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Neste vídeo, aprenderemos como identificar acontecimentos mutuamente exclusivos e acontecimentos não mutuamente exclusivos e determinar as suas probabilidades. Antes de discutirmos acontecimentos mutuamente exclusivos, vamos recapitular acontecimentos compostos e a regra da adição em probabilidade.
Lembramos que a interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é a coleção de todos os resultados que são elementos de ambos os conjuntos 𝐴 e 𝐵. E isto é o equivalente à ocorrência de ambos os acontecimentos. A união dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é a coleção de todos os resultados que são elementos de um ou outro dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 ou de ambos. Isto é o equivalente a qualquer um dos acontecimentos que ocorrem.
Também lembramos que, se um acontecimento 𝐴 num espaço de resultados 𝑠 não pode ocorrer, a sua probabilidade é zero. Isto significa que não há elementos em 𝐴. E chamamos um conjunto sem elementos de conjunto vazio. Finalmente, lembramos que a regra da adição em probabilidade afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.
Vamos agora considerar o que acontece quando a probabilidade desta interseção é igual a zero. Se a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 for igual a zero, a regra da adição em probabilidade simplificará para a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 ser igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵. Isto leva-nos a uma definição informal de acontecimentos mutuamente exclusivos. Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 onde a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual a zero são acontecimentos mutuamente exclusivos. Isto acontece porque os dois acontecimentos não podem ocorrer ao mesmo tempo.
Mais formalmente, isto pode ser escrito da seguinte maneira. 𝐴 e 𝐵 são acontecimentos mutuamente exclusivos se 𝐴 interseção 𝐵 for igual ao conjunto vazio. Isto equivale a dizer que os acontecimentos não podem ocorrer ao mesmo tempo, pois a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual à probabilidade do conjunto vazio, que sabemos ser igual a zero.
Dizemos que uma lista de acontecimentos 𝐴 índice um, 𝐴 índice dois e assim por diante até 𝐴 índice 𝑛 é mutuamente exclusiva se forem mutuamente exclusivos aos pares. Portanto, a interseção de 𝐴 índice 𝑖 e 𝐴 índice 𝑗 é igual ao conjunto vazio para qualquer 𝑖 e 𝑗 que exista no conjunto de números um, dois e assim por diante até 𝑛. Resumindo, se 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, então a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵. Isto pode ser representado num diagrama de Venn, como se mostra, onde os dois círculos que representam os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 não se intersetam.
Vamos agora considerar alguns exemplos específicos. E no nosso primeiro, determinaremos se os pares de acontecimentos dados são mutuamente exclusivos.
A Amelia tem um baralho de 52 cartas. Ela seleciona ao acaso um cartão e considera os seguintes acontecimentos: acontecimento 𝐴, selecionar uma carta que é copas; acontecimento 𝐵, selecionar uma carta que é preta; e o acontecimento 𝐶, selecionar uma carta que não seja de espadas. Os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos? Os acontecimentos 𝐴 e 𝐶 são mutuamente exclusivos? Os acontecimentos 𝐵 e 𝐶 são mutuamente exclusivos?
Em todas as três partes desta questão, precisamos determinar se dois acontecimentos são mutuamente exclusivos. Lembramos que dois acontecimentos 𝑥 e 𝑦 são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, a probabilidade de 𝑥 interseção 𝑦 é igual a zero.
Nesta questão, somos informados de que a Amelia tem um baralho normal de 52 cartas. Sabemos que estas são divididas em quatro naipes, ouros, copas, paus e espadas, onde os dois primeiros naipes são cartas vermelhas e os dois segundos são pretas. Cada um dos naipes tem 13 cartas: um ás, os números de dois a 10, um valete, uma rainha e um rei.
Há três acontecimentos que a Amelia precisa de considerar: primeiro, o acontecimento 𝐴, selecionar uma carta que é copas. Isto envolverá selecionar qualquer uma das 13 cartas na segunda linha. O acontecimento 𝐵 envolve selecionar uma carta preta. Isto envolve selecionar uma carta que seja club ou espadas, qualquer uma das 26 cartas nas duas filas de baixo. Finalmente, temos o acontecimento 𝐶, que é selecionar uma carta que não é de espadas. Esta pode ser ouros, copas ou paus, qualquer uma das 39 cartas nas três primeiras linhas.
Para determinar se os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, precisamos de descobrir se há um resultado que ocorre em ambos os acontecimentos. É possível escolher uma carta copas e escolher uma carta preta? Sabemos que todas as copas são vermelhas, então não há cartas pretas e de copas. E podemos, portanto, concluir que quando a Amelia está a selecionar uma carta, ambos os acontecimentos não podem ocorrer. E os acontecimentos são, portanto, mutuamente exclusivos.
Em seguida, precisamos de considerar se os acontecimentos 𝐴 e 𝐶 são mutuamente exclusivos. Desta vez, temos os acontecimentos de selecionar uma carta que é uma carta de copas e escolher uma carta que não é de espadas. O ponto principal aqui é que todas as copas não são espadas. Isto significa que escolher qualquer copas satisfará ambos os acontecimentos. E como ambos os acontecimentos podem ocorrer ao mesmo tempo, podemos concluir que não são mutuamente exclusivos. Há uma sobreposição entre escolher uma carta que é de copas e escolher uma carta que não é de espadas.
Finalmente, precisamos de considerar se os acontecimentos 𝐵 e 𝐶 são mutuamente exclusivos. Desta vez, temos os acontecimentos de selecionar uma carta que é preta e selecionar uma carta que não é de espadas. Desta vez, o facto chave é que todas as de paus são pretas. E também não são espadas. Isto significa que a escolha de qualquer uma das de paus satisfaz os dois acontecimentos. E podemos, portanto, concluir que os acontecimentos 𝐵 e 𝐶 não são mutuamente exclusivos. Os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, enquanto os acontecimentos 𝐴 e 𝐶 e 𝐵 e 𝐶 não são mutuamente exclusivos.
No nosso próximo exemplo, utilizaremos a exclusividade mútua de dois acontecimentos e as suas probabilidades para determinar a probabilidade de qualquer um dos acontecimentos ocorrer.
Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 mutuamente exclusivos têm probabilidades. A probabilidade de 𝐴 é igual a um décimo e a probabilidade de 𝐵 é igual a um quinto. Determine a probabilidade de 𝐴 união 𝐵.
Começamos por lembrar que dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Isto significa que não há elementos no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵, e a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual a zero. A regra da adição em probabilidade diz-nos que quando 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵. Os acontecimentos mutuamente exclusivos também podem ser representados num diagrama de Venn, como se mostra, onde não há sobreposição entre os círculos que representam os acontecimentos 𝐴 e 𝐵.
Dizem-nos que a probabilidade do acontecimento é um décimo e a probabilidade do acontecimento 𝐵 é um quinto. A probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é, portanto, igual a um décimo mais um quinto, que pode ser reescrita como um décimo mais dois décimos, que por sua vez é igual a três décimos. A probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é de três décimos.
No nosso próximo exemplo, utilizaremos a exclusividade mútua de três acontecimentos e propriedades de probabilidade para determinar a probabilidade de um acontecimento composto.
Uma bolsa contém bolas vermelhas, azuis e verdes, e uma deve ser selecionada sem olhar. A probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha é igual a sete vezes a probabilidade de que a bola selecionada seja azul. A probabilidade de que a bola selecionada seja azul é a mesma que a probabilidade de que a bola selecionada seja verde. Determine a probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha ou verde.
Começaremos por indicar os acontecimentos de escolha de uma bola vermelha, uma bola azul e uma bola verde como R, B e G, respetivamente. Como a bola selecionada pode ser apenas uma destas três cores, podemos concluir que os acontecimentos são mutuamente exclusivos. O nosso objetivo nesta questão é determinar a probabilidade de a bola selecionada ser vermelha ou verde. Esta é a probabilidade da união dos dois acontecimentos. E lembramos que para quaisquer dois acontecimentos mutuamente exclusivos 𝑦 e 𝑦, a probabilidade de 𝑥 união 𝑦 é igual à probabilidade de 𝑥 mais a probabilidade de 𝑦. Isto significa que precisamos de determinar a soma da probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha e a probabilidade de que a bola selecionada seja verde.
Dizem-nos que a probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha é sete vezes a probabilidade de que a bola selecionada seja azul. Esta pode ser escrita como se mostra. Também nos é dito que a probabilidade de que a bola selecionada seja azul é a mesma que a probabilidade de que a bola selecionada seja verde.
Finalmente, uma vez que existem apenas bolas vermelhas, azuis e verdes no saco e estes são acontecimentos mutuamente exclusivos, temos a probabilidade de vermelha mais a probabilidade de azul mais a probabilidade de verde ser igual a um. Substituindo a probabilidade de vermelha e a probabilidade de verde pelas equações um e dois, temos a seguinte equação. Sete multiplicado pela probabilidade de azul mais a probabilidade de azul mais a probabilidade de azul ser igual a um. Isto simplifica para nove multiplicado pela probabilidade de azul ser igual a um. E a probabilidade de que a bola selecionada seja azul é, portanto, igual a um nono.
Isto significa que a probabilidade de a bola escolhida ser verde também é igual a um nono. E a probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha é de sete nonos. Depois de limpar algum espaço, agora podemos calcular a probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha ou verde. Isto é igual a sete nonos mais um nono, que por sua vez é igual a oito nonos. Quando uma bola é selecionada do saco sem olhar, a probabilidade de que a bola selecionada seja vermelha ou verde é de oito nonos.
No nosso exemplo final, veremos dois acontecimentos que não são mutuamente exclusivos.
A probabilidade de um aluno passar no exame de física é de 0.71. A probabilidade de passar no exame de matemática é de 0.81. A probabilidade de passar em ambos os exames é de 0.68. Qual é a probabilidade de o aluno passar apenas no exame de matemática?
Começaremos por indicar os acontecimentos de aprovação nos exames de física e de matemática como P e M, respetivamente. Dizem-nos que a probabilidade de um aluno passar no exame de física é de 0.71. E a probabilidade de passar no exame de matemática é de 0.81. Como é possível passar nos dois exames, os dois acontecimentos não são mutuamente exclusivos. E somos informados de que a probabilidade de passar em ambos os exames é de 0.68.
Estas informações podem ser representadas num diagrama de Venn, onde a sobreposição ou interseção dos dois círculos representa a probabilidade de que um aluno seja aprovado em ambos os exames. Como já mencionado, isto é igual a 0.68. A questão pedia-nos para calcular a probabilidade de o aluno passar apenas no exame de matemática. Isto será igual à probabilidade de que passe a matemática menos a probabilidade de que seja aprovado em ambos os exames. Precisamos de subtrair 0.68 de 0.81. Isto é igual a 0.13. A probabilidade de que o aluno passe apenas a matemática, ou seja, passe a matemática e não a física, é de 0.13.
Podemos adicionar isto ao nosso diagrama de Venn, como se mostra. E poderíamos repetir este processo para determinar a probabilidade de o aluno passar apenas no exame de física. Subtrair 0.68 de 0.71 dá-nos 0.03. Resta uma opção para completar o diagrama de Venn: a probabilidade de que o aluno não passe a física ou a matemática, ou seja, que seja reprovado a ambos os exames. 0.03 mais 0.68 mais 0.13 é igual a 0.84. Como as probabilidades devem somar um e um menos isto é igual a 0.16, a probabilidade de um aluno ser reprovado a física e a matemática é de 0.16.
Agora temos o diagrama de Venn completo, que mostra que a probabilidade de o aluno passar apenas no exame de matemática é de 0.13.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos se a interseção de 𝐴 e 𝐵 for igual ao conjunto vazio. Isto significa que acontecimentos mutuamente exclusivos não podem ocorrer ao mesmo tempo, pois a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual à probabilidade do conjunto vazio, que é igual a zero. Uma lista de acontecimentos é mutuamente exclusiva se forem mutuamente exclusivos. Finalmente, se os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, então a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵.
