Question Video: Juros Compostos Semanais e Trimestrais

Video Transcript

Qual é a maior taxa anual e de quanto: 18.2 por cento ao ano composto semanalmente ou 18.5 por cento ao ano composto trimestralmente?

Em face disso, este é um problema muito simples. Temos uma opção de 18.2 por cento de juros por ano e 18.5 por cento de juros por ano. Certamente, é muito fácil. Você vai para a maior taxa de juros. No entanto, as coisas não são tão simples assim. O plano com uma taxa de juros de 18.2 por cento ao ano é composto semanalmente. Isso significa que os juros são adicionados semanalmente à conta. E como há 52 semanas no ano, perto o suficiente, isso significa que os juros são adicionados 52 vezes por ano. Por outro lado, o plano com uma taxa de juros de 18.5 por cento é composto trimestralmente. Isso significa que os juros são adicionados a cada trimestre ou quatro vezes por ano.

Podemos agora pensar que seria melhor ter juros adicionados 52 vezes por ano do que apenas quatro vezes por ano. Mas, claro, isso depende de quanto de juros é adicionado a cada vez. Há uma fórmula para o saldo na conta bancária em termos do valor inicialmente investido, chamado de principal; a taxa anual, 𝑟; o número de vezes que os juros são compostos por ano, 𝑛; e a quantidade de tempo em anos que o dinheiro é investido, 𝑡. Podemos ver que a configuração 𝑛 igual a um, obtemos a fórmula de juros compostos normais, em que os juros são adicionados uma vez por ano.

Vamos substituir nesta fórmula para encontrar a taxa anual para o primeiro plano. Nosso saldo 𝐴 será igual ao principal que investimos vezes um mais a taxa de juros por ano, que convertemos em decimal, dividido pelo número de vezes que o juro é composto por ano. Estamos compondo semanalmente e isso é 52 vezes por ano. Também precisamos elevar ao expoente 52. E, à medida que procuramos a taxa anual efetiva, encontraremos o saldo após um ano. Então 𝑡 é um. Para tornar as coisas mais claras, talvez devêssemos chamar 𝑟 a taxa de juros por ano e não a taxa anual, o que significa outra coisa neste contexto.

Se agora colocarmos este valor em nossas calculadoras, obteremos 1.19923 ponto, ponto, ponto. Então, depois de um ano, o saldo em nossa conta é de 1.1923 ponto, ponto, ponto multiplicado pelo valor principal que investimos. A taxa de juros é dada por essa parte fracionária. Temos um extra de 0.19923 vezes nosso principal 𝑃 do ano. Portanto, temos 19.923 ponto, ponto, ponto por cento mais dinheiro do que investimos no início do ano. E uma taxa anual efetiva de 19.923 ponto, ponto, ponto por cento. Essa é a taxa de juros que você precisaria para uma conta na qual os juros fossem compostos uma vez por ano para ser equivalente à conta de 18.2 por cento composta semanalmente.

É exatamente o mesmo processo para o outro plano, 18.5 por cento composto trimestralmente. Nosso valor de 𝑟 é 0.185 porque a taxa de juros por ano para essa conta é de 18.5 por cento. E nosso valor de 𝑛 é quatro porque estamos compondo trimestralmente. Ou seja, quatro vezes por ano, como mencionado anteriormente. 𝑡, o tempo em anos em que estamos investindo nosso valor principal, ainda é um. Então, não precisamos multiplicar o expoente quatro por nada. Quatro vezes um é quatro.

Colocamos essa expressão em nossas calculadoras. E nós temos 1.19823 ponto, ponto, ponto. Portanto, temos 19.823 ponto, ponto, ponto, porcentuais a mais de dinheiro do que tínhamos no início do ano para uma taxa anual efetiva de 19.823 ponto, ponto, ponto porcento.

Agora que temos as taxas anuais efetivas dos dois planos, podemos compará-las para ver qual plano é melhor. 19.923 ponto, ponto, ponto porcentual é uma taxa anual efetiva maior do que 19.823 ponto, ponto, ponto percentual. Portanto, o plano com a taxa de juros de 18.2 por cento combinada semanalmente é melhor. Quanto melhor é isso? Não muito. A diferença nas taxas anuais efetivas é de cerca de 0.1 por cento. Mas é, no entanto, melhor. O que pode ser surpreendente, se você pensou que o plano de 18.5 por cento ao ano seria automaticamente melhor do que o plano de 18.2 por cento.

Vimos o quanto é boa a conta bancária ou plano de investimento, depende não apenas da taxa de juros anunciada, mas também da frequência com que esses juros aumentam. Planos com uma taxa anunciada mais baixa podem, na verdade, ser melhores do que aqueles com uma taxa anunciada mais alta, se forem compostos com mais frequência.