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Vídeo da aula: Resolvendo equações do segundo grau: aplicando raízes quadradas Matemática • 8º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações do segundo grau sem termo linear utilizando a propriedade da raiz quadrada.

12:40

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações do segundo grau sem termo linear utilizando a propriedade da raiz quadrada. Vamos começar este vídeo recapitulando o que são equações do segundo grau.

Uma equação do segundo grau é uma equação da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes e 𝑎 não é igual a zero. A razão pela qual 𝑎 não é igual a zero é que, se fosse, não teríamos nenhum termo em 𝑥 ao quadrado e a equação seria apenas uma equação linear. Um exemplo de uma equação do segundo grau poderia ser dois 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 sobre dois menos três igual a zero.

Quando se trata de resolver uma equação do segundo grau, isto na verdade significa que estamos a tentar determinar o valor de 𝑥. As equações do segundo grau terão até duas soluções diferentes para 𝑥. E há várias maneiras diferentes de resolver. Por exemplo, poderíamos resolver uma equação do segundo grau fatorizando ou mesmo desenhando um gráfico. Neste vídeo, veremos como podemos utilizar a propriedade da raiz quadrada. Podemos determinar a raiz quadrada de uma equação do segundo grau quando não tem um termo linear. Este é o termo em 𝑥. Portanto, será da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑐 igual a zero. Vejamos um exemplo.

Digamos que temos a equação 𝑥 ao quadrado igual a 25. Para resolver isto em 𝑥, poderíamos aplicar a raiz quadrada a ambos os membros desta equação. E como a raiz quadrada de 25 é igual a cinco, podemos dizer que 𝑥 é igual a cinco. No entanto, também devemos lembrar que menos cinco multiplicado por menos cinco também dá uma resposta de 25. Portanto, precisamos de considerar as raízes positivas e negativas. Podemos fazer isto utilizando o símbolo de mais ou menos. Portanto, 𝑥 igual a mais ou menos cinco indica duas soluções diferentes: 𝑥 igual a mais cinco e 𝑥 igual a menos cinco. Mas o símbolo de mais ou menos permite-nos escrever isto de forma mais conveniente. Vamos agora dar uma olhadela a algumas questões.

Resolve 𝑥 mais seis ao quadrado é igual a quatro.

Podemos lembrar que, ao resolver uma equação, procuramos determinar o valor de 𝑥. Então, vamos ver como resolveremos esta equação. Um método de resolver esta equação será aplicar a raiz quadrada a ambos os membros. Isto dá-nos 𝑥 mais seis igual à raiz quadrada de quatro. Mas devemos recordar que, quando estamos aplicamos raízes quadradas, precisamos de considerar as raízes positivas e negativas. E podemos fazer isto utilizando o símbolo de mais ou menos. Isto equivale a dizer que 𝑥 mais seis é igual a raiz quadrada positiva de quatro e 𝑥 mais seis é igual a raiz quadrada negativa de quatro. Aplicar a raiz quadrada de quatro dá-nos uma resposta de dois. Portanto, no segundo membro, temos mais ou menos dois.

Para determinar 𝑥 por si só, subtraímos seis de ambos os membros da equação. Agora podemos escrever as duas soluções: 𝑥 igual a mais dois menos seis ou 𝑥 igual a menos dois menos seis. Mais dois menos seis dá-nos menos quatro, e menos dois menos seis dá-nos menos oito. Portanto, temos 𝑥 igual a menos quatro ou 𝑥 igual a menos oito. E esta será a nossa resposta à questão. Mas é importante lembrar que não estamos a dizer que apenas uma destas soluções funcionará. Estamos a dizer que ambas funcionarão.

Podemos verificar as nossas respostas substituindo ambas de novo na equação original. Quando 𝑥 é igual a menos quatro, menos quatro mais seis dar-nos-á dois. E dois ao quadrado é igual a quatro. E quando 𝑥 é igual a menos oito, teremos menos oito mais seis, que é menos dois. E menos dois ao quadrado também é igual a quatro. E aí temos a nossa resposta.

Mas é importante notar que há pelo menos um outro método que poderíamos ter utilizado para resolver isto. Poderíamos ter começado por expandir os parênteses. 𝑥 mais seis ao quadrado é equivalente a 𝑥 mais seis multiplicado por 𝑥 mais seis. O uso de um método como o PEIU dar-nos-ia 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais seis 𝑥 mais 36 igual a quatro. E poderíamos simplificar juntando nossos termos em 𝑥. Para obter todos os nossos termos num membro e zero no outro membro, precisaríamos de subtrair quatro.

Para resolver esta equação, agora precisamos de fatorizar. E assim 𝑥 ao quadrado mais 12𝑥 mais 32 nos fatores do primeiro membro entre parênteses 𝑥 mais quatro e 𝑥 mais oito. Para resolver isto, temos 𝑥 mais quatro igual a zero ou 𝑥 mais oito igual a zero, o que significa que 𝑥 é igual a menos quatro ou 𝑥 é igual a menos oito. Esta é a mesma resposta que obtivemos quando determinámos a raiz quadrada. Ambos os métodos são válidos para resolver esta equação, mas certamente há muito menos trabalho envolvido em determinar a raiz quadrada.

Vamos dar uma olhadela a outra questão.

Determina o conjunto-solução da equação quatro sobre 𝑥 igual a 𝑥 sobre nove.

Para começar a resolver isto, podemos considerar o produto vetorial. Quatro multiplicado por nove dá-nos 36 e 𝑥 multiplicado por 𝑥 dá-nos 𝑥 ao quadrado. Podemos escrever isto se preferirmos como 𝑥 ao quadrado igual a 36. Podemos agora notar mais facilmente que esta é uma equação do segundo grau, pois temos um termo em 𝑥 ao quadrado e nenhuma outra potência maior de 𝑥.

A maneira mais rápida de a resolver para determinar o valor de 𝑥 é aplicar a raiz quadrada a ambos os membros da equação. Quando estamos a aplicar raízes quadradas, é importante considerarmos as soluções positivas e negativas. Portanto, 𝑥 é igual a mais ou menos a raiz quadrada de 36. A raiz quadrada de 36 é seis. Então temos 𝑥 igual a mais ou menos seis. Mas precisamos de dar a nossa resposta como um conjunto de soluções. Portanto, damos a nossa resposta de que é o conjunto seis e menos seis.

Obviamente, vale sempre a pena verificar a nossa resposta inserindo os nossos valores de novo na equação original. Quando 𝑥 é igual a seis, teremos quatro sobre seis igual a seis sobre nove. E sabemos que ambas as frações são equivalentes a dois terços. Quando 𝑥 é igual a menos seis, teremos menos quatro sextos é igual a menos seis nonos. E ambas são equivalentes a menos dois terços. Então, confirmámos que a resposta é o conjunto seis e menos seis.

Vamos dar uma olhadela noutra questão. Se desejares, podes fazer pausa no vídeo e ver se consegues determinar a solução.

Determina o conjunto-solução da equação 𝑥 menos cinco ao quadrado igual a 100 no conjunto dos números racionais.

Um dos métodos que podemos utilizar para determinar o valor de 𝑥 é reorganizar esta equação. Começaríamos por observar que, como temos um quadrado no primeiro membro, queremos fazer a operação inversa que é determinar a raiz quadrada de ambos os membros desta equação. Também queremos considerar as soluções positivas e negativas para a nossa raiz quadrada. Então, escrevemos que 𝑥 menos cinco é igual a mais ou menos a raiz quadrada de 100. Lembra-te de que a nossa equação que temos é uma equação do segundo grau e equações do segundo grau podem ter até duas soluções diferentes. Devemos reconhecer que 100 é um quadrado perfeito. Então, isto dar-nos-á mais ou menos 10 no segundo membro.

Para determinar 𝑥 sozinho, devemos adicionar cinco a ambos os membros desta equação, dando-nos 𝑥 igual a mais ou menos 10 mais cinco. É um pouco mais organizado escrever isto como 𝑥 igual a cinco mais ou menos 10, mas isto realmente não importa. Agora precisamos de determinar as nossas duas soluções diferentes. Teremos 𝑥 igual a cinco mais 10 e 𝑥 igual a cinco menos 10. Cinco mais 10 é 15 e cinco menos 10 é menos cinco. E indicamos estas duas soluções dizendo 𝑥 igual a 15 ou 𝑥 igual a menos cinco.

Vamos verificar estes valores na nossa equação original. Quando 𝑥 é igual a 15, teremos 15 menos cinco, que é 10, e 10 ao quadrado nos dá 100. A segunda solução, quando 𝑥 é igual a menos cinco, teremos cinco menos cinco, o que será menos 10. E menos 10 ao quadrado também nos dá 100. Finalmente, precisamos de dar a nossa resposta como um conjunto-solução. Então escrevemos o conjunto menos cinco, 15.

Na próxima questão, veremos como às vezes precisamos de reorganizar um pouco mais antes de determinarmos as raízes quadradas.

Determina o conjunto-solução da equação menos dois 𝑥 ao quadrado mais 15 igual a 𝑥 ao quadrado menos 12.

Para começar a resolver esta equação do segundo grau, precisamos de reunir os termos semelhantes. Podemos começar por subtrair 𝑥 ao quadrado de ambos os membros da equação. Isto dá-nos menos três 𝑥 ao quadrado mais 15 igual a menos 12. Em seguida, subtraímos 15 de ambos os membros, o que nos dá menos três 𝑥 ao quadrado igual a menos 27. Na próxima etapa, dividimos ambos os membros desta equação por menos três. Então, 𝑥 ao quadrado é igual a nove.

Na etapa final, precisamos de fazer a operação inversa do quadrado, que é obter a raiz quadrada. No entanto, devemos lembrar as raízes quadradas positivas e negativas. Então, 𝑥 é igual a mais ou menos três. E escrevemos isto porque mais três multiplicado por mais três dá-nos nove e menos três multiplicado por menos três dá-nos nove.

É importante lembrar-nos deste símbolo de mais ou menos quando estivermos a resolver equações do segundo grau, pois indicará duas soluções diferentes para a equação do segundo grau. Neste caso, serão 𝑥 igual a três ou 𝑥 igual a menos três. Aqui, damos a resposta na notação de conjunto como menos três, três.

Na questão final, veremos um exemplo em que o método da raiz quadrada não dá nenhuma solução.

Determina o conjunto-solução da equação 44𝑥 ao quadrado mais nove igual a zero, dado que 𝑥 é um elemento do conjunto dos números reais.

Vamos começar a resolver esta equação reorganizando-a para isolar o termo 𝑥 ao quadrado. Portanto, subtrair nove de ambos os membros desta equação dá-nos 44𝑥 ao quadrado igual a menos nove. Em seguida, dividimos ambos os membros por 44, então 𝑥 ao quadrado é igual a menos nove sobre 44. Podemos então obter a raiz quadrada de ambos os membros desta equação e considerar as raízes positivas e negativas. Podemos, portanto, escrever que 𝑥 é igual a mais ou menos a raiz quadrada de menos nove sobre 44.

No entanto, podes perceber que temos um problema. E é o facto de que estamos a tentar obter a raiz quadrada de um número negativo. Nenhuma destas soluções para 𝑥 nos dá uma resposta que seja um número real, pois ambas têm a raiz quadrada de um valor negativo. Não há soluções para esta resposta no conjunto dos números reais. Como conjunto, então, a resposta será o conjunto nulo.

Antes de terminarmos com esta questão, há algumas coisas a serem observadas. Em primeiro lugar, não importa o método que utilizamos para resolver isto. Não teremos solução nos números reais. Em segundo lugar, se considerarmos o gráfico da função 𝑓 de 𝑥 igual a 44𝑥 ao quadrado mais nove, não ter soluções para 𝑥 significa simplesmente que o gráfico não passa pelo eixo O𝑥.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos como podemos utilizar o método da raiz quadrada para resolver uma equação do segundo grau e podemos fazer isso utilizando as etapas abaixo. Em primeiro lugar, se ainda não o tiver feito, precisamos de reunir os termos 𝑥 ao quadrado e recolher os termos constantes do outro membro da equação. Em seguida, obtemos a raiz quadrada de ambos os membros da equação. Finalmente, devemos considerar os valores positivos e negativos das raízes. O sinal de mais ou menos é uma maneira útil de indicar estes dois valores.

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