Lesson Video: Limites no Infinito

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Neste vídeo, aprenderemos sobre limites para o infinito. Aprendemos anteriormente sobre o significado do limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de um número real 𝑐. Se o valor desse limite for 𝐿, isso significa que, se escolhermos 𝑥 próximo o suficiente 𝑐, poderemos tornar 𝑓 de 𝑥 tão próximo de 𝐿 quanto queiramos. Podemos obter o valor de 𝑓 de 𝑥 arbitrariamente próximo de 𝐿. Neste vídeo, interpretaremos os limites da forma o limite de 𝑓 de 𝑥 à medida que 𝑥 se aproxima de infinito. O que significa estes limites tomarem o valor 𝐿?

Podemos tentar substituir 𝑐 na definição acima por infinito. E assim, interpretamos isto como significando que, se escolhermos 𝑥 próximo o suficiente de infinito, poderemos tornar 𝑓 de 𝑥 tão próximo de 𝐿 quanto queiramos. Mas o que significa 𝑥 estar próximo o suficiente de infinito quando o infinito está infinitamente longe de qualquer valor de 𝑥 que poderíamos escolher? Acontece que, em vez de dizer que 𝑥 está próximo o suficiente de infinito, deveríamos dizer que 𝑥 é grande o suficiente. Portanto, o limite de 𝑓 de 𝑥 para 𝑥 a tender para infinito é igual a 𝐿 significa que, se escolhermos 𝑥 grande o suficiente, poderemos tornar 𝑓 de 𝑥 tão próximo de 𝐿 quanto queiramos.

Observando o gráfico da função racional, podemos ver que, se escolhermos 𝑥 grande o suficiente, poderemos tornar a função racional, um sobre 𝑥, tão próximo de zero quanto queiramos. E assim, dizemos que o limite de um sobre 𝑥, para 𝑥 a tender para infinito, é zero. O valor deste limite zero é o valor para o qual a função um sobre 𝑥 se aproxima cada vez mais à medida que 𝑥 aumenta sem restrição.

Também podemos pensar no limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 se aproxima de menos infinito. Sendo este limite 𝐿, significa que, se escolhermos 𝑥 grande e negativo o suficiente, por outras palavras, 𝑥 é negativo, mas grande o suficiente em módulo, poderemos tornar 𝑓 de 𝑥 tão próximo 𝐿 quanto queiramos. Assim, como no limite para 𝑥 a tender para mais infinito, podemos pensar sobre este valor 𝐿 de uma maneira diferente. Este valor 𝐿 é o valor para o qual 𝑓 de 𝑥 se aproxima cada vez mais à medida que 𝑥 diminui sem restrição.

Então, qual é o limite de um sobre 𝑥 quando 𝑥 tende para menos infinito? Bem, à medida que 𝑥 diminui sem restrição, um sobre 𝑥 aproxima-se cada vez mais de zero. Portanto, o valor deste limite, novamente, é zero. Estes dois limites são limites muito úteis de se saber. Acontece que as propriedades dos limites que aprendemos para limites finitos, adequadamente interpretadas, funcionam também para limites infinitos. Utilizando estas propriedades dos limites, juntamente com os limites da função racional para 𝑥 a tender para infinito e menos infinito como acabámos de determinar, podemos encontrar o valor de muitos outros limites. Vamos ver um exemplo.

Determine o limite de menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado mais cinco sobre 𝑥 mais oito quando 𝑥 tende para infinito.

Temos um limite quando 𝑥 tende para infinito aqui, mas todas as propriedades normais dos limites ainda se aplicam. Por exemplo, o limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites. E assim, podemos dividir o nosso limite em três. É igual ao limite de menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado quando 𝑥 tende para infinito mais o limite de cinco sobre 𝑥 quando 𝑥 tende para infinito mais o limite de oito quando 𝑥 tende para infinito.

O que podemos dizer sobre este limite? Bem, sabemos que o limite de uma constante 𝐾, quando 𝑥 se aproxima de um número 𝑐, é apenas 𝐾. E, como na propriedade dos limites anterior, isto é verdade, mesmo que 𝑐 não seja um número real, mas seja mais infinito ou menos infinito. O valor deste último limite é apenas oito.

E os outros dois limites? Podemos utilizar o facto de que o limite de um múltiplo constante de uma função é este múltiplo da constante do limite da função. O primeiro limite é, portanto, menos quatro vezes o limite de um sobre 𝑥 ao quadrado quando 𝑥 tende para infinito. E o segundo é cinco vezes o limite de um sobre 𝑥 quando 𝑥 tende para infinito. E, finalmente, adicionamos o oito.

Agora, o limite da função racional um sobre 𝑥, à medida que 𝑥 tende para infinito, é algo que devemos saber. O seu valor é zero. Mas e o limite de um sobre 𝑥 quadrado com 𝑥 a tender para infinito? Bem, podemos utilizar o facto de que o limite da potência uma função é a potência do limite da função. Este limite é o limite da função racional um sobre 𝑥 ao quadrado, uma vez que um sobre 𝑥 ao quadrado é igual a um sobre 𝑥 tudo ao quadrado. E, pela nossa propriedade dos limites, este é o limite de um sobre 𝑥, à medida que 𝑥 tende para infinito ao quadrado. Este limite é conhecido como zero. E assim, o nosso limite, o limite de um sobre 𝑥 quadrado quando 𝑥 tende para infinito, também é zero.

Podemos generalizar que obtém outra propriedade dos limites que o limite de um sobre 𝑥 elevado a 𝑛, à medida que 𝑥 tende para infinito, é zero, pelo menos se 𝑛 for maior que zero. O nosso limite original é, portanto, menos quatro vezes zero mais cinco vezes zero mais oito, o que é, obviamente, apenas oito.

Vamos ver outro exemplo.

Determine o limite de menos dois 𝑥 elevado a menos quatro mais oito 𝑥 para três menos 𝑥 elevado a menos dois mais nove 𝑥 elevado a menos quatro tudo sobre dois 𝑥 elevado a menos quatro menos seis 𝑥 elevado a menos três mais sete 𝑥 elevado a menos dois mais seis 𝑥 elevado a um mais três, quando 𝑥 tende para infinito.

Este é o limite de um quociente de funções. E sabemos que o limite de um quociente de funções é o quociente dos seus limites. Assim, podemos determinar os limites do numerador e do denominador separadamente, caso existam. E como o limite de uma soma de funções é a soma dos seus limites, podemos determinar os limites termo a termo.

Agora, temos muitos limites para calcular, mas todos são termos muito simples. E podemos torná-los mais simples, colocando as constantes fora dos limites. Como limite de uma constante vezes uma função é aquela constante vezes o limite da função. E agora, a grande maioria dos nossos limites tem a forma de 𝑥 elevado a um número negativo à medida que 𝑥 se aproxima de infinito.

Quais são os valores destes limites? Bem, podemos escrever 𝑥 elevado a menos 𝑛 como um sobre 𝑥 elevado a 𝑛. E para 𝑛 maior que zero, o valor é zero. Todos estes limites são zero. E resta-nos apenas dois limites com que nos preocuparmos, os quais são os limites das constantes quatro e três. O limite de uma função constante é exatamente essa constante. E, portanto, tomando cuidado para incluir este sinal de menos, vemos que a resposta é menos quatro sobre três.

A solução deste problema foi direta, pois tínhamos constantes e potências negativas no numerador e no denominador. E sabemos qual é o limite de um expoente negativo de 𝑥 quando 𝑥 tende para infinito; é zero.

Vamos agora ver um exemplo em que não temos apenas expoentes negativos.

Determine o limite de 𝑥 ao quadrado mais três sobre oito 𝑥 ao cubo mais nove 𝑥 mais um quando 𝑥 tende para infinito.

O nosso primeiro pensamento pode ser utilizar o facto de que o limite de um quociente é o quociente dos limites. Isso dá-nos o limite de 𝑥 ao quadrado mais três quando 𝑥 se aproxima de infinito sobre o limite de oito 𝑥 ao cubo mais nove 𝑥 mais um quando 𝑥 se aproxima de infinito. Mas encontramos problemas porque nenhum limite está definido. No numerador, à medida que 𝑥 se aproxima de infinito, 𝑥 ao quadrado mais três não se aproxima de nenhum valor real, fica cada vez maior sem limite. E a mesma coisa acontece no denominador. À medida que 𝑥 aumenta sem restrição, oito 𝑥 ao cubo mais nove 𝑥 mais um também aumenta sem restrição.

Ou talvez pense que os dois limites devem ser infinitos. E assim, o limite no lado esquerdo é infinito sobre infinito. Mas isto, assim como um zero sobre zero, é uma indeterminação. E isso não nos diz o valor do nosso limite. Precisamos de utilizar uma abordagem diferente.

O truque para esta questão é determinar a maior potência de 𝑥 que aparece no numerador ou denominador. É 𝑥 ao cubo aqui. E tendo determinado esta potência maior, dividimos o numerador e o denominador por este. E o que obtemos? 𝑥 ao quadrado dividido por 𝑥 ao cubo é 𝑥 elevado a menos um. E três dividido por 𝑥 ao cubo é três 𝑥 elevado a menos três. E no denominador oito 𝑥 ao cubo dividido por 𝑥 ao cubo é apenas oito. Nove 𝑥 dividido por 𝑥 ao cubo é nove 𝑥 elevado a menos dois. E um dividido por 𝑥 ao cubo é 𝑥 elevado a menos três.

Então, agora, temos apenas potências negativas de 𝑥 e uma constante no numerador e no denominador. E, como resultado, quando aplicamos esta propriedade dos limites, descobrimos que os limites no numerador e no denominador agora existem. Vamos determinar os seus valores. Podemos utilizar o facto de que o limite de uma soma de funções é a soma dos seus limites. Isso permite-nos determinar o limite de cada termo separadamente. Também podemos levar o coeficiente para fora dos limites.

E agora, além de um limite, que é o limite de uma função constante, e cujo valor deve ser oito, todos os outros limites têm a forma do limite de 𝑥 elevado a menos 𝑛 quando 𝑥 tende para infinito. Onde 𝑛 é, obviamente, maior que zero. E sabemos o valor destes limites. O valor é sempre zero.

Então, isto é zero, e isto é zero, e isto é zero, e isto é zero. Simplificando, então, a nossa resposta é zero sobre oito, que é, obviamente, apenas zero.

Agora, na primeira tentativa fracassada de resolver este problema, dissemos que os limites do numerador e do denominador individualmente eram indefinidos ou infinitos. O que queremos dizer com dizer que o valor de tais limites poder ser infinito. Vamos descobrir.

Se o limite de 𝑓 de 𝑥, conforme 𝑥 tende para infinito, é infinito, isso significa que podemos tornar o valor de 𝑓 de 𝑥 arbitrariamente grande escolhendo 𝑥 grande o suficiente. Suponha que queria que 𝑓 de 𝑥 seja maior que um bilhão. Bem, há algum valor que, se escolhermos 𝑥 ser maior que esse valor, 𝑓 de 𝑥 será maior que um bilhão, conforme necessário. Outra maneira de pensar sobre isto é que, além de um certo ponto, à medida que 𝑥 aumenta sem restrição, 𝑓 de 𝑥 também aumenta sem restrição.

Da mesma forma, o limite de 𝑓 de 𝑥, conforme 𝑥 se aproxima de infinito, ser menos infinito significa que, à medida 𝑥 aumenta sem restrição, 𝑓 de 𝑥 diminui sem restrição. E para completar, escrevemos os significados quando 𝑥 tende também para menos infinito. Vamos ver um exemplo.

Determine o limite de seis 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 menos seis quando 𝑥 tende para infinito.

Existem várias maneiras de determinar esse limite. Uma maneira é olhar para o gráfico de 𝑦 igual a seis 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 menos seis. Parece que, à medida que 𝑥 aumenta sem restrição, seis 𝑥 ao quadrado 𝑥 menos seis também aumenta sem restrição. Como resultado, podemos dizer que este limite é infinito. Mas pode não estar convencido disso. Talvez, o gráfico faça algo um pouco diferente ao longo do eixo O𝑥.

Também podemos realizar uma divisão polinomial para descobrir seis 𝑥 ao quadrado sobre 𝑥 menos seis igual a seis 𝑥 mais 36 mais 216 sobre 𝑥 menos seis. E é fácil estabelecer os limites no segundo membro. Podemos fazer isto termo a termo. O limite de seis 𝑥, à medida que 𝑥 tende para infinito, deve ser infinito. À medida que 𝑥 aumenta sem restrição, seis 𝑥 também aumenta sem restrição. O limite de 36, quando 𝑥 tende para infinito, é apenas 36. Este é o limite de uma constante.

E o último limite pode ser um pouco mais complicado. Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 que vemos; é isto 𝑥. O limite de um quociente é o quociente dos limites. E o limite no numerador é apenas zero e no denominador é apenas um. Portanto, o valor deste limite é zero. Portanto, o nosso limite é infinito mais 36. E quando estamos a lidar com limites, é perfeitamente bom dizer que infinito mais 36 é apenas infinito, o que dá outro caminho para esta resposta.

Ok, agora, vamos ver um problema final.

Determine o limite de nove menos oito 𝑥 mais seis 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 ao cubo quando 𝑥 tende para menos infinito.

A primeira coisa que podemos ser tentados a fazer é escrever esse limite de uma soma como a soma de alguns limites. Podemos então calcular cada um destes limites um por um. O limite da função constante nove é apenas nove. O que podemos dizer sobre o limite de oito 𝑥 quando 𝑥 tende para menos infinito? Bem, com o gráfico de 𝑦 igual a oito 𝑥 em mente, podemos ver que, como 𝑥 diminui sem restrição, 𝑦 também diminui sem restrição. E assim, o limite de oito 𝑥, conforme 𝑥 se aproxima de menos infinito, é menos infinito.

Que tal o limite de seis 𝑥 ao quadrado quando 𝑥 tende para menos infinito? Novamente, temos o gráfico em mente e vemos que, como 𝑥 diminui sem restrição, 𝑦 aumenta sem restrição. Então, esse limite é infinito. E finalmente, o limite de dois 𝑥 ao cubo quando 𝑥 tende para menos infinito, sabemos como é uma curva cúbica. E vemos que, quando 𝑥 tende para menos infinito, também 𝑦 tende para menos infinito. Este limite é menos infinito.

Então, parece que o nosso limite é nove menos menos infinito mais infinito menos menos infinito. E se tratarmos o infinito como um número, podemos escrever menos menos infinito como mais infinito, obtendo nove mais infinito mais infinito mais infinito. E esta soma é igual a infinito. Agora, temos que ter um pouco de cuidado ao manipular o infinito desta maneira. Mas acontece que todas estas etapas estão bem nesta situação. Tivemos a sorte de não termos nenhum sinal de menos no final, pois infinito menos o infinito é uma indeterminação.

Por várias razões, pode valer a pena ver como resolver este problema de uma maneira diferente. Em vez disto, o que fazemos é calcular a maior potência de 𝑥, que é 𝑥 ao cubo, de dentro do limite. Isso dá-nos o limite de 𝑥 ao cubo vezes nove 𝑥 elevado a menos três menos oito 𝑥 elevado a menos dois mais seis 𝑥 elevado a menos um menos dois quando 𝑥 tende para menos infinito. O limite de um produto é o produto dos limites.

Agora, qual é o limite de 𝑥 ao cubo quando 𝑥 tende para menos infinito? Bem, podemos modificar levemente o nosso gráfico e chamar este gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo. E veremos que este limite é menos infinito. E este limite? Bem, estes termos com expoentes negativos de 𝑥 não contribuem em nada e, portanto, ficamos apenas com o limite de menos dois à medida que 𝑥 tende para menos infinito. E é claro que isto é apenas menos dois. A única parte de manipulação de infinito que precisamos de fazer é multiplicar menos infinito por menos dois. Os sinais de menos são anulados. E temos apenas infinito.

Em alternativa, poderíamos ter fatorizado o termo menos dois ao 𝑥 cubo no limite. E a seguir, o valor do segundo limite no nosso produto seria apenas um. Podemos mostrar facilmente que o primeiro limite do produto é infinito. E poderá estar mais disposto a acreditar que infinito vezes um é infinito do que acreditaria que menos infinito vezes menos dois é infinito.

Utilizando este método, podemos mostrar que o limite de um polinómio, à medida que 𝑥 tende para mais ou menos infinito, é apenas o limite do termo de maior grau desse polinómio quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito. Então, tudo o que precisamos de fazer é olhar ou imaginar um gráfico desta função monomial.

Vamos ver os pontos principais que abordámos neste vídeo. Podemos considerar limites da forma limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito. E nesses casos, as propriedades dos limites ainda se aplicam. O limite da função racional um sobre 𝑥, quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito, é zero. E, portanto, combinando isso com uma das propriedades dos limites, vemos que o limite de um sobre 𝑥 elevado a 𝑛, à medida que 𝑥 tende para mais ou menos infinito, também é zero se 𝑛 for maior que zero.

Podemos determinar os limites das funções racionais dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 e utilizando o resultado acima. E de maneira semelhante, podemos mostrar que o limite de um polinómio, à medida que 𝑥 tende para mais ou menos infinito, é apenas o limite do seu termo de maior grau. Precisamos de ter um pouco de cuidado ao brincar com infinito. Mas, com algumas exceções, por exemplo, as indeterminações infinito sobre infinito e infinito menos infinito, o infinito pode ser manipulado como um número real no contexto de limites.