Vídeo: Proporcionalidade Direta Simples

Aprende a definição, a terminologia e a notação da proporcionalidade direta e, em seguida, descobre como identificar a proporcionalidade direta. Responde a questões tais como “𝑥 e 𝑦 são diretamente proporcionais. Determina o valor de 𝑥 quando 𝑦 = 2 se 𝑥 = 5 quando 𝑦 = 3.”

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos a proporcionalidade direta. Há um pouco de terminologia e notação para abordar, bem como o conceito básico. Então, falaremos sobre o que é proporcionalidade direta e como escrevê-la. E depois veremos algumas questões típicas.

Primeiro, antes de falarmos sobre o que é, vamos falar sobre o que as pessoas chamam. 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. E este pequeno símbolo de peixe aqui significa “é diretamente proporcional a”. 𝑦 varia diretamente com 𝑥 ou 𝑦 varia diretamente com 𝑥. Ou 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. Ou mesmo 𝑦 é igual a 𝑘 vezes 𝑥. 𝑥 e 𝑦 variam diretamente. 𝑥 e 𝑦 são diretamente proporcionais. Ou 𝑦 é um múltiplo simples de 𝑥. E este último aqui na verdade resume o que está no âmago da proporcionalidade direta. Uma variável é apenas um múltiplo simples da outra variável. E, obviamente, isso está relacionado a isto aqui. 𝑦 é um múltiplo simples. 𝑘 é uma constante. Ok, é chamada constante de proporcionalidade ou constante de variação. E normalmente, as pessoas utilizam a letra 𝑘. Mas podes utilizar uma letra diferente dependendo de onde resides.

Portanto, existem várias maneiras diferentes de estabelecer este conceito numa questão. E esta aqui, como dissemos, 𝑦 é um múltiplo simples de 𝑥 ou 𝑦 é igual a 𝑘 vezes 𝑥, esta será a melhor maneira de descrevê-la. Mas, infelizmente, é desta maneira que provavelmente tens menos hipóteses de a encontrar numa questão. Então terás que aprender a reconhecer todas as outras formas.

Este gráfico representa um exemplo de proporcionalidade direta. Portanto, é um gráfico do tempo necessário para viajar e de um determinado número de milhas de um comboio que viaja a uma velocidade constante. Quanto mais milhas viajas, mais tempo demoras. Se viajares mais uma milha, levas mais tempo, independentemente de já ter viajado zero ou 100 milhas.

Portanto, o gradiente desta reta ou o declive desta reta são sempre constantes. E em proporcionalidade direta, a reta passará sempre pela origem. Então, quando não viajo nenhuma milha, não demoro tempo nenhum. Agora lembra-te, o declive da reta é a variação nas coordenadas em 𝑦 quando aumento minha coordenada em 𝑥 uma unidade. Portanto, neste caso, se eu aumentar minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 aumentará 𝑘. Portanto, o declive é 𝑘 e a equação desta reta é 𝑦 igual a 𝑘 vezes 𝑥.

E como interseta o eixo O𝑦 em zero, passa pela origem, adiciono zero no final, o que, de facto, ao adicionar zero, não preciso escrevê-lo. Portanto, a equação, a equação geral, de uma destas relações diretamente proporcionais é 𝑦 igual a 𝑘 vezes 𝑥.

Agora, dependendo da velocidade do comboio, isso afetará o valor de 𝑘. E um pouco mais de terminologia, este valor às vezes é chamado de constante de proporcionalidade ou constante de variação.

Agora, a primeira habilidade que precisas dominar é reconhecer quando duas variáveis ​​estão em proporcionalidade direta. Então, podes ter uma questão como esta. O gráfico mostra a relação entre as variáveis ​​𝑥 e 𝑦. 𝑦 varia diretamente com 𝑥? Bem, é uma relação linear. E passa pela origem. Portanto, estes dois factos juntos dizem-nos: “Sim, 𝑦 varia diretamente com 𝑥.”

Portanto, é muito fácil de identificar. A única coisa que precisas de observar são as diferentes formas de escrita. Portanto, podem ter dito que 𝑦 varia diretamente com 𝑥 ou 𝑥 e 𝑦 são diretamente proporcionais ou 𝑥 e 𝑦 variam diretamente.

Outro tipo de questão que solicita que reconheças se duas variáveis ​​estão ou não em proporcionalidade direta, seria algo assim. As coordenadas de alguns pontos numa reta são dadas na tabela de valores em baixo. Isso mostra que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥? E então, na nossa tabela, temos 𝑥 é um quando 𝑦 é dois. 𝑥 é dois quando 𝑦 é quatro. 𝑥 é três quando 𝑦 é seis. 𝑥 é quatro quando 𝑦 é oito. E 𝑥 é cinco quando 𝑦 é 10.

Agora, com cada um destes pares de coordenadas, 𝑥 e 𝑦, podemos ver que 𝑦 sempre é duas vezes o valor de 𝑥, mais nada. Então a questão diz que é uma reta. Portanto, a equação da reta é 𝑦 igual a duas vezes 𝑥. Então, 𝑦 é sempre um múltiplo simples de 𝑥. E quando 𝑥 é igual a zero, 𝑦 será duas vezes zero. Que também será zero. Então, passa pela origem.

E outra maneira de verificar isto é que, sempre que a coordenada em 𝑥 diminui uma unidade, a coordenada 𝑦 diminui duas. Portanto, se eu diminuir a coordenada em 𝑥 de um para zero, a coordenada correspondente em 𝑦 diminuirá de dois para zero. Então, de qualquer maneira, temos duas maneiras diferentes de verificar se passa pela origem. E no geral, esta atende aos nossos dois critérios. Então, 𝑦 é um múltiplo simples de 𝑥, e isso acontece — e a reta passa pela origem. Portanto, a resposta é sim, mostra que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥.

Outro exemplo é: as coordenadas na tabela de valores em baixo mostram que as variáveis ​​𝑥 e 𝑦 estão em proporcionalidade direta? E temos os pares de coordenadas dois e seis, quatro e 16 e seis e 24. Portanto, o primeiro critério é se estes terão proporção direta ou variação direta, 𝑦 será um múltiplo simples de 𝑥. Então, vamos calcular o múltiplo para cada par de coordenadas.

Quando 𝑥 é dois, 𝑦 é seis. Portanto, a coordenada em 𝑦 é três vezes a coordenada em 𝑥. Quando 𝑥 é quatro, 𝑦 é 16. Então, 𝑦 é igual a quatro vezes a coordenada em 𝑥. E quando 𝑥 é seis, 𝑦 é 24. Então, 𝑦 é igual a quatro vezes a coordenada em 𝑥 aqui. Agora, temos valores diferentes aqui. Às vezes, 𝑦 é igual a três vezes a coordenada em 𝑥. Às vezes 𝑦 é igual a quatro vezes a coordenada em 𝑥. Portanto, este não é apenas um múltiplo constante simples de 𝑥. Portanto, não é proporcionalidade direta.

E como os dados violaram a nossa primeira regra, nem precisamos de verificar a segunda regra para ver se pensávamos que passaria por zero, zero, pela origem. Aqui está mais uma. As coordenadas de alguns pontos numa reta são dadas na tabela de valores em baixo. Esta mostra que 𝑦 varia diretamente com 𝑥? E, em seguida, temos os pares de coordenadas três, 11; seis, 17; e nove, 23.

Então, apenas olhando para os números aqui, sempre que aumento a coordenada em 𝑥 três unidades, a coordenada em 𝑦 correspondente aumenta seis. Portanto, estes números sustentam a ideia de que o que diz na questão é verdadeiro, que os pontos estão numa reta. Mas vamos apenas verificar se passam ou não pela origem.

Bem, eu tenho o ponto três, 11. Então, se eu tirar três da coordenada em 𝑥, preciso de tirar seis da coordenada em 𝑦. E isso dá-me o ponto zero, cinco. Portanto, não passa pela origem. Logo, é uma reta, mas não passa pela origem. Logo, não mostra que 𝑦 varia diretamente com 𝑥.

De facto, olhando para os números, a análise das diferenças entre 𝑥 e 𝑦 diz-nos que o declive era dois. E isso diz-nos que interseta o eixo O𝑦 em cinco. Portanto, a equação desta reta é 𝑦igual a dois 𝑥 mais cinco. Portanto, todas as relações que variam diretamente terão um mais zero em vez de mais algo diferente de zero no final.

Ok, aqui estão três questões para tentares. O que eu quero que faças é pares o vídeo e depois digas se estas três situações representam ou não relações diretamente proporcionais.

Certo, a primeira é uma relação linear. E passa pela origem. Então sim, 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. A segunda é uma relação linear. Mas não passa pela origem. Portanto, não, 𝑦 não varia diretamente com 𝑥. E a terceira, o custo em dólares de tarifas para uma empresa de táxi é 1.5 vezes o número de milhas. Ora, nós temos esta relação linear. Mas como sempre adicionamos três ao resultado, isso significa que a coordenada em 𝑦 se quiseres, se desenharmos o gráfico disto, nem sempre será um múltiplo simples da coordenada em 𝑥, porque estaremos a deslocar a reta três unidades para cima.

Mais importante, se fizéssemos zero milhas, 1.5 vezes zero seria zero. Mas então adiciona três a isso, a coordenada em 𝑦, a tarifa, seria de três dólares. Portanto, não passa pela origem, o que significa que esta não é uma relação diretamente proporcional.

Ok, agora conseguimos reconhecer relações diretamente proporcionais. Vamos explorá-las com mais detalhes. Agora precisamos de ser capazes de trabalhar com equações que representam relações diretamente variáveis. Portanto, esta questão aqui diz: “Dado que 𝑦 varia diretamente com 𝑥, escreve uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥 se 𝑘 é a constante da proporcionalidade”.

Portanto, quando diz 𝑦 varia diretamente com 𝑥, isso significa que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. Então, podemos escrever isso assim. E isso significa que 𝑦 será sempre igual a um número, um número constante, vezes 𝑥. E a questão diz-nos que 𝑘 neste caso é a constante da proporcionalidade. Portanto, o valor que podemos colocar aqui é 𝑘. Portanto, a nossa resposta é 𝑦 igual a 𝑘 vezes 𝑥.

Agora, em algumas questões, deves escrever uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥. E depois recebes algumas informações básicas que te ajudarão a fazê-lo. Então, dizem-nos que 𝑦 e 𝑥 são diretamente proporcionais e que quando 𝑥 é igual a 12, então 𝑦 é igual a 36. Então, começaremos dizendo se 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥, então isso significa que 𝑦 é igual para 𝑘 vezes 𝑥, um número vezes 𝑥. Mas, neste caso, a questão disse-nos que quando a coordenada em 𝑥 é 12, a coordenada em 𝑦 é 36. Portanto, podemos inseri-los na nossa equação. Então, temos 36 é igual a 𝑘 vezes 12. Portanto, este é apenas um ponto específico na reta.

Agora, dividindo os dois membros por 12, podemos anular no segundo membro. 12 dividido por 12 é um. 12 dividido por 12 é um, então ficamos com “. E 36 dividido por 12 no primeiro membro é três, então 𝑘 é igual a três. Bem, agora que sabemos que 𝑘 é três, podemos escrevê-la de volta na nossa equação original. 𝑦 é igual a três vezes 𝑥.

Portanto, outro exemplo seria: escreve uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥, dado que 𝑦 varia diretamente com 𝑥 e 𝑥 é igual a 35 quando 𝑦 é igual a nove. Então, novamente, podemos dizer que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. E isso significa que 𝑦 é apenas um número constante — vamos chamá-lo 𝑘 — vezes 𝑥. Mas foi-nos dado um par específico de 𝑥 e 𝑦 na questão. Portanto, podemos colocar estes valores em 𝑥 e 𝑦 para descobrir quanto é 𝑘. Então, 𝑦 é nove e 𝑥 é 35, então nove é igual a 𝑘 vezes 35.

Agora posso dividir os dois membros por 35 para me deixar apenas com 𝑘 no segundo membro. E 𝑘 é igual a nove sobre 35. Bem, isso não será anulado. Então, às vezes 𝑘 sai como um número não tão agradável. Neste caso, é apenas uma fração. Às vezes é um número inteiro. Às vezes é positivo. Às vezes é negativo. Portanto, neste caso, a nossa equação é 𝑦 igual a nove trinta quintos de 𝑥.

Agora, algumas questões solicitarão que não apenas escrevas a equação, mas também substituas um valor específico e resolvas essa equação. Então, temos 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. Quando 𝑥 é sete, 𝑦 é 21. E temos que determinar o valor de 𝑦 quando 𝑥 é 11. Portanto, a abordagem geral a isto é, antes de mais, calcular a equação e depois substituir e determinar o valor de 𝑦. Portanto, 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 significa que 𝑦 é um número constante vezes 𝑥, vamos chamá-lo 𝑘. E disseram-nos especificamente que quando 𝑥 é sete, então 𝑦 é 21. Portanto, podemos colocar estes valores em 𝑥 e 𝑦. E isso dá-nos 21 é igual a 𝑘 vezes sete.

Portanto, se agora dividirmos os dois membros por sete para descobrir o valor de 𝑘, isso deixar-nos-á com 𝑘 no segundo membro. E 21 dividido por sete é três, então 𝑘 é igual a três. Portanto, a equação que governa esta relação é 𝑦 igual a três vezes 𝑥.

Então agora precisamos de continuar e determinar o valor de 𝑦 quando 𝑥 é igual a 11. Pelo que podemos inserir este valor de 𝑥 na equação. Então, temos 𝑦 igual a três vezes 11, o que significa que quando 𝑥 é 11, 𝑦 é 33.

Agora, podem tornar este tipo de questão um pouco mais difícil, solicitando que determines o valor de 𝑥 dado um valor particular de 𝑦. Então, temos 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. E quando 𝑥 é igual a cinco, 𝑦 é igual a três. Determine o valor de 𝑥 quando 𝑦 for igual a 20. Então, começamos novamente no mesmo lugar. 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 significa que 𝑦 é igual a um número constante vezes 𝑥, que estamos a chamar de 𝑘 neste caso. Em seguida, substituiremos o par específico de valores 𝑥, 𝑦 que nos foram dados na nossa equação para determinar o valor de 𝑘. E isso significa que três é igual a 𝑘 cinco vezes.

Agora, dividindo os dois membros por cinco para determinar o valor de 𝑘 deixa-nos com 𝑘 no segundo membro. E isso diz-nos que 𝑘 é igual a três quintos. Agora 𝑘 é igual a três quintos e 𝑦 é igual a 𝑘 vezes 𝑥. Isso significa que a nossa fórmula geral é 𝑦 é igual a três quintos vezes 𝑥.

E podemos utilizar esta fórmula para determinar o valor de 𝑥 quando 𝑦 é igual a 20. Portanto, temos 20 igual a três quintos vezes 𝑥. Bem, se eu multiplicar os dois membros por cinco, cinco vezes 20 é 100. E três mais de cinco vezes cinco, os cinco serão anulados, deixando-nos apenas com três. Portanto, o segundo membro se torna apenas três 𝑥. E então, se eu dividir os dois membros por três, obtive 𝑥 igual a 100 dividido por três. Então, é 33 e um terço.

Agora, esta questão era muito parecida com a última. Mas o problema era que tínhamos a incógnita aqui e tínhamos algumas coisas que precisávamos de descompactar esta equação para calcular o valor de 𝑥. Agora poderíamos organizar a nossa equação de uma maneira bem diferente. Então, vamos virar isto ao contrário. Em vez de dizer que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 significa que 𝑦 é igual a 𝑘 vezes 𝑥, digamos que isso significa que 𝑥 é igual a 𝑘 vezes 𝑦. E é claro que isso é verdade. Será um valor diferente de 𝑘 para esta equação. Então, na verdade, vou utilizar uma letra diferente para representá-la apenas para explicar este ponto. Mas vamos realizar este cálculo novamente.

Então, partindo do início, 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 significa que 𝑥 é igual a um número vezes 𝑦. Então, chamaremos a isso de 𝑐 neste caso. E disseram-nos que quando 𝑥 é cinco, 𝑦 é três. Então, isso significa que cinco é igual a 𝑐 vezes três. E dividimos os dois membros por três. Temos 𝑐 é igual a cinco terços. E isso significa que 𝑥 é igual a cinco terços de 𝑦. E este é o caso para todas as relações diretamente proporcionais. E, na verdade, poderíamos criar duas equações diferentes para descrever esta relação. Chegámos a 𝑦 igual a três quintos de 𝑥 aqui, mas também 𝑥 igual a cinco terços de 𝑦. Essas duas constantes aqui são inversas uma da outra. E, sabes que, neste caso em particular, se utilizarmos o segundo e nos derem um valor de 𝑦, poderíamos — poderíamos facilmente colocar 𝑦 igual a 20 ali e, em seguida, ir direto à nossa resposta para 𝑥, fazendo parte do cálculo um pouco mais fácil. Às vezes, é fácil fazê-lo de uma maneira. Às vezes é mais fácil fazer da outra.

Uma última questão. As variáveis ​​𝑥 e 𝑦 são diretamente proporcionais. Alguns valores são apresentados na tabela em baixo. Determine a constante de proporcionalidade e o valor de 𝑥 quando 𝑦 for igual a 19. Portanto, sabemos que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. E isso diz-nos que 𝑦 é igual a uma constante vezes 𝑥. E a questão deu-nos três pares de valores. Quando 𝑥 é três, 𝑦 é 4.5. Quando 𝑥 é seis, 𝑦 é nove. E quando x é 10, 𝑦 é 15. Portanto, podemos escolher qualquer uma das que gostamos para calcular esta constante.

Portanto, eu vou utilizar quando 𝑥 é seis, 𝑦 é nove, porque são números relativamente fáceis. E então isso dá-me nove é igual a 𝑘 vezes seis. E dividindo os dois membros por seis, eu tenho 𝑘 igual a nove sobre seis, os quais são divisíveis por três. Então, isso torna-se três sobre dois. Portanto, a nossa constante de proporcionalidade é de três a dois.

Agora, vale a pena notar que, embora eu te tenha contado este pequeno truque para fazer isto ao contrário, para facilitar a matemática na questão anterior, precisas de ter cuidado. Na maioria destas questões, esperam que faças 𝑦 diretamente proporcional a 𝑥 e 𝑦 é igual a 𝑘 vezes 𝑥. Se fizeres o cálculo inverso, 𝑥 é diretamente proporcional a’ e determinares esta constante de proporcionalidade, obterás um valor diferente, o inverso do valor que estás à procura. De qualquer forma, isso dá-nos uma equação de 𝑦 é igual a três sobre dois 𝑥, que podemos reorganizar para 𝑥 é igual a dois sobre três 𝑦. E substituindo em 𝑦 igual a 19 dá-nos 𝑥 é 12 e dois terços.

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