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Vídeo da aula: Propriedades de Integrais Definidas Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, aprenderemos como usar propriedades de integração definida, como a ordem dos limites de integração, limites de largura zero, somas e diferenças.

15:42

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como usar propriedades de integração definida, como a ordem dos limites de integração, zero com limites, somas e diferenças. Também aprenderemos como essas propriedades podem nos ajudar a simplificar problemas envolvendo integrais definidas.

Ao definir a integral definida, a integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥, assumimos implicitamente que 𝑎 era menor que 𝑏. Mas, pensando na definição de uma integral definida como o limite da soma de Reimann, vemos que isso ainda é válido se 𝑎 for maior que 𝑏. Observe também que, se invertermos 𝑎 e 𝑏, então Δ𝑥 mudará para 𝑎 menos 𝑏 sobre 𝑛. Com isso, descobrimos que a integral definida entre 𝑏 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual à integral definida negativa entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. Agora, se 𝑎 é igual a 𝑏, então Δ𝑥 se torna zero. E assim, a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a zero. Agora, veremos outras propriedades importantes de integrais que podemos recordar.

Agora, está fora do escopo deste vídeo derivá-las completamente. Mas teremos um pensamento sobre de onde elas podem vir. Vamos supor que temos algumas funções, 𝑓 e 𝑔, que são contínuas. A segunda propriedade na qual estamos interessados ​​é que a integral definida entre 𝑎 e 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 seja igual à integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 mais a integral definida entre 𝑏 e 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. E geometricamente, isso é realmente esperado. Pensamos na integral definida como a área entre a curva e o eixo 𝑥. E assim, a área total entre a curva e o eixo 𝑥, delimitada pelas retas 𝑥 igual 𝑎 e 𝑥 igual 𝑐, deve ser igual à área delimitada pelas retas entre 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏 e a área delimitada entre as retas 𝑥 igual a 𝑏 e 𝑥 igual a 𝑐.

Para o valor constante 𝑐, a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑐 em relação a 𝑥 é 𝑐 vezes 𝑏 menos 𝑎. Em outras palavras, a integral de uma função constante 𝑐 é aquela constante vezes o comprimento da integral. Usando 𝑐 maior que zero e 𝑎 menor que 𝑏, então isso que é esperado. Como 𝑐 vezes 𝑏 menos 𝑎 é a área do retângulo mostrado. A próxima propriedade é que a integral de uma soma de duas funções é igual à soma das integrais dessas funções. Portanto, para funções positivas, a área embaixo de 𝑓 mais 𝑔 é igual à área embaixo de 𝑓 mais a área embaixo de 𝑔.

Da mesma forma, a integral de uma constante vezes uma função é igual a essa constante vezes a integral da função. Então, combinando as duas propriedades anteriores, descobrimos que a integral da diferença de duas funções é igual à integral de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 mais menos uma vez a integral de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. Mas, é claro, isso deve ser igual à diferença das integrais dessas duas funções. Agora, vamos dar uma olhada em um exemplo de algumas dessas propriedades.

A função 𝑓 é contínua no intervalo fechado de menos quatro a quatro e satisfaz a integral definida entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a nove. Determine a integral definida entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 menos seis em relação a 𝑥.

Para responder a essa pergunta, começaremos lembrando algumas propriedades básicas de integrais definidas. Primeiramente, sabemos que a integral da soma de duas funções é igual à soma da integral de cada função respectiva. Da mesma forma, a integral da diferença de duas funções é igual à diferença das integrais dessas funções. Isso significa que podemos começar reescrevendo nossa integral como a diferença entre a integral entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 e a integral entre zero e quatro de seis em relação a 𝑥. Lembramos também que, para a função constante 𝑐, a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑐 em relação a 𝑥 é igual a 𝑐 vezes 𝑏 menos 𝑎.

Agora, nosso 𝑐 é igual a seis, e 𝑎 é zero, 𝑏 é quatro. Portanto, a integral definida entre zero e quatro de seis em relação a 𝑥 é simplesmente seis vezes quatro menos zero, que é igual a 24. Conforme a pergunta, agora substituímos a integral entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 por nove. E descobrimos que a integral de 𝑓 de 𝑥 menos seis entre os limites de zero e quatro em relação a 𝑥 é nove menos 24. Isso é igual a menos 15. Portanto, apesar de não conhecer a função 𝑓, vemos que a integral definida entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 menos seis em relação a 𝑥 é menos 15.

Vamos agora dar uma olhada em outro exemplo que envolve propriedades simples de integrais definidas.

Se a integral definida entre menos sete e oito de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥 for igual a 10, determine o valor da integral definida entre oito e menos sete de sete 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥.

Para responder a essa pergunta, precisaremos recuperar duas propriedades específicas de integrais definidas. A primeira é que a integral definida entre 𝑏 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual à integral definida negativa entre 𝑎 e 𝑏 da mesma função em relação a 𝑥. Também sabemos que a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de algumas constantes 𝑐 vezes 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝑐 vezes a integral definida de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. E esta segunda é ótima porque significa que podemos simplesmente tirar a constante para fora da integral e focar na integração da própria função.

Vamos começar colocando esse fator constante de sete fora da integral. Quando o fazemos, vemos que a integral definida que pretendemos calcular é igual a sete vezes a integral definida entre oito e menos sete de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. Agora, na pergunta, fomos informados de que a integral definida entre menos sete e oito de nossa função é igual a 10. Portanto, usamos a primeira propriedade que lembramos para reescrever a integral definida entre oito e menos sete de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥 como menos a integral definida entre menos sete e oito de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥.

Obviamente, isso pode ser simplificado. E podemos dizer que nossa integral é igual a menos sete vezes a integral definida entre menos sete e oito de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. Mas, é claro, sabemos que essa integral definida é igual a 10. Portanto, nossa integral definida é menos sete vezes 10, que é simplesmente menos 70.

Agora, o que é realmente legal nas propriedades que consideramos até agora é que elas são válidas para valores de 𝑎 menor que 𝑏, valores de 𝑎 maior que 𝑏 e valores de 𝑎 igual a 𝑏. Agora, existem algumas propriedades que podemos considerar se, e somente se, 𝑎 for menor ou igual a 𝑏. Chamamos essas propriedades de comparação da integral. E isso é porque elas nos permitem comparar o tamanho geral de integrais definidas.

A primeira diz que se 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a zero, onde 𝑥 está no intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏, então a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 também será maior que zero. E, é claro, isso faz muito sentido se pensarmos na integral definida como a área entre o gráfico de 𝑓 e o eixo 𝑥. A interpretação geométrica é simplesmente que a área aqui é positiva. Fica em cima do eixo 𝑥. A segunda diz simplesmente que uma função maior tem uma integral maior. Isso também faz sentido geometricamente, mas também pode ser inferida a partir da primeira propriedade, porque 𝑓 menos 𝑔 deve ser maior ou igual a zero.

A terceira leva um pouco mais de reflexão. Se 𝑓 for contínua, podemos considerar 𝑚 minúscula e 𝑀 maiúscula como os valores de mínimo e máximo absolutos de 𝑓 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, respectivamente. Essa propriedade nos diz que a área sob o gráfico de 𝑓 é maior que a área do retângulo com altura em 𝑚 minúscula, mas menor que a área de um retângulo com altura em 𝑀 maiúscula.

Vamos agora dar uma olhada em uma pergunta que envolve algumas dessas propriedades.

Suponha que no intervalo fechado de menos dois a cinco, os valores de 𝑓 ficam no intervalo fechado em 𝑚 minúscula a 𝑀 maiúscula. Entre quais limites a integral definida entre menos dois e cinco de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 está?

Recordamos uma das propriedades de comparação das integrais. Diz-nos que se 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a 𝑚 minúscula e menor que ou igual a 𝑀 maiúscula para valores de 𝑥 maior que ou igual a 𝑎 e menor que ou igual a 𝑏. Então 𝑀 vezes 𝑏 menos 𝑎 é menor ou igual à integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥, que por sua vez é menor ou igual a 𝑀 maiúscula vezes 𝑏 menos 𝑎. Em outras palavras, dado que 𝑚 minúscula é o mínimo absoluto de 𝑓 e 𝑀 maiúscula é o máximo absoluto de 𝑓, a área sob o gráfico de 𝑓 é maior que a área do retângulo com uma altura de 𝑚 minúscula. Mas é menor que a área do retângulo com uma altura de 𝑀 maiúscula.

Neste exemplo, vamos deixar 𝑎 ser igual a menos dois e 𝑏 ser igual a cinco. Então, vemos que 𝑀 vezes cinco menos menos dois é menor que ou igual à integral definida entre menos dois e cinco de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 que, por sua vez, é menor que ou igual a 𝑀 maiúscula vezes cinco menos menos dois. Cinco menos menos dois são sete. E assim, vemos que nossa integral definida deve ser maior ou igual a sete 𝑚 e menor ou igual a sete 𝑀 maiúscula.

As propriedades finais em que estamos interessados ​​envolvem a integração de funções ímpares e pares. Lembramos que, se uma função é ímpar, 𝑓 de menos 𝑥 é igual a menos 𝑓 de 𝑥. E dizemos que uma função é par se 𝑓 de menos 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑥. Geometricamente, uma função ímpar tem simetria rotacional sobre a origem. Por exemplo, 𝑦 é igual a seno de 𝑥. Enquanto uma função par tem simetria reflexiva em relação ao eixo 𝑦, o gráfico de 𝑦 é igual a cos de 𝑥, por exemplo. Para o intervalo fechado de menos 𝑎 a 𝑎, quando a função é ímpar, dizemos que a integral definida entre menos 𝑎 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a zero. E, quando é par, descobrimos que é igual a duas vezes a integral definida entre zero e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥.

Mais uma vez, geometricamente, isso faz muito sentido. Vimos que uma função par tem simetria reflexiva em relação ao eixo 𝑦. Portanto, a integração entre menos 𝑎 e 𝑎 forneceria uma área com o dobro do tamanho da área entre zero e 𝑎. Para uma função ímpar, as áreas seriam iguais em tamanho, mas em ambos os lados do eixo 𝑥, cancelando assim uma à outra.

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos disso.

A função 𝑓 é ímpar, contínua no intervalo fechado de menos um a sete e satisfaz a integral definida entre um e sete de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a menos 17. Determine a integral definida entre um e menos sete de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥.

Em primeiro lugar, somos informados de que a função 𝑓 é ímpar. Então, lembramos da propriedade a seguir para integrar funções ímpares. A integral definida entre menos 𝑎 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a zero. Também nos disseram que a integral definida entre um e sete de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a menos 17. Portanto, dividimos a integral. E vemos que a integral que procuramos entre menos um e sete de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual à integral definida entre menos um e um de 𝑓 de 𝑥 mais a integral definida entre um e sete de 𝑓 de 𝑥.

Agora, a função 𝑓 é ímpar. Portanto, pela primeira propriedade, vemos que a integral definida entre menos um e um de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 deve ser igual a zero. Então, simplesmente tomamos a integral definida entre um e sete de 𝑓 de 𝑥 da pergunta. É menos 17. Isso significa que a integral definida que estamos procurando é igual a zero mais menos 17, que é menos 17.

Agora, veremos um exemplo que envolve uma função par.

A função 𝑓 é par, contínua no intervalo fechado de menos oito a oito e satisfaz a integral definida entre menos oito e oito de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 19 e a integral definida entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 13. Determine a integral definida entre menos oito e menos quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥.

Começamos lembrando a propriedade da integral de uma função par. Ou seja, a integral definida entre menos 𝑎 e 𝑎 dessa função par é igual a duas vezes a integral definida entre zero e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. Agora, na verdade, procuramos encontrar a integral definida entre menos oito e menos quatro de nossa função par. Então, vamos fazer isso em duas partes. Primeiro, vamos dividir e dizer que a integral definida deve ser igual à integral entre menos oito e zero menos a integral entre menos quatro e zero. Agora, na verdade, formaremos uma equação usando a primeira parte dessa integral e o fato de a função ser par.

A integral definida entre menos oito e oito de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 deve ser duas vezes a integral definida entre zero e oito de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. Agora, também se segue que isso também deve ser igual a duas vezes a integral definida entre menos oito e zero de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. Obviamente, na pergunta, fomos informados de que a integral definida entre menos oito e oito de 𝑓 de 𝑥 é 19. Portanto, definimos 19 igual a duas vezes a integral definida que estamos procurando. E então, dividimos os dois lados da nossa equação por dois. E vemos que isso é igual a 19 sobre dois. A integral que procuramos então é igual a 19 sobre dois menos a integral definida entre menos quatro e zero de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥.

Agora, mais uma vez, a função é par. Portanto, isso deve, por sua vez, ser igual a 19 sobre dois menos a integral definida entre zero e quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. Lembre-se, isso ocorre porque funções pares têm reflexão ou simetria sobre o eixo 𝑦. Agora, a pergunta nos diz que essa integral definida é igual a 13. Em seguida, para calcular 19 sobre dois menos 13, escrevemos 13 como 26 sobre dois. Então, procuramos encontrar 19 sobre dois menos 26 sobre dois, o que é menos sete sobre dois. E assim, encontramos a integral definida entre menos oito e menos quatro de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. São menos sete sobre dois.

Neste vídeo, desenvolvemos algumas propriedades básicas de integrais que nos ajudam a calcular integrais de uma maneira simples. Para uma função contínua 𝑓, a integral definida entre 𝑏 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual à integral definida negativa entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥. Vimos que a integral de uma função constante 𝑐 é a constante vezes o comprimento do intervalo. E que a integral da soma ou diferença de duas funções contínuas é igual a essa soma ou diferença das integrais de cada uma dessas funções. Vimos que podemos tirar fatores constantes fora da integral e focar na integração da própria função.

Aprendemos que as propriedades de comparação da integral podem ser usadas quando 𝑏 é maior que ou igual a 𝑎. A primeira delas diz que se 𝑓 de 𝑥 é maior que ou igual a zero, então a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 também é maior que ou igual a zero. Uma função maior tem uma integral maior. E se 𝑚 e 𝑀 maiúscula são valores de mínimos e máximos absolutos de 𝑓 em algum intervalo fechado de 𝑎 a 𝑏, a área sob o gráfico de 𝑓 deve ser maior que a área do retângulo com altura 𝑚 e menor que a área do retângulo com altura 𝑀 maiúscula.

Por fim, aprendemos que, se uma função é par ou ímpar em algum intervalo fechado de menos 𝑎 a 𝑎, podemos aplicar as seguintes regras. Se for ímpar, a integral definida entre menos 𝑎 e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é zero. E se for par, é duas vezes a integral definida entre zero e 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥.

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