Vídeo: Introduzindo a Forma do Completamento do Quadrado de uma Função Quadrática

Explicando o propósito e a estrutura da forma do completamente do quadrado para equações do segundo grau e começamos a aplica-la em quadrados com 1𝑥².

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos o a forma do completamento do quadrado de equações do segundo grau. Vamos ver como organizar expressões quadráticas nessa forma e veremos por que isso é algo útil. Vamos ver como utilizá-la na prática.

Aqui está uma equação quadrática. Bem, vamos pensar: “O que sabemos sobre equações quadráticas?” Bem, sabemos que são curvas; de facto, sabemos que são parábolas simétricas. Também sabemos que podem ser o que poderíamos chamar de “curvas felizes” ou “curvas tristes”. Podem ficar viradas para baixo ou para cima. E sabemos que intersetam o eixo O𝑦 algures e, às vezes, intersetam o eixo O𝑥.

Então, vamos tentar fazer um esboço desta curva. Bem antes de o fazermos, vejamos este termo 𝑥 ao quadrado. Não há nada à frente; não há um coeficiente à frente. E isso realmente significa que, na verdade, temos um vezes 𝑥 ao quadrado. De facto, é um positivo vezes 𝑥 ao quadrado. Portanto, o facto de este ser um número positivo — se acha que é positivo, é feliz; se é negativo, está a sentir-se triste. Ora, positivo significa que é uma curva feliz. A curva — a parábola vai ser algo assim. E este termo aqui no final, o termo constante no final, diz-nos onde a curva interseta o eixo O𝑦. E chamamo-lo de interseção com O𝑦. Então, agora temos algumas informações básicas. Podemos começar a esboçar a curva.

Ora aqui está um par de eixos coordenados e podemos marcar o ponto aqui, menos seis. Então, é aqui que interseta o eixo O𝑦. Agora, sabemos que é uma curva feliz. Mas não sabemos exatamente como está alinhada, para a esquerda ou direita? Pode ser que esta curva venha até aqui abaixo. Este é o ponto mínimo em seis — menos seis aqui em baixo, e depois sobe assim. Pode ser que esteja um pouco à direita disto; e, de facto, a curva desce aqui por este ponto aqui, continua a descer e depois vai mais para a direita. Ou talvez esteja mais para a esquerda, e talvez desça aqui, desça por aqui e depois volte aqui por este caminho.

Ora, para descobrir de qual destes três cenários estamos a falar, o que realmente precisamos de fazer agora é descobrir onde é que esta curva interseta o eixo O𝑥. Sabemos onde interseta o eixo O𝑦; precisamos saber onde interseta o eixo O𝑥.

É claro que sabemos que os pontos no eixo O𝑥 têm uma coordenada em 𝑦 de zero. Portanto, poderíamos substituir 𝑦 por zero e tentar resolver esta equação e descobrir quais são as soluções.

Então, eu escrevi esta equação: 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos seis igual a zero. E uma das maneiras óbvias de fazer isso é que podemos fatorizar a expressão 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos seis. E dá-nos 𝑥 menos dois num parêntesis e 𝑥 mais três noutro parêntesis. É claro que podemos verificar: 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado, 𝑥 vezes três é três 𝑥, menos dois vezes 𝑥 é menos dois 𝑥 e três 𝑥 adiciona menos dois 𝑥 é apenas mais um 𝑥 e, em seguida, menos dois vezes três é menos seis. Então sim, isto ao multiplicar realmente nos dá o mesmo que tínhamos na linha anterior.

Agora, o problema é que temos algo que é igual a zero. Portanto, uma destas coisas deve ser zero. Portanto, ou a primeira coisa é zero, ou seja, 𝑥 menos dois é igual a zero ou a segunda coisa é zero, ou seja, 𝑥 mais três igual a zero. Se a primeira coisa é verdadeira, então 𝑥 deve ser igual a dois. E se a segunda coisa é verdadeira, então 𝑥 deve ser igual a menos três. Então, temos os dois valores de 𝑥, que nos dão uma coordenada 𝑦 de zero. E estes pontos, bem, o primeiro é dois à direita do eixo O𝑦 e o segundo é três à esquerda do eixo O𝑦. Então, estamos a olhar para este ponto e este ponto. Então, esta curva aqui era a curva que estávamos à procura.

Agora sabemos que as curvas quadráticas, estas parábolas, são simétricas. Então, se traçarmos um eixo de simetria aqui no meio e porque toda esta curva está levemente para a esquerda do eixo O𝑦, sabemos que o ponto mínimo da curva, este ponto mais baixo na curva aqui, e a coordenada em 𝑥 deve estar entre menos três — ou seja, esta distância aqui é a mesma que aqui — e dois positivo. Então, vejo que a diferença entre menos três e dois é cinco e metade de cinco é dois e meio. Portanto, se voltarmos dois e meio a partir de dois ou avançarmos dois e meio a partir de menos três, terminamos no ponto menos cinco.

Portanto, este ponto mínimo na curva aqui tem uma coordenada em 𝑥 de zero ponto cinco — menos zero ponto cinco. Podemos descobrir qual é a coordenada em 𝑦 apenas colocando este valor de volta na nossa equação original. E quando o fazemos, vemos que a coordenada em 𝑦 correspondente é menos seis ponto dois cinco.

Então, realmente descobrimos tudo o que precisávamos saber sobre esta curva, executando os seguintes passos. Em primeiro lugar, podemos fatorizar o a expressão do segundo grau. Isso permitiu-nos descobrir onde intersetou o eixo O𝑥. Conseguimos encontrar a coordenada em 𝑥 do ponto médio entre estes dois pontos. Portanto, é muito fácil esboçar esta curva sabendo onde intersetou o eixo O𝑦, onde intersetou o eixo O𝑥 e qual era o ponto mínimo na curva.

Ok, vamos tentar uma equação quadrática diferente. Desta vez, temos 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais sete. Agora, novamente, nada à frente de 𝑥 ao quadrado, então isso significa que é um e que é um número positivo. E um número positivo na frente do 𝑥 quadrado, o coeficiente positivo, significa que é uma curva feliz. Então, novamente, esta parábola estará voltada para cima assim. Também temos o facto de que a interseção com O𝑦 é em sete positivo.

Então, podemos começar a tentar esboçar a curva. Então, primeiro, vamos marcar o ponto em que interseta o eixo O𝑦. E agora temos novamente várias opções diferentes para a aparência desta curva. Pode ser que a curva desça e este ponto mínimo esteja no eixo O𝑦 no ponto zero, sete. Pode descer pelo ponto zero, sete e depois descer para a esquerda ou descer para a direita. Ou pode descer para a esquerda e tocar no eixo O𝑥. Ou pode descer para a direita e apenas tocar no eixo O𝑥. Ou, aliás, poderia descer e para a esquerda e ainda mais, e poderia intersetar o eixo O𝑥 nalguns sítios ou mais para a direita, intersetar o eixo O𝑥 nalguns sítios. Então, para terminar de desenhar esta curva, mais uma vez precisamos de descobrir onde interseta o eixo O𝑥.

Bem, quando interseta o eixo O𝑥, sabemos que a coordenada em 𝑦 aqui será zero. Então, podemos escrever 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais sete igual a zero e tentar calcular isto. Bem, vamos tentar fatorizar isto. Bem, não consigo pensar em dois fatores que se multiplicam para dar sete positivo e se somam para dar dois positivo. Portanto, não parece que fatorize. Então, teremos que desistir desta ideia. Podemos tentar a fórmula resolvente em seguida.

E se se lembra, é 𝑥 igual a menos 𝑏 mais ou menos a raiz quadrada de 𝑏 quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. E no nosso caso, 𝑎 é um, 𝑏 é dois e 𝑐 é sete nas nossas equações originais. Então, vamos inserir estes valores. E é isto que obtemos. Então, vamos dar uma olhadela no discriminante aqui, dentro desta raiz quadrada, e isso dá-nos dois ao quadrado é quatro e estamos a subtrair quatro vezes sete é vinte e oito. Bem, isso é menos vinte e quatro. Então, o que estamos a tentar fazer aqui é encontrar a raiz quadrada de menos vinte e quatro. Bem, é impossível. Não existem valores reais que, quando os multiplica, obtém um número negativo; certamente não obterá menos vinte e quatro.

Tudo isso diz-nos que não há nenhum valor que possamos substituir em 𝑥 que gere uma coordenada em 𝑦 de zero. Esta equação não tem solução. Por outras palavras, sabe, não é o caso verde; não desce e toca no eixo O𝑥. E não é o caso vermelho; não desce, passa e volta novamente. Portanto, deve ser um daqueles casos azuis.

Então, estamos numa destas situações azuis, mas não sabemos qual. E não podemos utilizar a simetria da curva para calcular o ponto mínimo porque não temos nenhum ponto em que interseta o eixo O𝑥. Então o que vamos fazer? Portanto, para aqueles que esperam pacientemente há mais de oito minutos por este momento, é aqui que o a forma do completamento do quadrado de uma expressão do segundo grau é útil. O que isto significa é reorganizar a nossa expressão aqui, de modo que fique óbvio de qual destes três casos estamos a falar para o nosso gráfico. E também nos ajudará a encontrar as coordenadas do ponto mínimo, onde quer que esteja. Portanto, a forma do completamento do quadrado é essencialmente o de determinarmos uma expressão ao quadrado e, em seguida, completamos o quadrado adicionando ou subtraindo algo deste.

Então, vamos ter uma ideia inicial do que isto pode ser. Mas a primeira coisa é que sabemos que precisamos de gerar 𝑥 ao quadrado e estamos a colocar alguns parêntesis aqui. Então, se fiz este primeiro termo 𝑥, sei que 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 quadrado. Agora, tenho que pensar no que posso colocar aqui, adicionando ou subtraindo um número, o que gerará o termo dois 𝑥 aqui. Bem, se eu colocar mais um, se eu tiver apenas metade deste coeficiente, este é um bom palpite de como será. E a razão pela qual reduzi a metade este coeficiente é porque, se olharmos para os parêntesis aqui, e testá-los-ei: 𝑥 vezes 𝑥 está a dar-me o meu 𝑥 ao quadrado e tenho 𝑥 vezes um e, em seguida, tenho um vezes 𝑥 aqui. E um vezes 𝑥 mais um vezes 𝑥 vai dar-me o meu dois 𝑥. E também obteremos este termo um vezes um que é mais um. Então, temos 𝑥 ao quadrado; temos o dois 𝑥, mas queríamos sete positivo. O que esta expressão 𝑥 mais um tudo quadrado gera é mais um. Então, estamos em falta: temos mais um; nós queríamos mais sete. Então, preciso de adicionar mais seis no fim.

Então, gerei uma versão diferente desta equação que, se multiplicasse tudo, ainda obteria a equação original. Mas esta forma da equação tem uma vantagem distinta. Portanto, lembre-se de que uma equação geralmente é colocada uma coordenada em 𝑥, depois faz as contas — faz o cálculo aqui — e a resposta que obtém quando substitui o valor específico de 𝑥 é a sua coordenada em 𝑦. Portanto, esta expressão está a gerar as nossas coordenadas em 𝑦 a partir das nossas coordenadas em 𝑥.

E o que fazemos é tomar a nossa coordenada em 𝑥. Adicionamos um e dá-nos um número. E depois fazemos o quadrado desse número. E isso é interessante, porque fazer o quadrado desse número, geramos sempre uma resposta positiva. Ou se o número ao quadrado fosse zero, poderíamos obter zero ao quadrado é zero. Então, o que estamos a dizer é que esta parte da nossa expressão nunca pode ser negativa. O menor possível é zero. Portanto, a coordenada em 𝑦 que estamos a gerar é a menor possível, é zero mais o seis. Adicionaremos sempre seis a este valor. Então, o que estamos a ver é que a coordenada em 𝑦 do ponto mínimo deve ser zero mais seis é seis.

Portanto, ainda não sabemos se estamos no caso do lado esquerdo ou do lado direito. Mas agora descartamos o do meio, porque teria um ponto mínimo com coordenada em 𝑦 de sete. Então, estamos num destes casos. Agora temos que determinar se vamos para a esquerda ou para a direita.

Bem, para resolver isto, precisamos de saber qual o valor de 𝑥 que vai gerar este ponto mínimo que vai gerar o conteúdo dos parêntesis para ser igual a zero. Bem, teria que ser menos um, porque menos um mais um é zero. Portanto, quando 𝑥 é menos um, este parêntesis vai para zero e adicionamos seis a isto e obtemos o nosso ponto mínimo; então este deve ser o ponto mínimo aqui.

Agora, está tudo um pouco confuso depois de todo este cruzamento. Então, eu vou desenhar isto rapidamente novamente. Então, vamos dar uma olhadela em mais alguns exemplos e — bem, isso parece bastante doloroso até agora. Depois que ganha o jeito, fica muito rápido gerar um esboço da sua curva para descobrir onde está o ponto mínimo ou máximo da curva e descobrir onde essa curva interseta o eixo O𝑦.

Então agora sabemos de onde vem o completamento do quadrado. Vejamos alguns exemplos em que entramos diretamente e a utilizamos normalmente. Então, 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais nove. Queremos reorganizar isto, onde temos algo ao quadrado mais algo mais — ou, de facto, às vezes precisa de subtrair algo. Então, sim, ainda não colocarei o sinal nestes. Resolveremos isso mais tarde. Agora estamos a olhar para 𝑥 ao quadrado. Então, vamos colocar um 𝑥 aqui. E menos dois é o coeficiente. Então, vamos reduzir a metade para torná-lo menos um.

Agora, se eu multiplicar 𝑥 menos um ao quadrado, fico com 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais um. Mas lembre-se, eu estava a olhar para 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais nove. Então, tenho 𝑥 ao quadrado; ótimo. Tenho menos dois 𝑥; ótimo. Mas esta expressão específica aqui gerou mais um no final. Mas eu queria mais nove. Então, tenho que adicionar oito. Portanto, a segunda linha está na forma do completamento do quadrado da primeira equação quadrática.

Então, é só isso. Agora, vamos utilizar essas informações para tentar concluir um esboço de como seria esta curva. Bem, pela equação original, sabemos que havia um 𝑥 ao quadrado. Foi um valor positivo. O valor positivo de 𝑥 ao quadrado dá-nos uma curva feliz. E o número no final, a constante no final, foi nove positivo. Isso diz-nos onde interseta o eixo O𝑦.

Agora podemos olhar para a segunda versão aqui. O menor valor que esta expressão aqui pode obter é zero, porque é algo ao quadrado. E teria que ter um valor de 𝑥 de um para obter este zero. Portanto, a coordenada em 𝑦 mínima que podemos gerar será zero mais oito. Portanto, a coordenada em 𝑦 do mínimo será oito. Este vai ficar logo abaixo do nove. E é aí que a coordenada em 𝑥 é um. Então, nós estamos a olhar para esta situação aqui. Então, um, oito é a coordenada mínima. Então, sabemos que temos uma curva que desce pelo eixo O𝑦 e ligeiramente para a direita e depois para cima. Então, é assim que um esboço da nossa curva seria. Marcámos todos os pontos principais em que interseta o eixo O𝑦. Neste caso em particular, como o ponto mínimo é de um, oito, não é possível intersetar o eixo O𝑥. Mas o ponto mínimo aqui é um, oito.

Vamos olhar para este então. 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado mais catorze 𝑥 menos dois. Portanto, a forma do completamento do quadrado será algo ao quadrado mais algo ou menos algo. Temos 𝑥 quadrado aqui. Então, quando multiplicamos estes parêntesis, precisamos de ter um 𝑥 na primeira posição de cada um destes parêntesis, então 𝑥 vezes 𝑥 gerará este 𝑥 quadrado. Vamos reduzir a metade o coeficiente de 𝑥 aqui, mais sete. E quando multiplicamos 𝑥 mais sete ao quadrado, obtemos 𝑥 ao quadrado mais catorze 𝑥 e quarenta e nove. Então, o termo 𝑥 ao quadrado, sim temos isso, o catorze 𝑥, sim, temos isso. Mas queríamos menos dois, mas terminamos com quarenta e nove positivo. Então — como — o que devo fazer para fazer 49 para transformá-lo em menos dois? Eu tenho que subtrair cinquenta e um.

Então, aqui temos a versão do completamento do quadrado desta equação. Então, podemos utilizar as duas linhas ali, as duas versões da equação, para fazer um pequeno esboço da — de como será a curva. Nada à frente de 𝑥 ao quadrado significa um 𝑥 ao quadrado, o que é uma curva positiva. Este valor aqui diz-nos onde interseta o eixo O𝑦. Então, podemos colocar estas duas coisas no gráfico. Então, como dizemos, sabemos que será uma curva feliz, mas não sabemos até onde — então isto vai surgir e intersetar o eixo O𝑥 algures, não temos a certeza de onde. Mas esta outra versão para apenas calcular as coordenadas em 𝑦, lembre-se do valor mínimo que esta expressão, este termo aqui, poderia ser é zero. E quando isto é zero, isto é sempre menos cinquenta e cinquenta e um. Então, a coordenada em 𝑦 mínima será menos cinquenta e um. Qual é a coordenada em 𝑥 que vai gerar esta coordenada em 𝑦 de menos cinquenta e um? Ou para fazer este parêntesis zero, 𝑥 deve ser menos sete porque menos sete mais sete é zero. E se continuarmos e determinarmos onde intersetou o eixo O𝑥 utilizando a fórmula resolvente, é cerca de catorze ponto um quatro e zero ponto um quatro.

Portanto, o método básico é reduzir a metade o coeficiente de 𝑥 e utilizá-lo no termo ao quadrado aqui e, em seguida, calcular o que precisamos de adicionar ou subtrair para obter a constante que realmente estamos à procura em primeiro lugar.

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