Vídeo: Iterando uma Função

Podemos definir uma sequência 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, ... usando a fórmula recursiva 𝑥_(𝑖) = 𝑓(𝑥_(𝑖 − 1)) para alguma função 𝑓 e valor inicial 𝑥₀. Escreva os primeiros 5 termos da sequência gerada por 𝑓(𝑥_ (𝑖)) = 8 − 3𝑥_ (𝑖 − 1), 𝑥₀ = −11.

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Transcrição do vídeo

Podemos definir uma sequência 𝑥 sub zero, 𝑥 sub 1, 𝑥 sub 2 usando a fórmula recursiva 𝑥 sub 𝑖 igual a 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 menos 1 para alguma função 𝑓 e valor inicial 𝑥 sub zero. Escreva os cinco primeiros termos da sequência gerada por 𝑓 de 𝑥 sub 𝑖 que é igual a oito menos três 𝑥 sub 𝑖 menos um, em que 𝑥 sub zero é igual a menos 11.

Então nos é dito que 𝑥 sub zero é igual a menos 11, e 𝑥 sub zero é nosso valor inicial. Então, para obter outro termo nesta sequência, 𝑥 sub zero é o primeiro, então 𝑥 sub 𝑖 é outro. E observe que é igual a oito menos três 𝑥 sub 𝑖 menos um. Então, se isso é para 𝑥 sub 𝑖, 𝑥 sub 𝑖 menos um seria o número que obtivemos antes.

Então, se quisermos saber os primeiros cinco termos da sequência, já sabemos que 𝑥 sub zero é menos 11. Então, se queremos o próximo, 𝑥 sub um, para descobrirmos que, se 𝑖 é um, um menos um é zero. E nós sabemos o que 𝑥 sub zero é: é menos 11. Então, como dissemos antes, basicamente estamos substituindo o número que recebemos antes disso.

Então, menos três vezes menos 11 é um positivo 33, e oito mais 33 nos dá 41. Então 𝑥 sub um é igual a 41. Então, para obter 𝑥 sub dois, nós substituímos o número que obtivemos logo antes, que foi 41. Portanto, temos oito menos três vezes 41 e menos três vezes 41 é 123, menos 123. Assim, oito menos 123 seriam menos 115. Assim, 𝑥 sub dois é menos 115.

Então, para obter 𝑥 sub três, tomamos oito menos três vezes menos 115. Então temos oito mais 345, que é igual a 353. Então, para obter 𝑥 sub quatro, tomamos oito menos três vezes 353, que é igual a oito menos 1059, fazendo 𝑥 sub quatro igual a menos 1051.

Assim, os primeiros cinco termos seriam menos 11, 41, menos 115, 353 e menos 1051. Novamente, esses seriam os primeiros cinco termos de nossa sequência.

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