Vídeo: Derivadas das Inversas de Funções Trigonométricas

Neste vídeo, aprenderemos a encontrar as derivadas das inversas das funções trigonométricas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as derivadas das inversas das funções trigonométricas. Vamos aprender como fazer isso usando derivação implícita. E, portanto, é importante que você entenda como aplicar a regra da cadeia, se não tiver uma compreensão completa de como funciona a derivação implícita, antes de assistir a este vídeo. Depois de derivar as derivadas das inversas das funções trigonométricas, consideraremos a aplicação dessas derivações de inversas das funções trigonométricas mais complicadas.

Antes de olharmos como encontrar a derivada das inversas de nossas funções trigonométricas, vamos considerar rapidamente a função 𝑦 igual sen de 𝑥. Lembre-se, 𝑥 é um número real. E, claro, como estamos realizando cálculos com uma função trigonométrica, precisamos garantir que isso seja medido em radianos. Para esta função, podemos dizer que 𝑥 é igual ao inverso do seno de 𝑦. Este subscrito menos um denota a função inversa. Lembre-se, porém, sem restringir o domínio do arco do seno de 𝑥 ou do inverso do seno de 𝑥, a função vai ser de muitos para um. Nós, portanto, restringimos o domínio para 𝑓 de 𝑥 igual ao inverso do seno de 𝑥. E dizemos que 𝑥 tem que ser maior ou igual a menos um e menor ou igual a um.

Se voltarmos para a função 𝑥 é igual ao inverso do seno de 𝑦, podemos, portanto, ver que 𝑥 terá valores maiores ou iguais a menos 𝜋 sobre dois e menor ou igual a 𝜋 sobre dois. Também precisamos lembrar a regra da cadeia. Isto diz que se 𝑦 é alguma função em 𝑢 e 𝑢 é alguma função derivável em 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑥. Agora vamos usar tudo o que vimos aqui para encontrar a derivada da função inversa do seno.

Encontre a derivada da função inversa do seno em relação a 𝑥.

Estamos derivando o inverso do seno de 𝑥 em relação a 𝑥. Então, vamos começar por deixar 𝑦 ser igual ao inverso do seno de 𝑥. Então podemos dizer que 𝑥 deve ser igual ao seno de 𝑦. Vamos derivar os dois lados dessa equação em relação a 𝑥. Então nós dizemos que d por d𝑥 de 𝑥 é igual a d por d𝑥 do seno de 𝑦. Bem, a derivada de 𝑥 em relação a 𝑥 é bastante direta; é um. Mas vamos precisar usar a derivação implícita, que é um caso especial da regra da cadeia para derivar seno de 𝑦 em relação a 𝑥.

A derivada de seno de 𝑦 em relação a 𝑦 é cos de 𝑦. Portanto, a derivada de sen de 𝑦 em relação a 𝑥 é cos de 𝑦 vezes a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 que é apenas d𝑦 por d𝑥. Então, atualmente vemos que um é igual a cos de 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥. Nós dividimos ambos os lados desta equação por cos de 𝑦 para formar uma equação para a derivada. E vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a um sobre cos de 𝑦. Agora, temos um pequeno problema. Nós queremos uma expressão para a derivada em termos de 𝑥 não de 𝑦.

E lembre-se, dissemos que 𝑥 era igual ao seno de 𝑦. Então, vamos usar a identidade cos ao quadrado 𝜃 mais sen ao quadrado 𝜃 igual a um. E eu substituí 𝜃 por 𝑦. Nós subtrairemos o sen ao quadrado 𝑦 de ambos os lados da equação. E então vamos pegar a raiz quadrada de ambos os lados. E vemos que cos de 𝑦 é igual à raiz quadrada positiva e negativa de um menos o quadrado do sen ao quadrado de 𝑦. Lembre-se, o inverso de sen é restrito ao intervalo fechado menos 𝜋 sobre dois a 𝜋 sobre dois.

Pela nossa definição, isso significa que 𝑦 deve ser maior ou igual a 𝜋 sobre dois e menor ou igual a 𝜋 sobre dois, que, por sua vez, significa que cos de 𝑦 deve ser maior ou igual a zero e menor ou igual a um. E isso porque no intervalo 𝑦 é maior ou igual a menos 𝜋 sobre dois e menor ou igual a 𝜋 sobre dois. O menor valor de cos de 𝑦 que tomamos é zero. E o maior valor é um. E o que isso significa aqui é que vamos pegar a raiz quadrada positiva de um menos sen ao quadrado de 𝑦 apenas.

Agora podemos substituir o sen de 𝑦 por 𝑥. E vemos que cos de 𝑦 é igual à raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado. E, portanto, d𝑦 por d𝑥 é igual a um sobre a raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado. E nós encontramos a derivada do inverso do seno de 𝑥. É um sobre a raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado para valores de 𝑥 no intervalo 𝑥 é maior que menos um e menor que um. Em nosso próximo exemplo, consideraremos um método alternativo que nos ajudará a encontrar a derivada da inversa da função cosseno.

Desta vez, precisaremos saber o teorema da função inversa. Isto diz que se 𝑓 é uma função derivável com uma inversa contínua 𝑓 linha e 𝑓 linha de 𝑎 não é igual a zero, então ele não só é 𝑓 invertível, mas tem um inverso derivável. Tal que a derivada da inversa de 𝑓 em alguns 𝑏 é igual a 𝑓 de 𝑎 é igual a um sobre a derivada de 𝑓 em 𝑎. Isto às vezes é escrito simplesmente como d𝑥 por d𝑦 é igual a um sobre d𝑦 por d𝑥. Vamos ver como isso pode nos ajudar ao derivar a inversa da função cosseno.

Encontre a derivada da inversa de cos de 𝑥 sobre 𝑎 em relação a 𝑥, onde 𝑎 não é igual a zero.

Vamos começar por permitir que 𝑦 seja igual ao inverso do cos de 𝑥 sobre 𝑎. Isso pode ser escrito alternativamente como 𝑥 sobre 𝑎 é igual a cos de 𝑦. E então podemos multiplicar ambos os lados por 𝑎. E vemos que 𝑥 é igual a 𝑎 vezes cos de 𝑦. Vamos derivar nossa expressão para 𝑥 em relação a 𝑦. Em outras palavras, vamos encontrar d𝑥 por d𝑦. Usaremos o resultado geral de que a derivada de cos de 𝑥 em relação a 𝑥 é menos sen de 𝑥. E vemos que d𝑥 por d𝑦 deve ser igual a menos 𝑎 sen de 𝑦.

Agora, antes de executarmos o próximo passo, precisamos nos lembrar do fato de que, para as inversas das funções trigonométricas, restringimos seus domínios. E sabemos que o domínio da inversa de cos de 𝑥 ou nosso cos de 𝑥 é maior ou igual a zero e menor ou igual a 𝜋. Isso significa que 𝑦 deve ser maior ou igual a zero e menor ou igual a 𝜋. Agora, vamos usar o teorema da função inversa. Então, vamos usar valores de 𝑦 maiores que zero e menores que 𝜋, de modo que o sen de 𝑦 não seja igual a zero.

Usando este critério, podemos usar d𝑥 por d𝑦 igual a um sobre d𝑦 por d𝑥 que pode ser rearranjado para dizer que d𝑦 por d𝑥 é igual a um sobre d𝑥 por d𝑦. E nós vemos que, para nosso caso, d𝑦 por d𝑥 é igual a um sobre menos 𝑎 sen de 𝑦. E nós temos uma expressão para a derivada em termos de 𝑦. Lembre-se, queremos que isso seja em termos de 𝑥. Nós dissemos que 𝑥 sobre 𝑎 é igual a cos de 𝑦. Então, vamos usar o fato de que sen ao quadrado 𝑦 mais cos ao quadrado 𝑦 é igual a um e reorganizamos isso para dizer que sen de 𝑦 é igual a mais ou menos a raiz quadrada de um menos cos ao quadrado de 𝑦. Quando 𝑦 está entre zero e 𝜋, sen de 𝑦 é maior que zero. Então, na verdade, estamos interessados ​​apenas na raiz positiva.

Então vamos substituir isso em nossa expressão para a derivada. E temos menos um sobre 𝑎 vezes a raiz quadrada de um menos cos ao quadrado de 𝑦. Nós então substituímos cos de 𝑦 com 𝑥 sobre 𝑎 e mudamos 𝑥 sobre 𝑎 tudo ao quadrado por 𝑥 ao quadrado sobre 𝑎 ao quadrado. E então nós trazemos 𝑎 para dentro da raiz quadrada. E vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos um sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado. Assim, d por d𝑥 do inverso do cos de 𝑥 sobre 𝑎 é igual a menos um sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado para valores de 𝑥 entre menos 𝑎 e 𝑎. Em nosso próximo exemplo, consideraremos como podemos aplicar o processo usado até agora para encontrar a derivada da inversa da função tangente.

Encontre uma expressão para a derivada de 𝑦 é igual ao inverso de tg de 𝑎𝑥 em termos de 𝑥.

Como 𝑦 é igual ao inverso da tg de 𝑎𝑥, podemos escrever 𝑎𝑥 como sendo igual a tg de 𝑦. Vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada de ambos os lados dessa equação. A derivada de 𝑎𝑥 em relação a 𝑥 é simplesmente 𝑎. E a derivada de tg de 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada de tg de 𝑦 em relação a 𝑦 vezes a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. A derivada de tg de 𝑥 é sec ao quadrado de 𝑥. E a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é d𝑦 por d𝑥.

Então, vemos que 𝑎 é igual a sec ao quadrado de 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥. Dividindo através de sec ao quadrado de 𝑦 e vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑎 sobre sec ao quadrado de 𝑦. Vamos precisar representar nossa equação para a derivada em termos de 𝑥. Então, vamos usar essa identidade trigonométrica. Um mais tg ao quadrado de 𝑥 é igual sec ao quadrado de 𝑥. Isso significa que podemos escrever d𝑦 por d𝑥 como 𝑎 sobre um mais tg ao quadrado de 𝑦. E então substituímos tg de 𝑦 por 𝑎𝑥. E vemos que a expressão para a derivada de 𝑦 é igual ao inverso da tg de 𝑎𝑥 é 𝑎 sobre um mais 𝑎𝑥 ao quadrado.

Regras semelhantes podem ser aplicadas para nos ajudar a encontrar a derivada da inversa da função cotangente. Nós achamos que a derivada do inverso da cotangente de 𝑎 de 𝑥 é igual a menos 𝑎 sobre um mais 𝑎𝑥 ao quadrado. As inversas das funções cossecantes e secantes são um pouco mais incomuns. Então, vamos considerar em seguida como encontrar a derivada da inversa da função cossecante. Encontre d por d𝑥 da inversa da cossecante de 𝑥. Começamos por deixar 𝑦 igual a inversa da cossecante de 𝑥. E isso significa que podemos reescrever isso. E podemos dizer que 𝑥 é igual a cossecante de 𝑦.

Em seguida, usaremos a derivação implícita para encontrar a derivada de ambos os lados dessa equação. A derivada de 𝑥 em relação a 𝑥 é simplesmente um. Então a derivada de cosec de 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada de cosec de 𝑦 em relação a 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥. E a derivada de cosec de 𝑦 em relação a 𝑦 é menos cosec de 𝑦 cotg de 𝑦. Assim, vemos que um é igual a menos cosec de 𝑦 cotg de 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥.

Agora, sabemos que, para a inversa da função cossecante, 𝑦 deve ser maior que menos 𝜋 sobre dois e menor que 𝜋 sobre dois e não igual a zero. Usando estas restrições, a cosec de 𝑦 cotg de 𝑦 não pode ser igual a zero. Então podemos nos dividir por menos cosec de 𝑦 cotg de 𝑦. E vemos que d𝑦 por d𝑥 é como mostrado. Queremos representar nossa equação para a derivada em termos de 𝑥. Então, vamos usar essa identidade trigonométrica cotg ao quadrado 𝑦 mais um é igual a cosec ao quadrado de 𝑦. E podemos reescrever isto para dizer que o cotg de 𝑦 é igual à raiz quadrada positiva e negativa da cosec ao quadrado de 𝑦 menos um.

Colocamos isso na equação da derivada no lugar de cotg de 𝑦. E então usamos o fato de que 𝑥 é igual a cosec de 𝑦. Mas vamos precisar tomar uma decisão sobre o seno da derivada. E isso pode ajudar aqui a olhar para o gráfico da inversa da função cossecante. Observe como, para todos os valores de 𝑥 no intervalo da função, a derivada da inclinação da tangente é negativa.

E nós, portanto, usamos o valor absoluto para garantir que nossa derivada seja sempre negativa. Dizemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos o valor absoluto de um sobre 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos um. Como um e a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos um são sempre positivos, podemos reescrevê-lo como mostrado. Assim, a derivada da inversa da função cossecante 𝑥 em relação a 𝑥 é menos um sobre o módulo ou valor absoluto de 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos um.

Um processo similar pode ser aplicado para nos ajudar a encontrar a derivada da inversa da função secante. E nós temos as derivadas de todas as inversas das funções trigonométricas que precisamos. É útil gravar esses resultados na memória, mas também estar preparado para derivá-los quando necessário. Agora, veremos a aplicação desses resultados.

Calcule a derivada da inversa da cotangente de um sobre 𝑥 em relação a 𝑥.

Aqui, temos uma função de uma função ou uma função composta. Portanto, precisaremos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada. Isto diz que se 𝑓 e 𝑔 são funções diferenciáveis ​​tais que 𝑦 é 𝑓 de 𝑢 e 𝑢 é 𝑔 de 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑥. Vamos deixar 𝑢 ser igual a um sobre 𝑥. Então 𝑦 é igual a inversa da cotg de 𝑢. Para aplicar a regra da cadeia, precisamos encontrar a derivada de ambas as funções. E com 𝑢 pode ser útil escrevê-lo como 𝑥 elevado a menos um.

Então d𝑢 por d𝑥 é menos 𝑥 elevado a menos dois ou menos um sobre 𝑥 ao quadrado. Podemos então usar a derivada geral da inversa da função cotangente. E vemos que d𝑦 por d𝑢 é igual a menos um sobre um mais 𝑢 ao quadrado. d𝑦 por d𝑥 é o produto destes. É menos um sobre 𝑥 ao quadrado vezes menos um sobre um mais 𝑢 ao quadrado.

Podemos substituir 𝑢 por um sobre 𝑥 e depois multiplicar. E vemos que a derivada da inversa da cotangente de um sobre 𝑥 em relação a 𝑥 é um sobre 𝑥 ao quadrado mais um. Você notou que a derivada da inversa da cotangente de um sobre 𝑥 é igual à derivada da tangente de 𝑥? Isso não é, na verdade, nenhum acidente. E podemos usar a identidade da inversa da cotangente de um sobre 𝑥 igual a inversa da tg de 𝑥. Isso poderia ter nos poupado um pouco mais de tempo neste exemplo anterior.

Calcule a derivada da inversa de seno da raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥.

Aqui, temos uma função de uma função ou uma função composta. Então, vamos usar a regra da cadeia para encontrar sua derivada. Isto diz que se 𝑦 é alguma função em 𝑢 e 𝑢 é alguma função em 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑥. Vamos deixar 𝑢 ser igual à raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado. O que pode, naturalmente, ser escrito como um menos 𝑥 ao quadrado elevado a um meio. Então 𝑦 é igual a inversa de seno de 𝑢. Para aplicar a regra da cadeia, precisaremos encontrar a derivada de ambas as funções. A derivada da inversa do seno de 𝑢 em relação a 𝑢 é um sobre a raiz quadrada de um menos 𝑢 ao quadrado.

E podemos usar a regra geral de potência para encontrar a derivada de um menos 𝑥 ao quadrado elevado a um meio. É um meio vezes um menos 𝑥 ao quadrado elevado a um meio vezes a derivada do termo dentro dos parênteses, que é menos dois 𝑥. Isso pode ser escrito como menos 𝑥 vezes um menos 𝑥 ao quadrado elevado a menos um meio.

d𝑦 por d𝑥 é, portanto, menos 𝑥 sobre a raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado vezes um sobre a raiz quadrada de um menos 𝑢 ao quadrado. Podemos substituir 𝑢 por um menos 𝑥 ao quadrado elevado a um meio. E a segunda fração se torna um sobre a raiz quadrada de um menos um menos 𝑥 ao quadrado. Isso simplifica ainda mais para um sobre 𝑥. E nós nos dividimos por 𝑥. E vemos que a derivada de nossa função é menos um sobre a raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado.

Mais uma vez, nos deparamos com um resultado interessante. Ou seja, a derivada da inversa de seno da raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado é igual à derivada da inversa do cos de 𝑥. Isto vem da identidade da inversa de seno da raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado é igual a inversa de cos de 𝑥, os valores de 𝑥 entre zero e um. Estar familiarizado com este resultado poderia ter reduzido a quantidade do que precisávamos fazer neste exemplo.

Neste vídeo, vimos que podemos usar a derivação implícita ou o teorema da função inversa para derivar as fórmulas para as derivadas das inversas das funções trigonométricas. Vimos que as derivadas das inversas das funções trigonométricas são como as mostradas. E também vimos que estar familiarizado com certas identidades trigonométricas pode às vezes reduzir significativamente o processo de encontrar essas derivadas.

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