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Considere os seguintes gráficos. Qual destes é o gráfico 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 mais um ao quadrado dividido por 𝑥 menos um vezes 𝑥 mais três?
Então, aqui nós temos uma função racional. É uma fração e as funções racionais têm assíntotas. Os denominadores têm que ser diferentes de zero. Porque se você pegar qualquer coisa e dividir por zero, ela será indefinida, então não queremos isso! Então o que faria nosso denominador zero seria um e menos três. Então, como conseguimos isso? Devemos pegar os dois fatores que estão no denominador e defini-los como zero.
Então, agora precisamos adicionar um à nossa equação à esquerda e subtrair três da nossa equação à direita. Então, se nós substituíssemos um para 𝑥, apenas olhando para o denominador, teríamos zero vezes menos dois e zero vezes qualquer coisa é zero. Então, se nós substituíssemos um na expressão à esquerda seria zero, e se nós substituíssemos menos três na expressão à direita seria zero. Mas desde que você as multiplique, qualquer uma delas nos daria uma resposta final de zero em nosso denominador, e novamente não queremos isso.
Então, aqui podemos ver que cada gráfico na verdade tem as assíntotas em menos três e um. Isso não elimina nenhuma das nossas opções. Então, nosso próximo passo seria ver o que os gráficos estão fazendo quando estão muito próximos dessas assíntotas, e então saberemos, então vamos pensar nisso. Se tivermos duas assíntotas em menos três e um, isso significa que nunca conseguiremos realmente pegar esses valores. Não funciona para a nossa função. Assim, podemos substituir números realmente próximos e ver o que acontece.
Assim, podemos inserir valores à esquerda de menos três, portanto, apenas um pouco mais negativo do que menos três, portanto, menos 3.01, menos 3.0009 e assim por diante. E então nós também queremos substituir números à direita daquela assíntota, então mais positivo, portanto, menos 2.999, menos 2.9999999 e assim por diante. E então a mesma coisa para um, os números que são muito próximos de um que é um pouco menor que isso e um pouco maior que isso.
Então, primeiro vamos começar com números à esquerda mais à esquerda da nossa assíntota, 𝑥 é igual a menos três. Por exemplo, por exemplo, menos 3.01, vamos substituir ele. Então, ao usar nossa função em vez de 𝑥, estamos substituindo-o por menos 3.01. E nós temos 100.75, então algo bem alto. Então, agora vamos substituir um número que seja ainda mais próximo de 𝑥 igual a menos três. Então, em vez de menos 3.01, que tal 𝑥 é igual a menos 3.001? E quando substituímos isso, temos 1000.75, muito mais alto que aquele!
Então deve estar subindo na direção 𝑦, tornando-se muito maior. Assim, podemos ir em frente e excluir a opção a, porque apenas à esquerda da nossa assíntota de 𝑥 é igual a menos três, deveria estar aumentando, crescendo. Então, agora vamos olhar para a direita dessa assíntota, para que possamos prosseguir e excluir a opção a, porque ela deveria estar aumentando; o número deveria ser muito grande para 𝑦, já que nos aproximamos da assíntota de 𝑥 igual a menos três.
Então, agora vamos substituir números à direita, como 𝑥 sendo menos 2.9 e 𝑥 sendo menos 2.99. Então, em 𝑥 é igual a menos 2.9, obtemos um número negativo, menos 9.26. Agora, vamos substituir o número que está mais próximo do traço, menos 2.99, e temos um número ainda mais negativo, menos 99.25. Então, isso está diminuindo à medida que nos aproximamos de 𝑥 igual a menos três do lado direito dela.
E todas as nossas três opções restantes fazem isso; no entanto, algumas delas são um pouco mais altas que as outras, então por que não substituímos menos um para 𝑥 e vemos onde devemos parar? Então, substituindo o menos um, temos zero ao quadrado dividido pelo menos dois vezes dois. E zero dividido por menos quatro é zero. Então, em 𝑥 igual a menos um, deveríamos estar em zero para 𝑦, o que significaria que nossa resposta teria que ser o gráfico c.
No entanto, apenas para verificar novamente, vamos continuar verificando os valores em torno de 𝑥 é igual a um para a assíntota e certificar-se. Então os números no lado esquerdo da assíntota 𝑥 é igual a um ou um pouco menos que um, então vamos substituir 𝑥 é igual a 0.9 e 0.99. Quando substituímos 0.9, obtemos menos 9.26. E agora estamos substituindo um número um pouco mais próximo dessa assíntota 𝑥 igual a um e temos menos 99.25. Então, estamos diminuindo novamente, o que está acontecendo em nosso gráfico.
Então é bom! Então, finalmente, vamos substituir números à direita dessa assíntota 𝑥 é igual a um, então um pouco maior que um. Então vamos substituir 1.01 e 1.001. Quando substituímos 1.01, obtemos 100.75, então um número bem grande. E agora um número que está mais próximo dessa linha, 1.001, nós obtemos um número ainda maior, então ele estará aumentando, o que é exatamente o que está acontecendo nessa opção do gráfico c. Então, esse gráfico é o que representa nossa função.
