamente um valor de imagem. As palavras-chave aqui são exatamente um. Em relação A, temos cinco objetos distintos: menos três, zero, três, oito e menos 10. Cada um deles tem exatamente um valor de imagem: os números seis, oito, 20, quatro e oito, respetivamente. O facto de oito aparecer duas vezes na imagem 𝑦 não importa. A chave para qualquer função é que cada objeto, 𝑥, tem exatamente um valor, 𝑦. Na relação A, o objeto zero corresponde apenas a oito e o objeto menos 10 corresponde apenas a oito. Podemos, portanto, concluir que a relação A é definitivamente uma função.
Vamos agora considerar porque é que a relação B não é uma função. Ao olhar para os nossos valores dos objetos na relação B, notamos que o número menos dois aparece duas vezes. O objeto menos dois dá-nos uma imagem de seis, mas também nos dá uma imagem de 20. Isto significa que não tem exatamente um valor de imagem. A relação B, portanto, não é uma função, confirmando que a resposta correta é a relação A.
A nossa próxima questão, veremos coordenadas ou pares ordenados. Como pode ver, esta questão é muito semelhante à anterior. No entanto, desta vez, os nossos dados foram escritos como pares ordenados.
Qual das seguintes relações representa uma função? É a relação A, quatro, 12; quatro, 15; cinco, 18; cinco, 21; e seis, 24? Ou é a relação B, quatro, 12; cinco, 15; seis, 18; sete, 21; e oito, 24?
Lembramos que para uma relação ser uma função, cada valor de 𝑥 ou objeto deve ter exatamente um valor de 𝑦 ou imagem correspondente. Vamos primeiro considerar a relação A. Devemos notar imediatamente aqui que o objeto ou valor de 𝑥 quatro aparece duas vezes. Da mesma forma, o valor de 𝑥 cinco aparece duas vezes. O valor de 𝑥 quatro corresponde ao valor de 𝑦 12 e ao valor de 𝑦 15. E o valor de 𝑥 cinco corresponde ao valor de 𝑦 18 e ao valor de 𝑦 21. Isto significa que cada valor de 𝑥 não tem exatamente um valor de 𝑦. Isto significa que a relação A não é uma função.
Na relação B, por outro lado, temos cinco valores de 𝑥 únicos. Os números quatro, cinco, seis, sete e oito. Estes correspondem a um valor de 𝑦, os números 12, 15, 18, 21 e 24, respetivamente. Como cada valor de 𝑥 tem exatamente um valor de 𝑦, a resposta correta é a relação B. Isto representa uma função.
Na nossa penúltima questão, precisamos de determinar que conjunto de pares ordenados são funções.
Qual das relações apresentadas pelo conjunto de pares ordenados embaixo não representa uma função? É (A) três, 11; 11, 19; 27, 35; e 43, 43. (B) Três, 11; quatro, 11; cinco, 11; e seis, 11. (C) menos oito, quatro; menos nove, quatro; 10, quatro; e 11, quatro. Ou (D) três, quatro; 11, oito; três, 12; e 11, 11?
Lembramos que uma função é uma relação que faz corresponder todos os valores de 𝑥 com exatamente um valor de 𝑦. Isto significa que dentro de uma relação de pares ordenados, cada valor de 𝑥 deve aparecer apenas uma vez. Na opção (A), temos quatro valores de 𝑥 distintos ou únicos, os números três, 11, 27 e 43. Isto significa que a opção (A) é uma função. A opção (B) também tem quatro valores de 𝑥 exclusivos, os números três, quatro, cinco e seis. O facto de cada um dos valores de 𝑦 ser 11 não afeta o facto de ser uma função. Cada valor de 𝑥 corresponde a exatamente um valor de 𝑦. Portanto, (B) também é uma função.
A opção (C) é uma função exatamente pelo mesmo motivo. Temos quatro valores de 𝑥, menos oito, menos nove, 10 e 11, todos correspondem a um valor de 𝑦 de quatro. Isto sugere que a opção (D) não é uma função. Sabemos que isto é verdade porque o objeto ou valor de 𝑥 três corresponde ao valor de 𝑦 quatro e ao valor de 𝑦 12. Da mesma forma, o valor de 𝑥 11 corresponde aos valores de 𝑦 oito e 11. A opção (D) não é, portanto, uma função, pois cada valor de 𝑥 não se conecta a exatamente um valor de 𝑦. A resposta correta é a opção (D).
A nossa questão final envolve relações representadas graficamente.
Qual das seguintes relações representa uma função, dado que 𝑥 é o objeto e 𝑦 é a imagem?
Recordamos que uma função é uma relação em que cada objeto tem exatamente uma imagem. Dizem-nos que o objeto é 𝑥 e a imagem é 𝑦. Portanto, todos os valores de 𝑥 devem ter exatamente um valor de 𝑦 correspondente. No nosso primeiro gráfico, podemos ver que quando 𝑥 é igual a um, temos dois valores de 𝑦, os valores menos um e um. Da mesma forma, quando 𝑥 é igual a quatro, 𝑦 pode ser igual a dois ou menos dois. O mesmo acontece quando 𝑥 é igual a nove. Os pares ordenados nove, menos três e nove, três estão no gráfico. Isto significa que o gráfico (A) não é uma função, pois cada objeto ou valor de 𝑥 não tem exatamente uma imagem ou valor de 𝑦.
A opção (B), por outro lado, é uma função. Na verdade, é uma função linear. Cada valor de 𝑥 ou de objeto tem exatamente um valor de 𝑦 ou de imagem. Por exemplo, quando 𝑥 é igual a dois, 𝑦 é igual a oito e quando 𝑥 é igual a menos seis, 𝑦 é igual a menos oito. Qualquer que seja o valor de 𝑥 que escolhermos, haverá exatamente um valor de 𝑦. A resposta correta é, portanto, o gráfico (B).
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Descobrimos neste vídeo que uma função é um tipo especial de relação entre dois conjuntos. Uma relação é uma função se (i) para cada elemento do conjunto dos objetos, houver uma imagem e (ii) nenhum elemento do conjunto dos objetos corresponder a mais do que um elemento das imagens. Isto pode ser resumido dizendo que uma função é uma relação em que cada objeto da entrada corresponde a exatamente um objeto da saída. Vimos neste vídeo que as funções podem ser representadas como diagramas, pares ordenados, em tabelas ou em gráficos.
