Vídeo: Derivando Funções Logarítmicas Utilizando a Regra da Cadeia

Encontre 𝑑𝑦/𝑑𝑥, dado que 𝑦 = ln (𝑥² + 7).

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Encontre 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥, dado que 𝑦 é igual ao logaritmo natural de 𝑥 ao quadrado mais sete.

𝑦 é a composição de funções. É a composição da função de logaritmo natural e a função que leva 𝑥 a 𝑥 ao quadrado mais sete. E então este é um candidato natural para a regra da cadeia. Seja 𝑧 igual 𝑥 ao quadrado mais sete. Então, 𝑦 é igual ao logaritmo natural de 𝑧.

Agora, a regra da cadeia nos diz que 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é 𝑑𝑦 por 𝑑𝑧 vezes 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥. Vamos aplicar essa regra ao nosso problema. Precisamos encontrar 𝑑𝑦 por 𝑑𝑧, que é a derivada do logaritmo natural de 𝑧 em relação a 𝑧. E a derivada da função de logaritmo natural é a função inversa. Então 𝑑𝑦 por 𝑑𝑧 é um sobre 𝑧.

Agora, que tal 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥? Bem, 𝑧 é 𝑥 ao quadrado mais sete. E derivando em relação a 𝑥, obtemos dois 𝑥. Podemos escrever isso como uma fração de dois 𝑥 sobre 𝑧. Mas ainda não terminamos porque temos 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 em termos de ambos 𝑥 e 𝑧 e realmente gostaríamos em termos de 𝑥 sozinho, se isso for possível. E isso é possível. Podemos substituir 𝑥 ao quadrado mais sete por 𝑧. E fazendo isso, nós temos a nossa resposta final dois 𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado mais sete.

Este é um caso especial da regra mais geral de que a derivada do logaritmo de uma função 𝑓 é a derivada dessa função 𝑓 linha dividida pela função 𝑓. Esta é uma regra muito útil e aparece de vez em quando. E é em si um caso especial da regra da cadeia mais geral.

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