Vídeo: O Produto Wallis para Pi, Provado Geometricamente

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Produto Wallis para Pi, Provado Geometricamente

25:00

Transcrição do vídeo

Certo, acho que você vai gostar disso. Quero mostrar um resultado bonito que revela uma conexão surpreendente entre uma série simples de frações e a geometria dos círculos. Mas, diferentemente de outros resultados como esse que você já viu antes, este envolve multiplicar as coisas em vez de adicioná-las. Agora, o vídeo que você está prestes a assistir é particularmente empolgante para o nosso conjunto 3blue1brown, porque este é um pouco diferente da maioria dos vídeos que já fizemos.

Se você recuar e pensar a respeito, o valor de qualquer tipo de apresentação matemática vem de uma combinação da matemática subjacente e de todas as opções necessárias para comunicá-la. E para quase todo o conteúdo deste canal, a matemática subjacente é algo bem conhecido no campo. É baseado na teoria geral ou em algum artigo específico. E minha esperança é que a novidade venha da metade da comunicação. E com este vídeo, o resultado que estamos discutindo, um produto infinito muito famoso para 𝜋 conhecido como produto Wallis, é de fato uma matemática bem conhecida. No entanto, o que apresentaremos é, a nosso conhecimento, uma prova mais original desse resultado.

Por um contexto, depois de assistir ao nosso vídeo sobre o problema da Basileia, Sridhar, o novo membro do 3b1b de que alguns de vocês se lembram do vídeo sobre números de cores e de corda, ele passou algum tempo pensando sobre a abordagem adotada nesse vídeo, bem como pensando na conexão entre o problema da Basileia e o produto Wallis. E ele tropeçou em uma nova prova da relação entre o produto Wallis e 𝜋. Quero dizer, deixarei em aberto a possibilidade de que um argumento desse estilo esteja oculto em algum lugar da literatura além do que nossa pesquisa provocou. Mas pelo menos posso dizer que foi encontrado de forma independente. E que, se existe, fez um trabalho fantástico se escondendo da opinião pública. Portanto, sem mais delongas, vamos mergulhar na matemática.

Considere o produto dois sobre um vezes quatro sobre três vezes seis sobre cinco, e assim por diante. Bem, o que estamos fazendo é incluir todos os números pares como numeradores e números ímpares como denominadores. Claro, todos os fatores aqui são maiores que um. Assim, à medida que você avança na série, multiplicando cada novo fator um por um, o resultado fica cada vez maior. De fato, acontece que eventualmente fica maior do que qualquer limite finito. Portanto, nesse sentido, não é super interessante. Apenas explode até o infinito.

E agora, por outro lado, se você mudar um pouco as coisas, olhando para dois dividido por três vezes quatro dividido por cinco vezes seis dividido por sete e assim por diante, todos esses fatores são menores que um. Portanto, o resultado fica cada vez menor. E desta vez, a série acaba se aproximando de zero. Mas e se misturarmos os dois? Se você olhar para dois sobre um vezes dois sobre três vezes quatro sobre três vezes quatro sobre cinco, e assim por diante, onde agora os produtos parciais continuam subindo e descendo e depois subindo e descendo e depois subindo um pouco e descendo um pouco até um pouco menos até que todos esses saltos e quedas quase não mudem.

Portanto, agora, ele deve estar convergindo para algum tipo de valor finito positivo. Mas qual é esse valor? Acredite ou não, descobriremos que isso é igual a 𝜋 dividido por dois. E para entender a conexão entre este produto, aparentemente não relacionado a círculos, e 𝜋, precisamos fazer uma pequena digressão por algumas ferramentas geométricas. É uma digressão produtiva, no entanto, já que essas são algumas ideias úteis para você ter em seu cinto de ferramentas de solução de problemas para todos os tipos de outras matemáticas. A configuração aqui envolve um círculo com muitos pontos diferentes espaçados uniformemente ao redor dele e, em seguida, um ponto especial adicional.

Isso é semelhante ao que tivemos no vídeo sobre o problema da Basileia, onde imaginamos esses pontos espaçados uniformemente como faróis e pensamos nesse ponto especial como um observador. Agora, naquela época, a quantidade que importava envolvia olhar para a distância entre o observador e cada farol, pegar o quadrado inverso de cada uma dessas distâncias e somar todas elas. É por isso que tivemos toda a narrativa com faróis, pois a lei do quadrado inverso dava uma interpretação física muito boa a essa quantidade. Era a quantidade total de luz recebida por esse observador. Mas, apesar dessa boa interpretação física, não há nada mágico em adicionar distâncias inversas ao quadrado. Aconteceu que isso foi útil para esse problema em particular.

Agora, para enfrentar nosso novo problema de dois sobre um vezes dois sobre três vezes quatro sobre três vezes quatro sobre cinco e assim por diante, faremos algo semelhante, mas diferente nos detalhes. Em vez de usar as distâncias inversas ao quadrado, basta olhar diretamente para as distâncias. E, em vez de adicioná-las, vamos multiplicá-las, fornecendo uma quantidade a que me referirei como o produto da distância para o observador. Isso será importante. E mesmo que esse produto da distância não tenha mais uma boa analogia física, eu ainda quero ilustrá-lo com faróis e um observador porque, bem, eu não sei, é bonito. E também, é mais divertido do que pontos geométricos abstratos.

Agora, para esta prova do produto Wallis, precisaremos de dois fatos importantes sobre esse produto da distância, dois pequenos lemas. Primeiro, se o observador estiver posicionado a meio caminho entre dois faróis no círculo, esse produto da distância, o que você obtém multiplicando os comprimentos de todas essas linhas, será exatamente dois, não importa quantos faróis existam. Segundo, se você remover um desses faróis e colocar o observador em seu lugar, esse produto da distância de todos os faróis restantes será igual ao número de faróis com os quais você começou. Novamente, não importa quantos faróis existam.

E se esses dois fatos parecem loucura, eu concordo. Quero dizer, não é óbvio que o produto da distância aqui funcione como um número inteiro em ambos os casos. Além disso, parece super difícil calcular todas as distâncias e depois multiplicá-las dessa maneira. Mas acontece que há um truque nesse cálculo complicado que o torna bastante simples. A ideia principal é que a propriedade geométrica desses pontos espaçados uniformemente em torno de um círculo corresponda a uma propriedade algébrica muito boa, se imaginarmos que este seja o círculo unitário no plano complexo, com cada um desses faróis agora sentado em algum número complexo específico.

Alguns de vocês podem reconhecê-los como as raízes da unidade. Mas deixe-me explicar rapidamente essa ideia, caso algum de vocês não esteja familiarizado. Pense em elevar ao quadrado um desses números. Tem uma magnitude de um, para que continue o mesmo. Mas o ângulo que faz com a horizontal dobrará. É assim que elevar números complexos ao quadrado funcionam. Da mesma forma, o cubo desse número triplicará o ângulo que ele faz com a horizontal. E, em geral, aumentá-lo para a 𝑛-ésima potência multiplica o ângulo por 𝑛. Então, por exemplo, na tela agora, existem sete pontos espaçados uniformemente em torno do círculo unitário, que chamarei de 𝑙 zero, 𝑙 um, 𝑙 dois e assim por diante. E eles são rotacionados de forma que 𝑙 zero esteja no número um do lado direito.

Portanto, como o ângulo que cada um deles faz com a horizontal é um múltiplo inteiro de um sétimo de uma volta, elevar qualquer um desses números à sétima potência faz com que você gire para chegar ao número um. Em outras palavras, todas essas são soluções para a equação polinomial 𝑥 para o sétimo menos um é igual a zero.

Mas, por outro lado, poderíamos construir um polinômio que tenha esses números como raízes de uma maneira totalmente diferente, tomando 𝑥 menos 𝑙 zero vezes 𝑥 menos 𝑙 um, continuamente, até 𝑥 menos 𝑙 seis. Quero dizer, você substitui qualquer um desses números e esse produto terá que ser igual a zero. E como esses dois polinômios de grau sete têm as mesmas sete raízes distintas e o mesmo termo principal, é apenas 𝑥 elevado ao sétimo nos dois casos, eles são de fato um e o mesmo.

Agora, dedique um momento para apreciar que fato maravilhoso é esse. Este lado direito parece que seria um pesadelo absoluto se expandir. Não apenas existem muitos termos, mas escrever o que exatamente é cada um desses números complexos vai nos levar a uma confusão de senos e cossenos. Mas, devido à simetria da configuração, sabemos que quando toda a poeira algébrica se depositar, será simplificado o fato de ser apenas 𝑥 elevado ao sétimo menos um. Todos os outros termos serão cancelados. E, claro, não há nada de especial em sete aqui. Se você tiver 𝑛 pontos uniformemente espaçados em torno de um círculo como este, eles são as raízes de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um é igual a zero.

E agora, você pode ver por que isso daria um bom truque simplificador para calcular o produto à distância que definimos um momento atrás. Se você considera o observador qualquer outro número complexo, não necessariamente no círculo, e depois o substitui em 𝑥, esse lado direito está fornecendo um novo número complexo cuja magnitude é o produto das distâncias entre o observador e cada farol. Mas olhe para o lado esquerdo, é uma maneira dramaticamente mais simples de entender o que esse produto acabará simplificando. Surpreendentemente, isso significa que, se nosso observador se sentar no mesmo círculo que os faróis, o número atual de faróis, bem, isso não será importante. É apenas a fração do caminho entre os faróis adjacentes que descreve nosso observador que entra em cena.

Se essa fração for 𝑓, então o observador da potência 𝑛 fica em 𝑓 em torno de um círculo completo. Portanto, a magnitude do número complexo observado para 𝑛 menos um é a distância entre o número um e o ponto 𝑓 do caminho em torno de um círculo unitário completo. Por exemplo, na tela agora, temos sete faróis e o observador está sentado em um terço do caminho entre o primeiro e o segundo. Portanto, quando você eleva o número complexo associado a esse observador para a sétima potência, eles terminam em um terço do caminho em torno do círculo completo. Portanto, a magnitude do observador para os sete menos um seria o comprimento desta corda aqui, que por um terço do caminho ao redor do círculo é de cerca de 1.73.

E lembre-se, esse valor é notavelmente o mesmo que o produto da distância total com o qual nos preocupamos. Poderíamos aumentar ou diminuir o número de faróis. E não importa o que aconteça, desde que esse observador esteja a um terço do caminho entre os faróis, sempre teremos o comprimento dessa mesma corda como nosso produto da distância. Em geral, vamos definir uma função especial para nós mesmos, a corda de 𝑓, que significa qualquer fração 𝑓, o comprimento de uma corda correspondente à fração de um círculo unitário. Por exemplo, o que acabamos de ver foi uma corda de um terço. Na verdade, não é tão difícil ver que a corda de 𝑓 equivale à mesma coisa que duas vezes o seno de 𝑓 metades vezes dois 𝜋, que é duas vezes o seno de 𝑓𝜋. Mas, às vezes, é mais fácil pensar nisso como uma corda de 𝑓. Portanto, o resultado que acabamos de mostrar é que, para um observador 𝑓 no caminho entre dois faróis, o produto da distância total, por mais complicado que possa parecer, funciona exatamente como uma corda de 𝑓, não importa quantos faróis existam.

Então, em particular, pense na corda de um meio. Essa é a distância entre dois pontos nas extremidades opostas de um círculo unitário, que é dois. Portanto, vemos que, não importa quantos faróis estejam igualmente espalhados pelo círculo unitário, colocar um observador exatamente na metade do caminho ao longo do círculo entre dois deles resulta em um produto da distância de precisamente dois. E esse é o nosso primeiro fato importante, então guarde isso.

Para o próximo fato importante, imagine colocar o observador exatamente em um dos faróis. Bem, é claro que o produto da distância é zero. O farol de distância zero acaba aniquilando todos os outros fatores. Mas suponha que acabamos de nos livrar daquele farol problemático e consideramos apenas as contribuições de todos os outros. Qual seria o produto da distância? Bem, agora, em vez de considerar o observador polinomial para 𝑛 menos um, que tem uma raiz em todas essas 𝑛 raízes da unidade, estamos olhando para o observador polinomial para 𝑛 menos um dividido pelo observador menos um, que tem uma raiz em todas as raízes da unidade, exceto no número um em si.

E um pouco de álgebra mostra que essa fração é a mesma coisa que um mais observador mais observador ao quadrado, repetidamente, até o observador 𝑛 menos um. E assim, se você substituir um observador igual a um, já que esse é o número em que ele está sentado, o que você obtém? Todos os termos aqui se tornam um. Portanto isso funciona para sendo 𝑛, o que significa que o produto da distância total para este conjunto é igual ao número de faróis originais. Agora, isso depende do número total de faróis, mas apenas de uma maneira muito simples. Quero dizer, pense sobre isso. Isto é incrível! O produto da distância total que um observador sentado em um dos faróis recebe de todos os outros faróis é precisamente 𝑛, onde 𝑛 é o número total de faróis, incluindo o um ignorado. Esse é o nosso segundo fato-chave.

E, a propósito, provar fatos geométricos com polinômios complexos como esse é bastante comum em matemática. E se você fosse ao matemático local e mostrasse a ele esses dois fatos ou outros fatos como esses, ele reconheceria rapidamente que esses fatos são verdadeiros e como prová-los, usando os métodos que acabamos de mostrar. E agora, você também pode. Então, a seguir, com esses dois fatos no bolso de trás, vamos ver como usá-los para entender o produto em que estamos interessados ​​e como ele se relaciona a 𝜋.

Tome esta configuração com 𝑛 faróis uniformemente espaçados em torno de um círculo unitário e imagine dois observadores separados, o que chamarei de goleiro e marinheiro. Coloque o goleiro diretamente em um dos faróis. E coloque o marinheiro a meio caminho entre esse ponto e o próximo farol. A ideia aqui será olhar para o produto da distância para o goleiro dividido pelo produto da distância para o marinheiro. E então, calcularemos essa razão de duas maneiras separadas. Do primeiro fato importante, sabemos que o produto da distância total para o marinheiro é dois. E o produto da distância para o goleiro, bem, é zero, já que ele está em cima do um. Mas se nos livramos desse farol, então, pelo nosso segundo fato importante, o produto da distância restante para esse goleiro é 𝑛.

E, é claro, ao nos livrarmos desse farol, também nos livramos de sua contribuição para o produto da distância do marinheiro. Portanto, esse denominador agora deve ser dividido pela distância entre os dois observadores. E simplificando isso um pouco, significa que a razão entre o produto da distância do goleiro e o do marinheiro é 𝑛 vezes a distância entre os dois observadores, todos divididos por dois. Mas também poderíamos calcular essa razão de uma maneira diferente, considerando cada farol individualmente.

Para cada farol, pense em sua contribuição para o produto da distância do goleiro, significando apenas sua distância para o detentor, dividido pela contribuição ao produto da distância do marinheiro, sua distância para o marinheiro. E quando multiplicamos todos esses fatores sobre cada farol, precisamos obter a mesma razão no final, 𝑛 vezes a distância entre os observadores, todos divididos por dois. Agora, isso pode parecer um cálculo super confuso. Mas, à medida que 𝑛 aumenta, isso na verdade fica mais simples para qualquer farol em particular.

Por exemplo, pense no primeiro farol depois do goleiro, no sentido anti-horário dele. Isso é um pouco mais próximo do marinheiro do que do goleiro. Especificamente, o ângulo desse farol para o goleiro é exatamente o dobro do ângulo desse farol para o marinheiro. E esses ângulos não são exatamente proporcionais a essas distâncias retas. Mas, à medida que 𝑛 aumenta, a correspondência fica cada vez melhor. E para um 𝑛 muito grande, a distância do farol ao goleiro é quase o dobro da distância desse farol ao marinheiro.

E da mesma maneira, olhando para o segundo farol antes do goleiro, ele tem um ângulo para o goleiro dividido pela razão de ângulo para o marinheiro de exatamente quatro terços, que é quase o mesmo que a distância para goleiro dividido pela razão distância-marinheiro à medida que 𝑛 aumenta. E esse terceiro farol, 𝑙 três, contribuirá com uma fração que se aproxima cada vez mais de seis quintos à medida que 𝑛 se aproxima do infinito. Agora, para esta prova, vamos considerar todos os faróis na parte inferior do círculo de maneira um pouco diferente, e é por isso que os enumerei como menos um, menos dois, menos três e assim por diante.

Se você olhar para o primeiro farol antes do goleiro, ele tem uma razão distância-goleiro sobre distância-marinheiro que se aproxima de dois terços à medida que 𝑛 se aproxima do infinito. E então, o segundo farol antes dele, 𝑙 menos dois aqui, contribui com uma razão que se aproxima cada vez mais de quatro quintos. E o terceiro farol, 𝑙 menos três, contribui com uma fração cada vez mais perto de seis sétimos, e assim por diante. Combinando isso em todos os faróis, obtemos o produto dois sobre um vezes dois sobre três vezes quatro sobre três vezes quatro sobre cinco vezes seis sobre cinco vezes seis sobre sete, e assim por diante. Este é o produto que estamos interessados ​​em estudar. E, nesse contexto, cada um desses termos reflete qual é a contribuição para um farol em particular quando 𝑛 se aproxima do infinito.

E quando digo contribuição, quero dizer a contribuição para essa razão do produto da distância do goleiro em relação ao produto da distância do marinheiro, que sabemos que a cada passo deve ser igual a 𝑛 vezes a distância entre os observadores dividida por dois. Então, o que esse valor se aproxima quando 𝑛 se aproxima do infinito? Bem, a distância entre os observadores é um meio de um sobre 𝑛 de uma volta completa ao redor do círculo. E como esse é um círculo unitário, seu comprimento total é de dois 𝜋. Portanto, a distância entre os observadores se aproxima de 𝜋 dividido por 𝑛. E, portanto, 𝑛 vezes essa distância dividida por dois aproxima 𝜋 dividido por dois. Então aí está! Nosso produto, dois sobre um vezes dois sobre três vezes quatro sobre três vezes quatro sobre cinco, e assim por diante, deve aproximar 𝜋 dividido por dois.

Este é um resultado verdadeiramente maravilhoso. E é conhecido como o produto Wallis, em homenagem ao matemático John Wallis do século XVII, que descobriu esse fato de uma maneira muito mais complicada. E também, um pouco de trivialidade, esse é o mesmo cara que descobriu — ou, bem, um pouco inventou — o símbolo do infinito.

E, na verdade, se você olhar para esse argumento, demos uma guinada na formalidade aqui, que os particularmente sofisticados matematicamente entre vocês podem ter percebido. O que temos aqui é um monte de fatores que sabíamos multiplicados para obter 𝑛 vezes a distância entre os observadores dividida por dois. E então, analisamos o limite de cada fator individualmente como 𝑛 chegou ao infinito e concluímos que o produto de todos esses termos limitantes tinha que ser igual a qualquer que seja o limite de 𝑛 vezes a distância entre os observadores dividida por dois. Mas o que isso pressupõe é que o produto dos limites é igual ao limite dos produtos, mesmo quando há infinitos fatores.

E esse tipo de comutação de limites em aritmética infinita, bem, nem sempre é verdade. Geralmente é válido, mas às vezes falha. Aqui, deixe-me mostrar um exemplo simples de um caso em que esse tipo de comutação de limites realmente não funciona. Então, temos uma grade aqui, onde cada linha tem apenas sete e depois várias. Portanto, se você pegar o produto infinito de cada linha, terá apenas um único sete. Portanto, como cada um desses produtos é sete, o limite dos produtos também é sete. Mas observe o que acontece se você tirar os limites primeiro. Se você olhar para cada coluna, o limite de uma determinada coluna será um, já que, em algum momento, não passa de um.

Mas então, se você estiver usando o produto desses limites, usará apenas o produto de vários uns. Então você pode obter uma resposta diferente; a saber, um. Felizmente, os matemáticos passaram muito tempo pensando sobre esse fenômeno. E eles desenvolveram ferramentas para ver rapidamente determinadas condições sob as quais essa troca de limites realmente funciona. Nesse caso, um resultado padrão específico conhecido como convergência rapidamente garante que o argumento que acabamos de mostrar será totalmente rigoroso. Para aqueles que estão interessados, Sridhar escreveu um post suplementar no blog para este vídeo, que aborda esses detalhes e muitas outras coisas.

E devo dizer também que precisamos ter um pouco de cuidado sobre como interpretar um produto como este. Lembre-se, temos contribuições dos faróis no sentido anti-horário do goleiro e faróis no sentido horário do goleiro. E o que fizemos foi intercalá-los para obter nosso produto. Agora, os faróis no sentido anti-horário do goleiro contribuem com dois sobre um, quatro sobre três, seis sobre cinco, e assim por diante. E aqueles no sentido horário do goleiro contribuem com dois sobre três, quatro sobre cinco, seis sobre sete. E, como eu disse antes, se você brincar com essas séries individuais, descobrirá que a primeira fica maior e maior e explode até o infinito. E a segunda fica menor e menor, aproximando-se de zero.

Portanto, é realmente muito delicado entender esse produto geral em termos de calcular as duas metades separadamente e depois combiná-las. E, de fato, descobriremos que, se você misturar essas duas metades de maneira diferente, por exemplo, tirando o dobro de fatores de uma delas para cada fator da outra, você poderá obter um resultado diferente para o produto em geral. Somente quando você os combina especificamente dessa maneira um por um é que você pode obter um produto que converge para 𝜋 metades. Isso é algo que fica fora do caminho da denominada convergência justifica ao mudar os limites da maneira que fizemos. E, novamente, para obter mais detalhes, consulte a publicação complementar. Ainda assim, esses são apenas detalhes técnicos. A essência conceitual do que está acontecendo aqui é exatamente o que acabamos de mostrar.

E, de fato, depois de fazer todo esse trabalho, seria uma pena não ter um momento rápido para falar sobre mais um resultado interessante que cai fora desse argumento. Indiscutivelmente, esta é a parte mais legal de toda a prova. Veja bem, podemos generalizar toda essa discussão. Lembre-se de quando descobrimos nosso primeiro fato importante, em que vimos que você não apenas considerava colocar o marinheiro precisamente na metade do caminho entre os faróis, mas também qualquer fração 𝑓 do caminho entre os faróis adjacentes. Nesse cenário mais geral, o produto da distância para o marinheiro não era necessariamente dois. Mas era a corda de 𝑓, onde 𝑓 é a fração do caminho entre os faróis.

E se seguirmos o mesmo raciocínio que acabamos de fazer com o marinheiro neste local e não mudarmos mais nada, o que descobriremos é que a razão do produto da distância do goleiro para o produto da distância do marinheiro é agora 𝑛 vezes a distância entre eles divididos pela corda de 𝑓, que se aproxima de 𝑓 vezes dois 𝜋 dividido pela corda de 𝑓 à medida que 𝑛 aumenta. E, da mesma maneira que antes, você pode calcular isso alternativamente considerando as contribuições de cada farol individualmente. Se você dedicar algum tempo para resolver isso, o 𝑘-ésimo farol após o goleiro contribuirá com um fator de 𝑘 dividido por 𝑘 menos 𝑓 para essa razão. E todos os faróis antes do goleiro, contribuem com a mesma coisa. Mas você está apenas inserindo valores negativos para 𝑘.

Se você combinar todas essas contribuições sobre todos os números inteiros 𝑘 diferentes de zero, onde da mesma maneira que antes você deve ter cuidado com o agrupamento dos termos 𝑘 positivo e negativo, o que você obterá é que o produto de 𝑘 dividido por 𝑘 menos 𝑓 sobre todos os números inteiros 𝑘 diferentes de zero será igual 𝑓 vezes dois 𝜋 dividido pela corda de 𝑓. Em outras palavras, como a corda de 𝑓 é duas vezes o seno de 𝑓𝜋, esse produto é o mesmo que 𝑓 vezes dois 𝜋 dividido por duas vezes o seno de 𝑓𝜋, que é 𝑓𝜋 sobre o seno de 𝑓𝜋.

Agora, reescrevendo isso um pouco mais, o que você obtém é um fato bastante interessante. Seno de 𝑓 vezes 𝜋 é igual a 𝑓𝜋 vezes esse produto realmente grande, o produto de um menos 𝑓 sobre 𝑘 sobre todos os números inteiros 𝑘 diferentes de zero. Então, o que descobrimos é uma maneira de expressar o seno de 𝑥 como um produto infinito, o que é muito legal se você pensar sobre isso. Portanto, essa prova não apenas nos dá o produto Wallis, que é incrível por si só, certo, mas também generaliza para nos dar a fórmula do produto para o seno. E o mais interessante é que ele se conecta à maneira como Euler originalmente resolveu o problema da Basileia, a soma que vimos no vídeo anterior. Ele estava olhando esse produto infinito para o seno. Quero dizer, conectar essas fórmulas para 𝜋 aos círculos é uma coisa, mas conectá-las umas às outras é outra coisa.

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